Aljebra-en iturria ikusi

{{Wikipedia1000}}
{{HezkuntzaPrograma|Matematika}}
[[Fitxategi:Adierazpen_aljebraikoak.webm|thumb|'''Adierazpen aljebraikoak''' ulertzeko bideoa.{{Jakindun}}]][[Fitxategi:Right concoid.svg|thumb|200px| <center><math>x=v \times \cos(u)</math>, <math>y=v \times \sin(u)</math>, <math>z=2 \times \sin(u)</math> </center> oinarrizko ekuazio aljebraiko trigonometrikoen bidez deskribatutako hiru dimentsioko [[konoide zuzen]]aren azaleraren irudia.
 ]]

'''Aljebra''', [[zenbakien teoria|zenbaki-teoria]], [[geometria]], [[topologia]] eta [[analisi matematiko|analisiarekin]] batera, [[matematika]]ren atal orokorretako bat da.

Arrazoi historikoen ondorioz, ''aljebra'' hitzak matematikan euren artean lotutako esanahi batzuk ditu.
* Bakarrik agertzen denean, ''aljebra'' hitza matematikaren atal zabal bat izendatzeko erabiltzen da.
* Pluralean edo singularrean baina mugatzaile batekin, "aljebra" berba egitura matematiko zehatz batzuk izendatzeko erabiltzen da. Ikus [[aljebra (eraztun-teoria)]] eta [[gorputz baten gaineko aljebra]].
* Kalifikatzaile batekin, bereizketa berdinak egiten dira:
** Artikulu barik, aljebraren atal bat esan nahi du, adibidez [[aljebra lineal]], [[oinarrizko aljebra]] ([[lehen hezkuntza|lehen]] eta [[bigarren hezkuntza]]n ematen diren matematika ikastarotan irakasten diren ikur manipulaziotarako arauak), edo [[aljebra abstraktu]] (egitura aljebraikoak aztertzeko erabilia).
** Mugatzaile batekin, zenbait egitura abstrakturen ale bat adierazteko erabili ohi da, [[Lie aljebra]] bat edo [[aljebra elkarkor]] bat esaten denean bezala.
** Sarritan esanahi biak har ditzake kalifikatzaile bererako, ''[[Aljebra trukakor]]ra [[eraztun trukakor]]rak aztertzeko erabilitako aljebraren atala da, hauek [[aljebra (eraztun-teoria)|aljebra trukakorrak]] zenbaki arrunten gainean direla.'' esaldian legez.
* Batzuetan "aljebra" aljebrarenak ez diren egituren azterketan erabilitako aljebrarekin lotutako eragiketa eta metodoak adierazteko erabiltzen da. Esate baterako, ''[[serie infinitu|serie infinituen aljebra]]'' [[batukari|infinitu gairen batukari]], [[limite]] eta [[konbergentzia (matematika)|konbergentzia]] nozioak erabili barik serieekin kalkuluak egiteko metodoak esateko erabil daiteke.

"'''Aljebraiko'''" adjektiboaren esanahia aljebrarekin erlazionatua da normalean, "[[egitura aljebraiko]]"an bezala. Zio historikoengatik, [[polinomio-ekuazio]]en erroekin erlazionatuta esateko ere erabil daiteke, [[zenbaki aljebraiko]], [[hedapen aljebraiko]] edo [[espresio aljebraiko]] kasuetan bezala.

== Aljebra: matematikaren adar ==

'''Aljebra''' eragiketak eta erlazioak aztertzen dituen [[matematika]]ren atala da. [[Aritmetika]]z haraindi, zenbaki, aldagai eta beste elementu abstraktuen arteko eragiketak eta erlazioak osatuz (zenbakien arteko eragiketak eginez, adibidez), [[polinomio]]ak, [[ekuazio]]ak eta [[egitura aljebraiko]]ak eratzen dira. Matematikaren atal nagusietako bat da, [[geometria]], [[topologia]], [[analisi (argipena)|analisia]] eta [[zenbakien teoria|zenbaki-teoriarekin]] batera.

Aljebra oinarrian objektu matematiko ez-zenbakidunak erabiliz [[aritmetika]]n egiten diren antzeko kalkuluak egiten duen matematika ataltzat hartu ahal da.<ref name=citeboyer /> Hasieran, objektu horiek ezagutzen ez ziren zenbakiak (''ezezagun''ak) edo zehaztu gabeko zenbakiak (''zehaztugabe'' edo ''parametro''ak) irudikatzen zituzten [[aldagai (matematika)|aldagaiak]] ziren, horrela finkatu eta egiaztatu ahal izateko zehaztugabeen ordez edozein zenbakiak jarrita beteko diren propietateak. Adibidez,
:<math>ax^2+bx+c=0,</math>
[[bigarren mailako ekuazio|ekuazio koadratikoan]] <math>a, b, c</math> aldagai zehaztugabeak dira eta <math>x</math> aldagai ezezaguna da. Ekuazio horren ebazpena berdintza beteko duen aldagai ezezagunaren balioa aurkitzeko zehaztugabeekin kalkuluak nola egin behar diren zehaztean datza. Gero, zehaztugabeen ordez kasu konkretu bateko zenbakiak erabiliz eragiketa aritmetiko arrunten bidez lortzeko kasu partikular horren soluzioa.

Garatu ahala, aljebra beste objektu ez-numerikotara zabaldu zen, hala nola [[bektore (matematika)|bektore]], [[matrize]] edo [[polinomio]]tara. Geroago, objektu ez-zenbakidun horien egiturazko ezaugarrien abstrakzioa eginez [[talde (matematika)|talde]], [[eraztun (matematika)|eraztun]], [[gorputz (matematika)|gorputz]] eta [[aljebra (eraztun-teoria)|aljebren]] erako [[egitura aljebraiko]]ak zehaztu ziren.

Hamaseigarren mendea baino lehen matematika azpiatal bitan bakarrik banatzen zen: [[aritmetika]] eta [[geometria]]. Askoz lehenago garatutako metodo batzuk gaur egun aljebraikoak legez hartu ahal badira ere, aljebraren sorrera, eta [[kalkulu infinitesimal]]arena handik gutxira, matematikaren azpiatalen bezala 16. eta 17. mendeetan gertatu zen. Geroago, 19. mendeko bigarren erditik aurrera matematikaren atal asko agertu dira eta euretariko asko, guztira edo hein batean, aljebran sartuta daude.

Horren ondorioz, aljebra, matematikaren benetako adar bat izan beharrean, gaur egun metodo berberak erabiltzen dituzten matematikaren adar multzo bat legez hartzen da. Hori argi ikusten da [[Matematikaren gaien klasifikazioa]]n
<ref>[http://www.ams.org/mathscinet/msc/msc2010.html 2010 Mathematics Subject Classification]</ref>
Bertan lehen mailako atalen artean (bi digituko sarreren artean) bat ere ez da izendatzen ''aljebra'' (kalifikatzaile barik). Berez, aljebra, gutxi gorabehera, atal hauen bilkura da: 08-Sistema aljebraiko orokorrak, 12-[[Gorputz teoria (matematika)|Gorputz teoria]] eta [[polinomio]]ak, 13-[[Aljebra trukakor]]rak, 15-[[Aljebra lineal]] eta [[Aljebra multilineal|multilineala]] eta [[matrize-teoria]], 16-[[Aljebra elkarkor|Eraztun elkarkorrak eta aljebrak]], 17-[[Eraztun ez-elkarkor|Eraztun]] eta [[Aljebra ez-elkarkor]]rak, 18-[[Kategoria-teoria]]; [[Homologia-aljebra]]k, 19-[[K-teoria]] eta 20-[[Talde-teoria]]. Beste lehen mailako atal batzuk ere, hein batean behintzat, aljebraren barrukoak legez hartu ahal dira, hala nola 11-[[Zenbakien teoria|Zenbaki-teoria]] (gehien bat [[Zenbaki-teoria aljebraiko]]agatik) eta 14-[[Geometria aljebraiko]]a.<!-- ingelesezko wikipediaren ''algebraic number theory” ez nuen argi nola itzuli eta azkenean frantsesezko wikipediari jarraituz (Théorie algébrique des nombres) itzuli dut eta ez espainierazko wikipediari (Teoría de números algebraicos); esanahiarekin hobeto datorrelakoan-->
<!--inglesezko wikipedian agertzen ba dira ere, autzerago azalduta daudenez, beharbada hobe da hurrengo paragrafo biak hemendik kentzea.

[[Oinarrizko aljebra]] normalean oinarrizko matematika-ikastaroetan azaltzen den aljebraren atala izendatzeko erabiltzen da.

[[Aljebra abstraktu]] izendapena, normalean, egitura aljebraikoen azterketaz arduratzen den matematikaren atalari ematen zaio.
-->

== Historia ==
{{Sakontzeko|Aljebraren historia|Aljebra denboran zehar}}

Aljebraren hasiera matematikaren atal bat legez 16. mendearen bukaeran kokatu ahal da, [[François Viète]]-ren lanarekin. Hala ere, aljebrarekin zerikusia duten aurreko lan batzuk garrantzitsuak izan ziren eta hemen haietariko batzuen aipamena egingo da 'Protoaljebraren historia' atalean.

=== Protoaljebraren historia ===
[[Fitxategi:Image-Al-Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala.jpg|thumb|[[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi|Al-Khwārizmī]] persiarraren ''[[Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala]]'' liburuko orrialde bat.]]

Aljebraren lehenengo sustraiak antzinako [[babiloniar matematika|babiloniarren matematikan]] aurki ditzakegu<ref>{{erreferentzia |abizena=Struik |izena=Dirk J. |urtea=1987 |izenburua=A Concise History of Mathematics |non=New York |argitaletxea=Dover Publications |isbn=0-486-60255-9 }}</ref>. Babiloniarrek kalkuluak modu [[algoritmo|algoritmikoan]] bideratzeko baliagarria zuten sistema aritmetiko aurreratu bat garatu zuten eta gaur egun, normalean, [[ekuazio lineal]]ak, [[bigarren mailako ekuazio|ekuazio koadratikoak]] edo [[ekuazio zehaztugabe]]ak erabiliz ebazten diren problemen soluzioak aurkitzeko metodoak ere bai. Aitzitik, garai horretako [[Egiptoar matematika|egiptoar]] gehienek, [[K.a. 1. milurtekoa|K.a. 1. milurtekoko]] [[greziar matematika|greziarrek]] eta [[txinatar matematika|txinatarrek]] bezala, ''[[Rhind matematika-papiro]]''an eta ''[[Euklidesen Elementuak]]'' eta ''[[Arte matematikoaren bederatzi kapituluak]]'' tratatuetan adierazitakoen antzeko metodo geometrikoz ebazten zituzten ekuazio horiek normalean. ''Elemenuak'' tratatuan tipifikatutako greziarren lan geometrikoek eman zuten euskarria formulak orokortzeko problema jakin baten ebazpenaren haraindian eta ekuazioak jarri eta ebazteko modu orokorragotan; nahiz eta hori ez zen ikusiko [[Matematika erdi aroko Islamean|erdi aroan islamean matematika]] garatu arte.<ref name=citeboyer />

[[Platon]]en garairako, [[Greziar matematika]]n aldaketa handiak egon ziren. Antzinako [[Antzinako Grezia|greziarrek]] gaiak hizkiak lotuta zituzten eta normalean lerroak ziren objektu geometrikoren ertzez irudikatuz, aljebra geometriko bat sortu zuten. [[Diofanto Alexandriakoa|Diofanto]] (K.a. 3. mendea), batzuetan "aljebraren sortzailea" izendatua, [[Alexandria]]n jaiotako [[greziar matematika]]ri bat izan zen eta ''[[Aritmetika]]'' izendatutako liburu sorta baten egilea. Testuak [[ekuazio aljebraiko]]en ebazteko metodorekin lotuta daude.<ref>{{erreferentzia |authorlink=Florian Cajori |izena=Florian |abizena=Cajori |urtea=2010 |url=http://books.google.com/?id=gZ2Us3F7dSwC&pg=PA34&dq#v=onepage&q=&f=false |izenburua=A History of Elementary Mathematics – With Hints on Methods of Teaching | orrialdea =34 |isbn=1-4460-2221-8 }}</ref>

Alexandriako [[Heron Alexandriakoa|Heron]] eta [[Diofanto Alexandriakoa|Diofanto]]<ref>[https://web.archive.org/web/20130727040815/http://library.thinkquest.org/25672/diiophan.htm Diofantos, Aljebraren sortzailea]</ref> matematikari [[garai helenistikoa|helenistikoek]] eta [[Brahmagupta]]-ren antzeko [[indiar matematika|matematikari indiarrek]] jarraitu zituzten Egiptoko eta Babiloniako tradizioak, baina Diofantoren ''[[Arithmetica]]'' eta Brahmaguptaren ''[[Brahmasphutasiddhanta]]'' lehengo lanak baino maila handiagokoak dira.<ref>[http://www.algebra.com/algebra/about/history/ History of Algebra]</ref> Adibidez, [[bigarren mailako ekuazio|ekuazio koadratikoen]] lehenengo ebazpen aritmetiko osoa ( zero eta soluzio negatiboak barne) Brahmagupta-k azaldu zuen ''Brahmasphutasiddhanta'' bere liburuan. Geroago, matematikari arabiar eta musulmanek horretarako metodo askoz sofistikatuagoak garatu zituzten.

''Aljebra'' izena [[arabiera]]zko ''al-jabr'' (الجبر) izenetik dator, ''osaketa'', '' burutze'' esanahiarekin. Lehen aldiz [[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi]] (c.780-850) matematikari [[persia|pertsiarrak]] idatzitako saiakera batean agertzen da, [[Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala|''Al-Kitab '''al-Jabr''' wa-l-Muqabala'']] izenekoa ([[arabiera]]z كتاب الجبر والمقابلة , [[euskara]]z ''Burutze eta orekatze bidezko kalkuluaz''). Aldi berean, etimologiaz, arabierazko ''aljebra'', hezurrak osatzearen jakintzarekin du zerikusia.

Gorago aipatutako aurreko tradizioek eragin zuzena izan zuten [[Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi|l-Khwarizmi]]-ren lanean baina bere ekarpena funtsezkoa izan zen. Aipatutako bere saiakeran finkatu zuen aljebra [[geometria]] eta [[aritmetika]]tik banandutako irakasgai matematiko legez.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Al Khwarizmi: The Beginnings of Algebra|egilea=Roshdi Rashed|argitaletxea=[[Saqi Books]]|date=November 2009|isbn=0-86356-430-5<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}</ref> Aljebraren metodo batzuk [[Islamiar matematika|arabiar/islamiar matematikan]] garatutakoak dira. Diofantok eta babiloniarrek ekuazioak ebazteko gehien bat ''ad hoc'' metodo bereziak erabiltzen zituzten. Al-Khwarizmi-k sinbolismo aljebraikorik gabeko ekuazio lineal eta koadratikoak ebatzi zituen eta, beraz, ekuazio mota batzuk bereizi behar izan zituen.<ref name="Meri2004">{{erreferentzia|egilea=Josef W. Meri|izenburua=Medieval Islamic Civilization|url=http://books.google.com/books?id=H-k9oc9xsuAC&pg=PA31|sartze-data=25 November 2012|urtea =2004|argitaletxea=Psychology Press|isbn=978-0-415-96690-0|orrialdeak=31}}</ref>

[[Diofanto Alexandriakoa|Diofanto]] matematikari greziarra aspaldidanik "aljebraren sortzailea"tzat hartua izan bada ere, gaur egun batzuek ''al-jabr'' irakasgaia sortu zuen al-Khwarizmi-k titulu hori merezi duela uste dute eta azken garaiotan asko eztabaidatu den kontua da.<ref name=citeboyer>{{erreferentzia |izena=Carl B. |abizena=Boyer |izenburua=A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye |edizioa=2 |location= |argitaletxea=John Wiley & Sons, Inc. |urtea=1991 |isbn=0-471-54397-7 }}</ref> Diofantoren aldekoek ''Al-Jabr''-eko aljebra ''Aritmetika''-koa baino apur bat oinarrizkoagoa dela eta ''Aritmetika''-koa laburtua izanda ''Al-Jabr''-ekoa guztiz erretorikoa dela diote. Al-Khwarizmi-ren aldekoek "[[laburketa (matematika)|laburketa]]" eta "orekatze" metodoak (gaien transposizioa ekuazioaren beste aldera eta [[gai berdin]]en ezabapena ekuazioaren bi aldetan) berak sortu zituela diote, eta ekuazio koadratikoak ebazteko azalpen sakon bat berak eman zuela diote, froga geometrikotan oinarrituta eta aljebra gai bereizi bezala erabiliz<ref>Gandz and Saloman (1936), ''The sources of al-Khwarizmi's algebra'', Osiris i, p. 263–277".</ref>.

[[Omar Khayyam]] matematikari [[persia|pertsiarrak]] [[geometria aljebraiko]]aren oinarria eta [[ekuazio kubiko]]aren ebazpen geometriko orokorra aurkitu zituela onartuta dago. Beste matematikari pertsiar batek, [[Sharaf al-Din al-Tusi]]-k, ekuazio kubiko batzuen ebazpen aljebraiko eta zenbakizkoak aurkitu zituen. [[Funtzio (matematika)|Funtzio matematikoaren]] kontzeptua ere berak garatu zuen.<ref>{{Erreferentzia|abizena=Victor J. Katz|izena=Bill Barton|izenburua=Stages in the History of Algebra with Implications for Teaching|journal=Educational Studies in Mathematics|argitaletxea=[[Springer Science+Business Media|Springer Netherlands]]|alea =66|liburukia =2|data=October 2007|doi=10.1007/s10649-006-9023-7|orrialdeak=185–201 [192]|abizen22=Barton|izen2=Bill<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->{{inconsistent citations}}}}</ref> [[Mahavira]] eta [[Bhaskara II.a]] matematikari indiarrek, [[Al-Karaji]]<ref name=citeboyer /> matematikari pertsiarrak eta [[Zhu Shijie]] matematikari txinatarrak, [[ekuazio kubiko|3. mailako]], [[4. mailako ekuazio|4. mailako]], [[5. mailako ekuazio|5. mailako]] eta maila handiagoko [[polinomio|ekuazio polinomiko]] batzuk ebatzi zituzten zenbakizko metodoak erabiliz. [[Leonardo Pisano|Fibonacci]]-ren ekuazio kubikoaren ebazpena 13.mendean, Europako aljebran hasitako berpiztearen adierazgarria izan zen. Hortik aurrera aljebra beste inon baino gehiago Europan garatuko zen.

=== Aljebraren historia ===
[[Fitxategi:Gerolamo Cardano.jpg|thumb|200px|[[Girolamo Cardano]] matematikari italiarrak 1545ean ''[[Ars Magna (Gerolamo Cardano)|Ars magna]]'' -''Arte handia'' liburua argitaratu zuen, 40 kapituluko maisulana non eman zuen lehenengo aldiz [[funtzio kubiko|3. mailako]] eta [[4. mailako ekuazio]] orokorrak ebazteko metodo bat.]]

[[François Viète]]-ren lanak, 16. mendearen amaieran, seinalatzen du aljebra klasikoaren hasiera. Beste jazoera garrantzitsu bat aljebraren garapenean 16. mendearen erdian garatutako [[3. mailako ekuazio|3. mailako]] eta [[4. mailako ekuazio]]en.ebazpen aljebraiko orokorra izan zen. Geroago, 1637an, [[René Descartes]] ''[[La Géométrie]]'' argitaratu zuen, [[geometria analitiko]]a asmatuz eta notazio aljebraiko modernoa sortuz. [[Determinante]]aren ideia [[Kowa Seki]] [[japoniar matematika]]riak garatu zuen 17. mendean, baita, era independentean, [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]]-ek ere hamar urte geroago, [[matrize]]ak erabiliz ekuazio linealen sistemak ebazteko xedearekin. [[Gabriel Cramer]]ek ere landu zituen matrize eta determinanteak 18. mendean. Permutazioak [[Joseph-Louis Lagrange]]-k ikertu zituen 1770ean ekuazio aljebraikoen soluzioei bideratutako bere ''Réflexions sur la résolution algébrique des équations'' txostenean, non [[Resolvent (Galois teoria)|Lagrange “resolvent”ak]] sartu zituen. [[Paolo Ruffini]] izan zen [[permutazio talde]]en teoria garatzen lehenengoa, bere aurrekoen bezala, bera ere ekuazio aljebraikoen ebazpenaren testuinguruan ari zela.

[[Aljebra abstraktu]]a 19. mendean garatu zen, ekuazioak ebazteko interesagatik eta hasieran gaur egun [[Galois teoria]] eta [[zenbaki eraikor|eraikortasun]] kontuak deitzen direnetara zuzenduta.<ref>"[http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/history.html The Origins of Abstract Algebra]". University of Hawaii Mathematics Department.</ref> "[[Aljebra abstraktu#Moderne algebra|Aljebra modernoa]]" hemeretzigarren mendean egindako [[Richard Dedekind]] eta [[Leopold Kronecker]]-en lanen antzeko lanetan sustraitzen da eta [[zenbaki-teoria aljebraiko]] eta [[geometria aljebraiko]]aren moduko matematikaren beste adar batzuekin sakon lotuta dago.<ref>"[https://web.archive.org/web/20100818051203/http://www.msri.org/calendar/workshops/WorkshopInfo/245/show_workshop The History of Algebra in the Nineteenth and Twentieth Centuries]". Mathematical Sciences Research Institute.</ref> [[George Peacock]]-ek pentsaera axiomatikoa sortu zuen aritmetika eta aljebran. [[Augustus De Morgan]]-ek bere ''Syllabus of a Proposed System of Logic'' liburuan [[erlazio-aljebra]] asmatu zuen. [[Josiah Willard Gibbs]]-ek bektore aljebra bat garatu zuen hiru dimentsioko espazioan eta [[Arthur Cayley]]-k matrize aljebra bat (eztrukakorra den aljebra bat).<ref>"[http://www.cambridge.org/catalogue/catalogue.asp?ISBN=9781108005043 The Collected Mathematical Papers]".Cambridge University Press.</ref>

== "Aljebra" hitzaz identifikatuta gaiak ==

Matematikaren esparruan:
* [[Oinarrizko aljebra]], [[adierazpen (matematika)|adierazpen aljebraiko]] eta [[ekuazio]]en hasierako ikasketa eta behe mailako matematikako ikastaroetan irakasten den aljebraren zatia dena.
* [[Aljebra abstraktu]]a, [[egitura aljebraiko]] izeneko objektu matematikoez aritzen dena; [[talde (matematika)|talde]], [[eraztun (matematika)|eraztun]] eta [[gorputz (matematika)|gorputzen]] antzeko [[egitura aljebraiko]]ak [[axiomatizazio|axiomatikoki]] definitu eta ikertzeko erabilia.
* [[Aljebra lineal]]a, [[ekuazio lineal]], [[bektore espazio]] eta [[matrize]]en ezaugarri espezifikoak aztertzen dituena.
* [[Aljebra trukakor]]ra, [[eraztun trukakor]]ren azterketarakoa.
* [[konputazio aljebra]], metodo aljebraikoen as [[algoritmo]] eta [[konputagailu programa|konputagailu programen]] bidezko inplementaziorako.
* [[Homologia-aljebra]], [[espazio topologiko]]tarako funtsezkoak diren egitura aljebraikoen azterketarakoa.
* [[Aljebra orokor]]ra, egitura aljebraiko guztiek dituzten ezaugarri komunen azterketarakoa.
* [[Zenbaki teoria aljebraiko]]a, zenbakien ezaugarriak ikuspuntu aljebraiko batetik aztertzekoa.
* [[Geometria aljebraiko]]a, hasieran ekuazio polinomikoen ebazpenez kurbak eta gainazalak zehazteko sortutako geometriaren adarra.
* [[Konbinatoria aljebraiko]]a, kontu konbinatorioak aztertzeko metodo aljebraikoen bidez .

Egitura matematiko asko deitzen dira '''aljebrak'''.
* [[Gorputz baten gaineko aljebra]] edo modu orokorragoan [[Aljebra (eraztun teoria)|eraztun baten gaineko aljebra]].<br />Gorputz edo eraztun baten gaineko aljebra mota askok izen berezia dute:
** [[Aljebra elkarkor]]ra
** [[Aljebra ez-elkarkor]]ra
** [[Lie aljebra]]
** [[Hopf aljebra]]
** [[C*-aljebra]]
** [[Aljebra simetriko]]a
** [[Kanpo aljebra]]
** [[Tentsore-aljebra]]
* [[Neurketa-teoria]]n,
** [[Sigma-aljebra]]
** [[Aljebra multzo baten gainean]]
* [[kategorien teoria]]n
** [[F-aljebra]] eta [[F-koaljebra]]
** [[T-aljebra]]
* [[Logika]]n,
** [[Erlazio-aljebra]], eragile batzuen menpean [[matematika-erlazio|erlazio-multzo]] [[itxitura (matematika)|itxiak]] direnen azterketarako.
** [[Boolear aljebra]], ''faltsu'' eta ''egiazko'' [[egiazko balio]]ekin egindako kalkuluen abstrakzioa egiten duen egitura. Ikus [[Boolear aljebra (egitura)]] ere.
** [[Heyting aljebra]]

== Oinarrizko aljebra ==
{{Sakontzeko|Oinarrizko aljebra}}
[[Fitxategi:algebraic equation notation.svg|thumb|Espresio aljebraikoen notazioa: 1 - berretzaile, 2 - koefiziente, 3 - gai, 4 - eragile, 5 - gai aldaezin, ''x y c'' - aldagaiak/aldaezinak]]

'''Oinarrizko aljebra''' aljebraren formarik oinarrizkoena, [[aritmetika]]ren oinarrizko printzipioena baino handiagoa ez den [[matematika]] ezaguera dutenei irakasten zaiena. Aritmetikan, [[zenbaki]]ak eta haiekin egin ahal diren eragiketa aritmetikoak ( +, −, ×, ÷ eragileez adierazitakoen modukoak) baino ez dira erabiltzen. Aljebran sarritan zenbakiak ''a'', ''n'', ''x'', ''y'' edo ''z''-ren moduzko ikurrez ordezkatzen dira. Mesedegarria dena hurrengo zioengatik:
* Errazten du lege aritmetikoen formulazio orokorra (''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a'' edozein ''a'' eta ''b''-rentzat esaten denean bezala), eta hori [[zenbaki]] sistemen ezaugarrien ikerketa sistematikorako lehen urratsa da.
* Zenbaki "ezezagun"ei erreferentziak egin, [[ekuazio]]ak adierazi eta horiek nola ebatzi daitezken aztertzea ahalbidetzen du. (Esate baterako, “Aurki 3''x'' + 1 = 10" betetzen duen ''x'' zenbaki bat" edo, apur bat urrunago joanda, "Aurki ''ax'' + ''b'' = ''c''" berdintza betetzen duen ''x'' zenbakia”. Urrats hori eginda, ekuazioa ebaztea ahalbidetzen dutenak parte hartzen duten eragiketak direlako konklusiora heldu ahal da, ez zenbaki jakin batzuen izaerak.)
* Erlazio [[funtzio (matematika)|funtzionalak]] adieraztea ahalbidetzen du. (Adibidez, " ''x'' txartel saltzen badituzu, orduan 3''x'' − 10 euro irabaziko dituzu, edo ''f''(''x'') = 3''x'' − 10, non ''f'' funtzio bat den, eta ''x'' funtzioa aplikatzen zaion aldagaia".)

=== Polinomioak ===
[[Fitxategi:Polynomialdeg3.svg| 3. mailako funtzio polinomiko baten [[funtzio baten grafikoa|grafikoa]].|thumb|upright]]
{{Sakontzeko|Polinomio}}

'''Polinomio''' bat gaiak aldaezin bat eta [[aldagai (matematika)|aldagai]] kopuru finitu baten berreketen biderketaz osatuak dituen [[gai (matematika)|gai]] kopuru finitu baten batuketaz osatutako [[Adierazpen (matematika)|adierazpen matematiko]] bat da, beti ere berreketen berretzaileak zenbaki oso ez negatiboak eta gaien kopurua zero baino handiagoa badira. Adibidez, ''x''<sup>2</sup> + 2''x'' − 3 ''x'' aldagai bakarreko polinomio bat da. '''Adierazpen polinomiko''' bat, batuketaren eta biderketaren trukakortasuna, elkarkortasuna eta bien arteko banakortasuna kontuan hartuz, polinomio bat bezala berridatzi ahal den adierazpen bat da. Adibidez, (''x'' − 1)(''x'' + 3) adierazpen polinomiko bat da, baina, zehatz berba eginez, polinomio bat ez. '''Funtzio polinomiko''' bat polinomio batez edo adierazpen polinomiko batez definitutako funtzio bat da. Aurreko bi adibideak funtzio polinomiko berbera zehazten dute.

Polinomioen [[faktorizazio]]a, hau da, polinomio bat gehiago faktorizatu ezin diren beste polinomio batzuen biderkadura bezala idaztea, eta [[polinomioen zatitzaile komunetako handiena]]ren kalkulua erlazionatuta dauden aljebraren arazo garrantzitsu bi dira. Goiko ereduaren polinomioa (''x'' − 1)(''x'' + 3) eran jarrita faktorizatu ahal da. Erlazionatuta dagoen beste problema bat aldagai bateko polinomio baten [[funtzio baten erro|erroentzako]] adierazpen aljebraikoak aurkitzean datza.

== Aljebra abstraktua ==
{{Sakontzeko|Aljebra abstraktu|Egitura aljebraiko}}

'''Aljebra abstraktu'''ak [[oinarrizko aljebra]] eta [[aritmetika]]n ezagunak diren [[zenbaki]]en kontzeptuak baino orokorragoak diren beste kontzeptu batzuk ditu aztergai. Hurrengo lerrotan agertzen dira aljebra abstraktuaren funtsezko kontzeptuak.

'''[[Multzo]]ak''': Multzoak ezaugarri espezifikoak dituzten [[Elementu (matematika)|elementuak]] izendatutako objektu bildumak dira. Multzoaren kontzeptua zenbakiarena baino orokorragoa da, zenbaki mota ezagunen sorta guztiak multzoak dira, baina badaude beste multzo asko. [[Zenbaki]] mota ezberdinak bakarrik kontuan hartu beharrean, aljebra abstraktuak ''multzoak'' hartzen ditu kontuan. Multzoren beste adibide batzuk hurrengoak dira: bi bider bi [[matrize]] karratu guztien multzoa, bigarren mailako [[polinomio]] guztien multzoa (''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''), plano bateko dimentsio biko [[Bektore (matematika)|bektore]] guztien multzoa eta [[talde zikliko]]en moduko [[talde finitu]] batzuk, ''n'' [[Aritmetika modularra|modulu]] baterako kongruenteak diren zenbaki osoko multzoez osatuta dauden taldeak. Berez, [[Multzo-teoria]] [[logika]]ren adar bat da eta ez aljebrarena.

'''[[Eragiketa bitar]]rak''': [[Batuketa]] (+) eta [[biderketa]]ren (×) nozioetatik abiatuta, abstrakzioaren bidez, ''eragiketa bitar''raren nozioa sor daiteke, eta eragiketa hori ∗ ikurraz (eragileaz) adierazi adibidez. ''S'' multzo bateko ''a'' eta ''b'' edozein bi elementuen ''a'' ∗ ''b'' eragiketaren emaitza ''S'' multzoaren beste elementu bat bada multzo hori eragiketa horretarako [[Itxitura (matematika)|itxitura]] bat dela esaten da. [[Batuketa]] (+), [[kenketa]] (-), [[biderketa]] (×), eta [[Zatiketa (matematika)|zatiketa]] (÷) zenbaki multzo batzuetan definitutako eragiketa bitarrez gain badaude beste eragiketa bitar asko, esate baterako, matrize, bektore eta polinomioen batuketa eta biderketa.

'''[[Elementu neutro]]ak''': Zero eta bat zenbakien abstrakzioaren bidez eragiketa baten ''elementu neutro''aren nozioa sortzen da. '''Zero'''a batuketaren elementu neutroa da ''a'' + 0 = 0 + ''a'' = ''a'' delako eta '''bat'''a biderketarena ''a'' × 1 = 1 × ''a'' = ''a'' delako. Era berean, ∗ eragileaz adierazitako eragiketa bitar orokor batek ''e'' elementu neutroa izango du ''a'' ∗ ''e'' = ''e'' ∗ ''a'' = ''a'' betetzen bada. Multzo eta eragiketa konbinazio guztiek ez dute elementu neutrorik; adibidez, zenbaki arrunten multzoak (1, 2, 3,&nbsp;...) ez du elementu neutrorik batuketarako.

'''[[Alderantzizko elementu|Elementu simetrikoak]]''': Zenbaki negatiboetatik abiatuta eragiketa baten ''elementu simetriko''aren kontzeptua sor daiteke. Batuketan, ''a''-ren elementu simetrikoa ''−a'' idazten da eta ''a'' + ''−a'' = ''−a'' + ''a'' = 0 betetzen da; biderketan ''a''-ren elementu simetrikoa ''a''<sup>−1</sup> idazten da eta ''a'' × ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> × ''a'' = 1 betetzen da. Normalean, batuketaren elementu simetrikoei ''aurkako''ak deitzen zaie eta biderketarenei ''alderantzizko''ak. Orokorrean, * eragileaz adierazitako eragiketa bitar batek bi albotako elementu simetrikoak dituela esaten da (eta, izatekotan, ''a''<sup>−1</sup> ikurrekin irudikatzen da) dagokion multzoko edozein elementu ''a''-rentzat ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> = 1 eta ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' = 1 badira.

'''[[Elkarkortasuna]]''': Aritmetikan erabiltzen diren zenbaki arrunt, oso, arrazional, erreal eta konplexuekin batuketa elkarkorra dela edo elkartze-legea betetzen dela esaten da, batuko diren zenbakiak elkartzeagatik batura (batuketaren emaitza) aldatzen ez delako. Adibidez, {{nowrap|1=(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)}}. Orokorrean, edozein eragiketa elkarkorra izango da (''a'' ∗ ''b'') ∗ ''c'' = ''a'' ∗ (''b'' ∗ ''c'') betetzen bada. Eragiketa bitar askok dute propietate hau baina ez, esate baterako, kenketa, zatiketa edo [[Oktonioi|oktonioi-biderketa]].

'''[[Eragiketa trukakor|Trukakortasuna]]''':
Zenbaki arrunt, oso, arrazional, erreal eta konplexuekin bai batuketa eta bai biderketa biak dira trukakorrak, eragiketa biekin betetzen delako trukatze-legea; zenbakien hurrenkera ez duelako eraginik eragiketaren emaitzan. Adibidez 2 + 3 = 3 + 2 eta 7 × 5 = 5 × 7. Orokorrean, * ikurraz irudikatutako edozein eragiketa bitar trukakorra da ''a'' ∗ ''b'' = ''b'' ∗ ''a'' bada. Eragiketa bitar guztiek ez dute propietate hau; adibidez, [[kenketa]], [[zatiketa (argipena)|zatiketa]], [[berreketa]], [[matrize-biderketa]] eta [[Koaternioi|koaternioi-biderketa]] ez-trukakorrak dira (ez dira trukakorrak).

=== Taldeak ===
{{sakontzeko|Talde (matematika)}} <!--{{see also|Talde-teoria}}-->
'''Ikus [[Talde teoria]] eta [[Talde eredu]]ak ere'''

Aurreko kontzeptuak elkartuz sortzen da matematikan garrantzitsuenetarikoa den egitura bat: '''[[talde (matematika)|talde]]''' (aljebraiko)arena. ''S'' multzo batek eta haren barruan edozein modutan definitutako [[eragiketa bitar]] batek (* eragileaz irudikatuta) osatutako egitura aljebraikoa talde bat da eragiketak hurrengo ezaugarriak baditu:
* Eragiketa elkarkorra da: hau da ''a'', ''b'' eta ''c'' ''S'' multzoaren elementuak badira, (''a'' ∗ ''b'') ∗ ''c'' eta ''a'' ∗ (''b'' ∗ ''c'') berdinak direla betetzen da.
* Elementu neutro bat dago: multzoan badago ''e'' elementu bat ''S'' multzoaren edozein ''a'' elementuarekin eragiketa horrez konbinatuta ''a'' bera ematen duena, hau da ''e'' ∗ ''a'' = ''a'' ∗ ''e'' = ''a'' betetzen da.
* Elementu simetrikoak daude: ''S'' multzoaren ''a'' elementu guztiek badute ''a''<sup>−1</sup> elementu simetrikoak ''a'' ∗ ''a''<sup>−1</sup> = ''a''<sup>−1</sup> ∗ ''a'' = .''e'' betetzen dutenak

Talde batean [[trukakortasun|trukatze-legea]] ere betetzen bada—hau da ''S''ren ''a'' eta ''b'' edozein elementuekin , ''a'' ∗ ''b'' = ''b'' ∗ ''a'' bada— taldea [[talde abeldar]]ra edo [[talde trukakor]]ra dela esaten da.

Adibidez, zenbaki osoen multzoa batuketa eragiketarekin talde bat da; multzoan batuketa elkarkorra delako, elkartze legea betetzen delako, hau da ''a'', ''b'' eta ''c'' edozein zenbaki osorekin, (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'') delako eta elementu neutroa eta elementu simetrikoak badaudelako. Talde horren elementu neutroa 0a da eta ''a'' edozein elementuren elementu simetrikoa −''a'' da, eta bere aurkakoa esaten zaio.

[[Zenbaki arrazional]]ek (zeroa barik) biderketarekin talde bat osatzen dute. Taldearen elementu neutroa 1 da; 1 × ''a'' = ''a'' × 1 = ''a'' izateagatik edozein ''a'' zenbaki arrazionalentzat. Taldearen edozein ''a'' elementuren elementu simetrikoa 1/''a'' da, ''a'' × 1/''a'' = 1 delako.

Zenbaki osoek biderketa eragiketarekin, aldiz, ez dute osatzen talde bat. Zenbaki oso baten biderketaren alderantzizkoa normalean zenbaki osoa ez delako. Adibidez, 4 zenbaki osoa da, baina bere alderantzizkoa ¼, ez da zenbaki osoa.

Taldeei buruzko teoria [[talde-teoria]]n aztertzen da. Teoria honen emaitza garrantzitsua [[talde sinple finituen klasifikazio]]a da, gehien bat 1955 eta 1983 urteen artean argitaratua, klasifikazio horretan [[talde sinple]] [[multzo finitu|finituak]] gutxi gorabehera 30 oinarrizko motatan banatzen dira.

[[Erditalde]]ak, [[kuasitalde]]ak eta [[erditalde unitario]] edo [[monoide]]ak taldeen antzekok baina orokorragoak diren egitura aljebraikoak dira. Itxia den eragiketa bat dute (eragiketa hori multzoko edozein elementu birekin eginda emaitza multzoko beste elementu bat da) baina ez dute betetzen derrigorrez taldeak izateko beste baldintzak. [[Erditalde]]ek eragiketa bitar elkarkorra dute baina ez dute elementu neutrorik izan behar. [[Monoide]]ak edo [[erditalde unitario]]ak elementu neutroa duten baina elementu guztien simetrikorik izan behar ez duten erditaldeak dira. [[Kuasitalde]] batean edozein elementu bihurtu ahal da beste edozein elementu eskuin aldeko biderketa batez edo ezker aldeko biderketa batez; hala ere eragiketa bitarra beharbada ez da elkarkorra.

Talde guztiak dira monoideak, eta monoide guztiak dira erditaldeak.

{| class="wikitable"
|-
| colspan=11|Adibideak
|-
!Multzoa:
| colspan=2|[[Zenbaki arrunt]]ak '''N'''
| colspan=2|[[Zenbaki oso]]ak '''Z'''
| colspan=4|[[Zenbaki arrazional]]ak '''Q''' (baita [[Zenbaki erreal]]ak '''R''' eta [[Zenbaki konplexu]]ak '''C''')
| colspan=2|Zenbaki osoak [[Aritmetika modular|modulu]] 3: '''Z'''<sub>3</sub> = {0, 1, 2}
|-
!Eragiketa
| +
| × (zero barik)
| +
| × (zero barik)
| +
| −
| × (zero barik)
| ÷ (zero barik)
| +
| × (zero barik)
|-
!Itxia
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
|-
| E. neutroa
| 0
| 1
| 0
| 1
| 0
| E/A
| 1
| E/A
| 0
| 1
|-
| E. simetrikoa
| E/A
| E/A
| −''a''
| E/A
| −''a''
| E/A
| 1/''a''
| E/A
| 0, 2, 1, hurrenez hurren
| N/A, 1, 2, hurrenez hurren
|-
| Elkarkorra
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
| Ez
| Bai
| Ez
| Bai
| Bai
|-
| Trukakorra
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
| Bai
| Ez
| Bai
| Ez
| Bai
| Bai
|-
| Egitura
| [[monoide]]
| [[monoide]]
| [[talde abeldar]]
| [[monoide]]
| [[talde abeldar]]
| [[kuasitalde]]
| [[talde abeldar]]
| [[kuasitalde]]
| [[talde abeldar]]
| [[talde abeldar]] ('''Z'''<sub>2</sub>)
|}

=== Eraztunak eta gorputzak ===
{{sakontzeko|eraztun (matematika)|gorputz (matematika)}} <!--{{see also|Eraztun-teoria|Eraztun-teoriaren glosarioa|Gorputz-teoria (matematika)|Gorputz-teoriaren glosarioa}}-->
''Ikus'' [[Eraztun-teoria]], [[Eraztun-teoriaren glosarioa]], [[Gorputz-teoria (matematika)]] eta [[Gorputz-teoriaren glosarioa]] ''ere''.

Taldeak eragiketa batekin bakarrik daude hornituta. Zenbakien portaera hobeto azaltzeko eragile bi dituzten egiturak aztertu behar dira. Horien artean garrantzitsuenak [[Eraztun (matematika)|eraztunak]], eta [[Gorputz (matematika)|gorputzak]] dira.

'''[[Banakortasun]]a''': zenbakien ''banatze-legea'' orokortuz, × eragileaz irudikatutako eragiketa bat + eragileaz irudikatutako beste eragiketa batekiko banatzailea dela esaten da {{nowrap|1=(''a'' + ''b'') × ''c'' = ''a'' × ''c'' + ''b'' × ''c''}} eta {{nowrap|1=''c'' × (''a'' + ''b'') = ''c'' × ''a'' + ''c'' × ''b'',}} badira, kasu horretan eragiketak ''banakor''rak direla edo/eta ''banatze-legea'' betetzen dela esaten da. Zenbaki arruntekin biderketa banatzailea da batuketarekiko baina ez alderantziz ( hau da, {{nowrap|1=''c'' × (''a'' + ''b'') = ''c'' × ''a'' + ''c'' × ''b''}} baina {{nowrap|1=''c'' + (''a'' × ''b'') ≠ ''c'' + ''a'' × ''c'' + ''b''}} ), horrelako kasuetan {{nowrap|1=''c'' + ''a'' × ''b''}} eragiketak ezin dira egin edozein [[Eragiketen ordena|ordenetan]], lehenengo bestearekiko banatzailea den eragiketa egin behar da

'''[[Eraztun (matematika)|Eraztun]]''' batek bi eragiketa bitar ditu, (+) eta (×) eragileekin irudikatuta, eta bigarrena lehenengoarekiko banatzailea da. Lehenengo eragiketarekin (+) ''talde abeldarra'' da. Bigarren eragiketarako (×) elkartze-legea betetzen da (eragiketa elkarkorra da) baina eragiketak ez du elementu neutro edo elementu simetrikorik izan behar. Lehenengo eragiketaren (+) elementu neutroa 0 idazten da eta eragiketa horrekiko ''a'' elementu baten elementu simetrikoa −''a''.

Zenbaki osoak eraztun baten eredua dira. Hala ere, zenbaki osoek badituzte beste propietate batzuk ere, eta horregatik eurek osatutako multzoak '''[[osotasun-eremu]]''' izeneko egitura aljebraikoa duela esaten da.

Bigarren eragiketarako elementu neutroa duen eraztun bati [[eraztun unitario]]a esaten zaio.

'''[[Gorputz (matematika)|Gorputz]]''' bat 0a kenduta bere elementu guztiek bigarren eragiketarentzat (×) talde abeldar bat osatzen duten ''eraztun'' bat da. Bigarren eragiketaren (×) elementu neutroa 1 idazten da eta eragiketa horrekiko ''a'' elementu baten elementu simetrikoa ''a''<sup>−1</sup>.

Zenbaki arrazionalez, errealez eta konplexuez osatutako hiru multzoak gorputzak dira.

==[[Fitxategi:Jakindun logoa.png|left|24px]] Ariketak ==
<gallery mode="packed" heights="120" style="background-color: #fef6e7; margin-left: 0;" caption="Adierazpen aljebraikoak">
Fitxategi:Adierazpen aljebraikoak Itzulpenak.webm|'''Adierazpen aljebraikoen''' itzulpenak lantzeko ariketa.
Fitxategi:Adierazpen aljebraikoen zenbakizko balioa.webm|'''Adierazpen aljebraikoen''' zenbakizko balioa lantzeko ariketa.
</gallery>

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda|30em}}

== Bibliografia ==
* Donald R. Hill, ''Islamic Science and Engineering'' (Edinburgh University Press, 1994).
* Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, ''Introducing Mathematics'' (Totem Books, 1999).
* George Gheverghese Joseph, ''The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics'' ([[Penguin Books]], 2000).
* John J O'Connor and Edmund F Robertson, [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Indexes/Algebra.html ''History Topics: Algebra Index'']. In ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]'' ([[University of St Andrews]], 2005).
* I.N. Herstein: ''Topics in Algebra''. {{ISBN|0-471-02371-X}}
* R.B.J.T. Allenby: ''Rings, Fields and Groups''. {{ISBN|0-340-54440-6}}
* [[L. Euler]]: ''[https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ Elements of Algebra]'', {{ISBN|978-1-899618-73-6}}
* {{erreferentzia|abizena=Asimov|izena=Isaac|izenburua=Realm of Algebra|url=https://archive.org/details/realmofalgebra00asim|urtea=1961|argitaletxea=Houghton Mifflin|authorlink=Isaac Asimov}}

== Ikus, gainera ==
<!-- Mesedez, jarri “ikus hurrengoa ere” erreferentzia guztiak hurrengo hiru orrialdeen ostean.-->
<!--{{atari|Aljebra}}-->
* [[Aljebraren eskema]]
* [[Aljebra linealaren eskema]]

== Kanpo estekak ==
* [http://www.khanacademy.org/math/algebra Khan akademia: Bideo kontzeptualak eta landutako ereduak (ingelesez)]
* [https://web.archive.org/web/20130509005401/http://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview_hist_alg/v/origins-of-algebra Khan akademia: Aljebraren hastapenak: doan erabili ahal den hitzaldi laburra (ingelesez)]
* [https://web.archive.org/web/20071004172100/http://www.gresham.ac.uk/event.asp?PageId=45&EventId=620 4000 Years of Algebra], Robin Wilsonen hitzaldia, [[Gresham College]]n, 2007eko urriaren 17 (MP3 eta MP4 rako eta testu legez jaisteko moduan).
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Aljebra| ]]
[[Kategoria:Matematika]]