Autobalioak eta autobektoreak-en iturria ikusi

[[Aljebra lineal|Aljebra linealean]], eragile lineal baten '''bektore propioa''' edo '''autobektorea''' ('''''eigenvector''''' ingelesez) bektore ez-nulu bat da, eta, operadoreak transformatzen duenean, bere buruaren multiplo eskalarra eratzen du, eta, beraz, ez du norabidea aldatzen. Bektoreari  dagokion  '''balio propioa, eigenvalue-'''a edo  '''autobalioa''', askotan <math>\lambda</math>-ren bidez adierazten dena, autobektorea eskalatzeko faktore hura da.


[[Geometria|Geometrikoki]], autobektore bat, autobalio [[Zenbaki erreal|erreal]] ez-zero bati dagokiona, transformaziotik luzatzen den norabidea adierazten du, eta autobalioa bektorea luzatzen den faktorea da. Autobalioa negatiboa bada, norabidea alderantzikatu egiten da.<ref>{{Erreferentzia|izena=Richard L.|abizena=Burden|izenburua=Numerical analysis|data=2016|url=https://www.worldcat.org/oclc/898154569|edizioa=Tenth edition|isbn=978-1-305-25366-7|pmc=898154569|sartze-data=2022-12-20}}</ref>

Oro har, dimentsio anitzeko bektore-espazio batean, autobektorea ez da biratzen.

{{TOC limit|3}}

== Definizio formala ==
T aplikazioa V espazio bektorial baten transformazio lineala bada F [[Gorputz (matematika)|eremu]] baten gainean definituta, eta {{Math|'''v'''}} [[Zero bektorea|zero]] ez den bektore bat bada V bektore espazioan, orduan '''v''' T-ren autobektore bat da baldin eta T('''v''') '''v'''-ren multiplo eskalar bat bada. Honela idatz daiteke hori:<math display="block">T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v},</math>non {{Mvar|λ}} baita F eremuan eskalar bat, '''autobalioa''', '''balio bereizgarria''' edo '''v'''-rekin lotutako '''erro bereizgarria'''.

Zuzeneko korrespondentzia dago nxn [[Matrize karratu|matrize karratuen]] eta espazio bektorial baten transformazio linealen artean, espazio bektorialaren edozein [[Oinarri (aljebra)|oinarri]] hartuta. Hala, dimentsio finituko bektore espazio batean, autobalioak eta autobektoreak definitzea baliokidea da, [[Matrize|matrizeen]] hizkuntza edo transformazio linealen hizkuntza erabiliz.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Ingeniaritzaren oinarri matematikoak II: aljebra lineala : laburpen teorikoa eta ariketak|argitaletxea=Universidad del País Vasco, Servicio Editorial = Euskal Herriko Unibertsitatea, Argitarapen Zerbitzua|data=2002|url=https://www.worldcat.org/oclc/433406547|isbn=84-8373-480-X|pmc=433406547|sartze-data=2022-12-20}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Sheldon|abizena=Axler|izenburua=Aljebra lineala ondo egina|argitaletxea=Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea, Argitalpen Zerbitzua = Servicio de Publicaciones|data=2017|url=https://www.worldcat.org/oclc/1055568699|isbn=978-84-9082-623-2|pmc=1055568699|sartze-data=2022-12-20}}</ref>

V dimentsio finituko espazio bat bada, aurreko ekuazioa  honela geratuko da<ref>{{Erreferentzia|izena=Eric W.|abizena=Weisstein|izenburua=Eigenvalue|hizkuntza=en|url=https://mathworld.wolfram.com/|aldizkaria=mathworld.wolfram.com|sartze-data=2022-12-20}}</ref><math display="block">A\mathbf{u} = \lambda \mathbf{u}.</math>non {{Mvar|A}} baita T-aplikazioaren adierazpen matriziala, eta {{Math|'''u'''}} baita '''v'''-ren bektore koordenatua.

== Sinopsia ==
Autobalioak eta autobektoreak leku nabarmena hartzen dute transformazio linealen azterketan. Eigen aurrizkia [[Aleman|alemaniar]] ''[[wiktionary:eigen-|eigen]]'' hitzetik hartzen da ([[:en:Cognate|cognate]] con la palabra inglés ''[[wiktionary:own#English|own]]'') 'egokia', 'karakterisitkoa', 'berekoa' hitzetarako. {{Sfn|Betteridge|1965}}<ref name=":0">{{Cite web|izenburua=Eigenvector and Eigenvalue|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/eigenvalue.html|lana=www.mathsisfun.com|accessdate=2020-08-19}}</ref> [[Gorputz zurrun|Gorputz zurrunen]] errotazio-mugimenduaren [[Inertzia-momentu|ardatz nagusiak]] aztertzeko erabiltzen diren jatorrian, autobalioek eta autobektoreek aplikazio-sorta zabala dute; adibidez, egonkortasun-analisian, [[Bibrazio|bibrazioen]] analisian, [[Orbital atomiko|orbita]] atomikoetan, aurpegiaren azterketan eta matrizearen diagonalizazioan.

Funtsean, T transformazio linealeko '''v''' autobektorea zero ez den bektore bat da, eta, T bektoreari aplikatzen zaionean, ez da norabidea aldatzen. T autobektoreari aplikatzean, autobektorea soilik eskalatzen da ''λ'' balio eskalarraren bidez, autobalioa deritzona. Baldintza hori honela idatz daiteke:<math display="block">T(\mathbf{v}) = \lambda \mathbf{v},</math>autobalioen ekuazioa edo '''auto-ekuazioa''' deitzen zaio. Oro har, ''λ'' edozein eskalar izan daiteke. Adibidez, ''λ'' negatiboa izan daiteke; kasu horretan, autobektorearen norabidea alderantzikatzen, edo zero edo [[Zenbaki konplexu|konplexua]] izan daiteke.
[[Fitxategi:Mona_Lisa_eigenvector_grid.png|thumb|320x320px|Ebaketa-mapa honetan, gezi gorriak norabidea aldatzen du, baina gezi urdinak ez. Gezi urdina ebaketa-mapa horren autobektorea da, norabidea aldatzen ez duelako, eta bere luzera aldatzen ez denez, autobalioa 1 da.]]
[[Fitxategi:Eigenvectors_of_a_linear_operator.gif|thumb|203x203px|2 × 2 matrize erreal eta simetrikoa, planoaren luzaketa eta zizailadura adierazten duena. Matrizearen autobektoreak(lerro gorriak) bi helbide bereziak dira, halako moldez non puntu bakoitza haien gainean irristatuko baita.]]
Hemen erakusten den [[Gioconda|Mona Lisa-ren]] irudiak adibide  sinple bat erakusten du. Pinturaren puntu bakoitza bektore gisa adieraz daiteke, pinturaren erdigunetik puntu horretara. Adibide honetako transformazio linealari ''ebaketa-mapa'' deritzo. Goiko erdiko puntuak eskuinera mugitzen dira, eta beheko erdiko puntuak ezkerrera mugitzen dira, pinturaren erditik pasatzen den ardatz horizontaletik urrun dagoenaren proportzioan. Beraz, jatorrizko irudiaren puntu bakoitza seinalatzen duten bektoreak eskuinerantz edo ezkerrerantz okertzen dira, eta luzeagoak edo laburragoak bihurtzen dira transformazioan. ''Ardatz horizontaleko puntuak'' ez dira inolaz ere mugitzen eraldaketa hori aplikatzen denean. Beraz, osagai bertikalik gabe zuzenean eskuinera edo ezkerrera begira dezakeen edozein bektore eraldaketa horren autobektore bat da, mapatzeak ez baitu bere norabidea aldatzen. Gainera, autobektore horiek guztiek balio bera dute, mapatzeak ere ez baitu luzera aldatzen.

Transformazio linealek hainbat forma har ditzakete, bektore-espazio desberdinetan bektoreak mapatuz; beraz, autobektoreek ere forma asko har ditzakete. 

Adibidez, transformazio linealak ''n''x''n'' matrize karratuaren forma har lezake, eta, kasu horretan, autobektoreak ''n''x1 matrizeak dira. Transformazio lineala  ''n''  ordeneko A matrize karratuaren bidez adierazten bada, orduan, aurrean ikusitako '''auto-ekuazioa'''  matrize biderketa gisa berridatz daiteke<math display="block">A\mathbf v = \lambda \mathbf v,</math>non '''''v''''' autobektorea ''n''x1 matrize bat baita. Matrize baterako, autobalioak eta autobektoreak erabil daitezke [[matrizearen deskonposizioa]] egiteko, adibidez, diagonalizazioaren bidez.

Autobalioek eta autobektoreek lotura estua duten matematika-kontzeptu asko sortzen dituzte, eta ''auto'' aurrizkia modu liberalean aplikatzen da horiek izendatzen dituenean:

* Transformazio lineal baten autobektore guztien multzoari, bakoitza bere autobalioarekin parekatuta, eraldaketa horren '''autosistema''' deritzo.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=About Numerical Recipes|url=http://numerical.recipes/aboutNR3book.html|aldizkaria=numerical.recipes|sartze-data=2023-01-04}}</ref> <ref>{{Erreferentzia|izena=Eric W.|abizena=Weisstein|izenburua=Eigenvector|hizkuntza=en|url=https://mathworld.wolfram.com/|aldizkaria=mathworld.wolfram.com|sartze-data=2023-01-04}}</ref>
* ''auto''balioa berari dagozkion T-ren autobektore guztien multzoari, zero bektorearekin batera, autoespazio deritzo, edo autobalio horri lotutako T-ren '''espazio bereizgarria'''.<ref>{{erreferentzia|izena=Evar D.|abizena=Nering|urtea=1970|izenburua=Linear Algebra and Matrix Theory|argitaletxea=Wiley|ISBN=76091646|hizkuntza=Ingelesez|url=https://download.tuxfamily.org/openmathdep/algebra_linear/Linear_Algebra_and_Matrix_Theory-Nering.pdf}}</ref> {{Sfn|Nering|1970}}
* T-ren autobektore-multzo bat T-ren domeinuaren oinarri bat bada, oinarri horri auto-oinarri deritzo.

== Historia ==
Autobalioak [[Aljebra lineal|aljebra]] linealaren edo [[Matrize|matrizearen]] teoriaren testuinguruan sartzen dira maiz. Historikoki, ordea, forma koadratikoen<ref>{{Erreferentzia|izena=Iñaki|abizena=Zurutuza|izenburua=Oinarrizko aljebra|argitaletxea=Elhuyar|data=2000|url=https://www.worldcat.org/oclc/907330823|isbn=84-95338-18-1|pmc=907330823|sartze-data=2022-12-22}}</ref> eta [[Ekuazio diferentzial|ekuazio diferentzialen]] azterketan sortu ziren.

XVIII. mendean, [[Leonhard Euler]]-rek aztertu zuen [[gorputz zurrun]] baten errotazio-mugimendua eta ardatz nagusien garrantzia aurkitu zuen. [[Joseph-Louis Lagrange|Joseph Louis Lagrange]] konturatu zen [[Inertzia-momentu|ardatz nagusiak]] inertzia-matrizearen autobektoreak zirela. {{Sfn|Hawkins|1975}}

XIX. mendearen hasieran, [[Augustin-Louis Cauchy|Augustin-Louis Cauchyk]] ikusi zuen nola erabil zitekeen bere lana lauki-gainazalak sailkatzeko, eta nola orokortu nahi zituen. {{Sfn|Hawkins|1975}} Cauchy ''arrazne'' ''caractéristique'' ere sortu zen (sustrai bereizgarria), eta, beraz, orain balio propioa(eigenvalue) du izena; termino hori ''ekuazio'' karakteristikoan bizi da. {{Efn|{{harvnb|Kline|1972|loc=pp. 807–808}} Augustin Cauchy (1839) "Mémoire sur l'intégration des équations linéaires" (Memoir on the integration of linear equations), ''Comptes rendus'', '''8''': 827–830, 845–865, 889–907, 931–937.  [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k2967c/f833.item.r{{=}}.zoom From p. 827:] ''"On sait d'ailleurs qu'en suivant la méthode de Lagrange, on obtient pour valeur générale de la variable prinicipale une fonction dans laquelle entrent avec la variable principale les racines d'une certaine équation que j'appellerai l'''équation caractéristique'', le degré de cette équation étant précisément l'order de l'équation différentielle qu'il s'agit d'intégrer."''  (One knows, moreover, that by following Lagrange's method, one obtains for the general value of the principal variable a function in which there appear, together with the principal variable, the roots of a certain equation that I will call the "characteristic equation", the degree of this equation being precisely the order of the differential equation that must be integrated.)}}:

Geroago, [[Joseph Fourier]]-ek Lagrangeren eta [[Pierre-Simon Laplace|Pierre Simon Laplace]]-ren lana erabili zuen aldagaiak banatzearen bidezko bero-ekuazioa ebazteko 1822ko ''[[Joseph Fourier|Théorie analytique de la chaleur]]'' liburu ezagunean. [12] François Sturmek are gehiago garatu zituen Fourier-en ideiak, eta Cauchyri jakinarazi zizkion; hark bere ideiekin konbinatu zituen, eta benetako [[Matrize simetriko|matrize simetrikoek]] autobalioak dituztela ikusi zuen. [11] Hori [[Jacques Charles François Sturm|Charles Hermite]]-k zabaldu zuen 1855ean, eta orain matrize hermitiarrak deitzen zaie. {{Sfn|Kline|1972}}

Aldi berean, gutxi gorabehera, Francesco Brioschik frogatu zuen [[Matrize ortogonal|matrize ortogonalen]] eigenbalueak zirkulu unitarioan daudela,[11], eta Alfred Clebschek aurkitu zuen inklinazioaren [[Matrize antisimetriko|matrize asimetrikoei]] dagokien emaitza. [13] Azkenik, [[Karl Weierstrass|Karl]] Weierstrass-ek Laplacek hasitako egonkortasunaren teoriaren alderdi garrantzitsu bat argitu zuen, matrize akastunek ezegonkortasuna eragin dezaketela konturatu baitzen. {{Sfn|Hawkins|1975}}

Bitartean, [[Joseph Liouville]]-k eigenvalue arazoak aztertu zituen, Sturm-en antzekoak; orain, ''Sturm–Liouville-ren teoria'' da bere lanetik sortu zen diziplina. [14] Schwarzek [[Laplaceren ekuazioa|Laplaceren ekuazio]]-ko lehen eigenvalue aztertu zuen XIX. mendearen amaieran, eremu orokorretan; [[Henri Poincaré|Poincaré]]-k, berriz, Poisson-en ekuazioa aztertu zuen urte batzuk geroago. {{Sfn|Kline|1972}}

XX. mendearen hasieran, operadore integralen autobalioak aztertu zituen [[David Hilbert]]-ek, operadoreak matrize infinitu gisa ikustean. {{Sfn|Kline|1972}} Alemaniako ''eigen'' hitza, "norberarena" esan nahi duena, erabili zuen lehena izan zen ''eigenvalues'' eta ''eigenvektor''eak denotatzeko 1904an,[modest-alpha 3], nahiz eta [[Hermann von Helmholtz|Herman von Helmholtz]]-en erabilera bati jarraitu ahal izan zion.<ref name=":0"/> Denbora batez, ingelesezko termino estandarra "berezko balioa" izan zen, baina "eigenvalue" terminorik bereizgarriena gaur egungo estandarra da. {{Sfn|Aldrich|2006}}

Eigenvalues eta eigenvektoreak konputatzeko lehen zenbakizko algoritmoa 1929an agertu zen, [[Richard von Mises|Richard von]] Mises-ek potentzia-metodoa argitaratu zuenean. Gaur egungo metodo ezagunenetako bat, QR algoritmoa, John G. F. Francis[18] eta Vera Kublanovskaya[19] autoreek proposatu zuten 1961ean. [20][21]

== Autobalioak eta matrize-autobektoreak ==
Eigenbalueak eta eigenvektoreak askotan sartzen zaizkie ikasleei, matrizeetan oinarritutako aljebra linealeko ikastaroen testuinguruan.<ref name="CornellMathCourses">Cornell University Department of Mathematics (2016) [http://www.math.cornell.edu/m/Courses/Catalog/lowerlevel ''Lower-Level Courses for Freshmen and Sophomores'']. Accessed on 2016-03-27.</ref>
Gainera, bektore-espazio finitu baten gaineko transformazio linealak matrizeen bidez adieraz daitezke,[2][3], eta hori oso ohikoa da zenbakizko aplikazioetan eta aplikazio konputazionaletan. {{Sfn|Press|Teukolsky|Vetterling|Flannery|2007}}
[[Fitxategi:Eigenvalue_equation.svg|eskuinera|thumb|250x250px|''A'' matrizeak x bektorea luzatuz jarduten du, haren norabidea aldatu gabe; beraz, '''x''' A-ren eigenvektore bat da.]]
Har itzazu {{Mvar|n}} eskalarren zerrenda gisa eratzen diren n-dimentsioko bektoreak, hala nola bektore tridimentsionalak.<math display="block">\mathbf x = \begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}\quad\mbox{and}\quad \mathbf y = \begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}.</math>Esaten da bektore horiek elkarrekiko multiplo eskalarrak direla, edo [[Paralelo (geometria)|paraleloak]] edo kolinealak, baldin eta {{Mvar|λ}} eskala bat badago:<math display="block">\mathbf x = \lambda \mathbf y.</math>Kasu honetan <math>\lambda = -\frac{1}{20} </math>

Har dezagun, orain, ''n'' dimentsioko bektoreen transformazio lineal bat 

''nxn'' dimentsioko A  matrize batek  definitutakoa,<math display="block">A \mathbf v = \mathbf w,</math>edo<math display="block">\begin{bmatrix}
    A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1n} \\
    A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2n} \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nn} \\
  \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
    v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n
  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
    w_1 \\ w_2 \\ \vdots \\ w_n
  \end{bmatrix}
</math>non, ilara bakoitzeko,<math display="block">w_i = A_{i1} v_1 + A_{i2} v_2 + \cdots + A_{in} v_n = \sum_{j = 1}^n A_{ij} v_j.</math>Gertatzen bada {{Mvar|v}} eta {{Mvar|w}} multiplo eskalarrak direla, hau da:

{{NumBlk|:|<math>A \mathbf v = \mathbf w = \lambda \mathbf v,</math>|{{EkuazioErref|1}}}}orduan, {{Math|'''v'''}} transformazio linealeko '''autobektore''' bat da, eta {{Mvar|λ}} eskala-faktorea '''autobalioa''' da, autobektore horri dagokiona. ({{EkuazioOhar|1}}) ekuazioa A matrizearen '''autobalio ekuazioa''' da.

({{EkuazioOhar|1}}) ekuazioa honela adieraz daiteke:

{{NumBlk|:|<math>\left(A - \lambda I \right) \mathbf v = \mathbf 0,</math>|{{EkuazioErref|2}}}}


{{NumBlk|:|<math>\left(A - \lambda I \right) \mathbf v = \mathbf 0,</math>|{{EquationRef|2}}}}non {{Mvar|I}} baita ''n''x''n'' [[Identitate matrize|identitate-matrizea]], eta '''0''' baita zero bektorea.

=== Autobalioak eta polinomio bereizgarria ===
{{Nagusia|Characteristic polynomial}}
({{EkuazioOhar|2}}) ekuazioak badu zero ez den <math>\mathbf{v}</math> soluzioa baldin eta (A–λI) matrizearen determinantea zero bada. Beraz, ekuazio hau betetzen duten ''λ'' balioak dira A-ren autobalioak:{{NumBlk|:|<math>|A-\lambda I| = 0</math>|{{EkuazioErref|3}}}}{{NumBlk|:|<math>|A-\lambda I| = 0</math>|{{EquationRef|3}}}}Leibniz-e''n'' formul''a'' determinatzaileetarako erabiliz, ({{EkuazioOhar|3}}) ekuazioaren eskuineko aldea ''λ'' aldagaiaren funtzio polinomiala da, eta [[polinomio]] horren maila n da, A matrizearen ordena. Haren [[Koefiziente (matematika)|koefizienteak]] A-ren sarreren araberakoak dira, n gradu-terminoa beti (–1)nλn denean izan ezik. Polinomio horri Aren ''polinomio bereizgarria'' deitzen zaio. ({{EkuazioOhar|3}}) ekuazioari A-ren ''ekuazio'' karakteristikoa edo ''ekuazio sekularra'' deritzo.

''A''ljebraren oinarrizko teoremak adierazten du ''n''x''n'' A matrize baten polinomio bereizgarria, ''n'' graduaren polinomio bat izanik, ''n'' termino linealen biderkaduran [[Faktorizazio|faktoriza]] daitekeela,{{NumBlk|:|<math>|A - \lambda I| = (\lambda_1 - \lambda )(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda),</math>|{{EquationRef|4}}}}{{NumBlk|:|<math>|A - \lambda I| = (\lambda_1 - \lambda )(\lambda_2 - \lambda) \cdots (\lambda_n - \lambda),</math>|{{EquationRef|4}}}}  <math>\lambda_{j}</math> bakoitza erreala izan daiteke, baina, oro har, zenbaki konplexua da. Polinomioaren erroak zenbatzeko  <math>\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}</math> zenbakiak erabiltzen dira baina litekeena da balio ezberdinak ez izatea, eta A-ren autobalioak dira.

Adibide labur gisa, aurrerago adibideen atalean zehatzago deskribatzen dena, har ezazu ondoko matrizea<math display="block">A = \begin{bmatrix}
  2 & 1\\
  1 & 2
\end{bmatrix}.</math> <math>(A - \lambda I)</math> matrizearen determinatzailea hartuta, A matrizearen polinomio bereizgarria kalkulatuko da:<math display="block">|A - \lambda I| = \begin{vmatrix}
    2 - \lambda & 1 \\
    1           & 2 - \lambda
  \end{vmatrix} =
  3 - 4\lambda + \lambda^2.
</math>Polinomio bereizgarriaren balioa zero denean, λ=1 eta λ=3 erroak ditu, A-ren bi autobalioak. Autobalio bakoitzari dagozkion autobektoreak aurkitzeko ondoko ekuazioa ebatzi  {{Nowrap|<math>\left(A - \lambda I\right) \mathbf v = \mathbf 0</math>}}

eta '''v'''-ren osagaiak lortu. Adibide honetan, honako hauen multiplo eskalar ez-nuluak dira autobektoreak:<math display="block">\mathbf v_{\lambda=1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \quad \mathbf v_{\lambda=3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.</math>''A'' matrizeko sarrerak zenbaki errealak badira, polinomio karakteristikoaren koefizienteak ere zenbaki errealak izango dira, baina autobalioek irudimenezko zati ez-nuluak izan ditzakete. Beraz, autobektoren sarrerek ere irudimenezko zati ez-nuluak izan ditzakete. Er''a'' berean, autobalioak [[Zenbaki irrazional|zenbaki irrazionalak]] izan daitezke, baita A sarrera guztiak [[Zenbaki arrazional|zenbaki arrazionalak]] badira edo denak osoak badira ere. Hala ere, A-ren sarrerak [[zenbaki aljebraiko]] guztiak badira, arrazionalak barne, autobalioak zenbaki aljebrako konplexuak dira.

Benetako koefizienteak dituen polinomio erreal baten erro ez-errealak multzokatu egin daitezke konjokatu konplexuen bikoteetan, hau da, bikote bakoitzeko bi kideekin, zeinuan eta parte erreal berean soilik bereizten diren irudizko zatiak dituztela. Gradua bitxia bada, erdiko balioaren teoremagatik, gutxienez sustraietako bat erreala da. Beraz, ordena bakoitia duen edozein [[Matrize|matrize errealek]] autobalio erreal bat du gutxienez, eta ordena bikoitia duen matrize erreal batek, berriz, baliteke autobalio errealik ez izatea. Autobalio konplexu horiei lotutako autobektoreak ere konplexuak dira, eta bikote konjugatu konplexuetan ere agertzen dira.

=== Aniztasun aljebraikoa ===
<math>\lambda_{i}</math> ''n'' ordeneko  ''A'' matrize''k''o autobalio bat izanik, <math>\mu_{A}(\lambda_{i})</math> '''aniztasun aljebraikoa''' autobalio polinomio karakteristikoaren erro gisa duen [[aniztasuna]] da, hau da, k osoko handiena, non <math>(\lambda - \lambda_{i})^{k}</math>polinomio hori uniformeki zatitzen baita. [9][25][26

Demagun A matrizeak n eta d·n dimentsio autobalio desberdinak dituela. ({{EkuazioOhar|4}}) ekuazioak Aren polinomio bereizgarria zehazten du termino linealak errepikakor izan daitezkeen zenbait terminorekin biderkatzean; polinomio bereizgarria, berriz, autobalio bati dagozkion d terminoen biderkadura gisa idatz daiteke, eta biderkadura hori aniztasun aljebraikoaren potentziarekiko desberdina eta handia da.<math display="block">|A - \lambda I| = (\lambda_1 - \lambda)^{\mu_A(\lambda_1)}(\lambda_2 - \lambda)^{\mu_A(\lambda_2)} \cdots (\lambda_d - \lambda)^{\mu_A(\lambda_d)}.</math>''d'' = n bada, eskuineko aldea n termino linealen biderkadura da, eta hori ({{EkuazioOhar|4}}) ekuazioaren berdina da. Autobalio bakoitzaren aniztasun aljebraikoaren tamaina ''n'' dimentsioarekin lotuta dago, honela:<math display="block">\begin{align}
      1 &\leq \mu_A(\lambda_i) \leq n, \\
  \mu_A &= \sum_{i=1}^d \mu_A\left(\lambda_i\right) = n.
\end{align} </math>μA(λi) = 1 bada, esan ohi da λi autobalio sinplea dela. {{Sfn|Golub|Van Loan|1996}} μA(λi) hurrengo atalean definitutako λi-ren aniztasun geometrikoaren berdina bada, γA(λi) esaten da λi autobalio semisimple dela.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.
{{Nagusia|Basic reproduction number}}{{Nagusia|Basic reproduction number}}

== Aplikazioak ==

=== Eraldaketa geometrikoen eigenbalioak ===
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|+Eraldaketa geometrikoen eigenvaluesa
!
! scope="col" |[[Eskalatze (matematika)|Eskala]]
! scope="col" |Eskala desberdina
! scope="col" |[[Biraketa (matematika)|Errotazioa]]
! scope="col" |Ebakitzaile horizontala
! scope="col" |Errotazio hiperbolikoa
|-
! scope="row" |Irudia
|[[Fitxategi:Homothety_in_two_dim.svg|alt=Equal scaling ([[Homothetic transformation|homothety]])|100x100px]]
|[[Fitxategi:Unequal_scaling.svg|alt=Vertical shrink and horizontal stretch of a unit square.|100x100px]]
|[[Fitxategi:Rotation.png|alt=Rotation by 50 degrees|100x100px]]
|[[Fitxategi:Shear.svg|alt=Horizontal shear mapping|erdian|100x100px]]
|[[Fitxategi:Squeeze_r=1.5.svg|100x100px]]
|- style="vertical-align:top"
! scope="row" |Matrizea
|<math>\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & k\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}k_1 & 0\\ 0 & k_2\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}</math>
|<math> \begin{bmatrix}1 & k\\ 0 & 1\end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{bmatrix}\cosh\varphi & \sinh\varphi\\ \sinh\varphi & \cosh\varphi\end{bmatrix}</math>
|-
! scope="row" |Ezaugarriak<br /><br /><br /><br />
|<math>\ (\lambda - k)^2</math>
|<math>(\lambda - k_1)(\lambda - k_2)</math>
|<math>\lambda^2 - 2\cos(\theta)\lambda + 1</math>
|<math>\ (\lambda - 1)^2</math>
|<math>\lambda^2 - 2\cosh(\varphi)\lambda + 1</math>
|-
! scope="row" |Eigenbalueak,<math>\lambda_i</math> 
|<math>\lambda_1 = \lambda_2 = k</math>
|<math>\begin{align}\lambda_1 &= k_1 \\ \lambda_2 &= k_2\end{align}</math>
|<math>\begin{align}\lambda_1 &= e^{i\theta} \\ &= \cos\theta + i\sin\theta \\ \lambda_2 &= e^{-i\theta} \\ &= \cos\theta - i\sin\theta \end{align}</math>
|<math>\lambda_1 = \lambda_2 = 1</math>
|<math>\begin{align}\lambda_1 &= e^\varphi \\ &= \cosh\varphi + \sinh\varphi \\ \lambda_2 &= e^{-\varphi} \\ &= \cosh\varphi - \sinh\varphi \end{align}</math>
|-
! scope="row" |Multo algebraikoa,<br /><br /><br /><br /><math>\mu_i = \mu(\lambda_i)</math>
|<math>\mu_1 = 2</math>
|<math>\begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align}</math>
|<math>\begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align}</math>
|<math>\mu_1 = 2</math>
|<math>\begin{align}\mu_1 &= 1 \\ \mu_2 &= 1 \end{align}</math>
|-
! scope="row" |Isun geometrikoa,<br /><br /><br /><br /><math>\gamma_i = \gamma(\lambda_i)</math>
|<math>\gamma_1 = 2</math>
|<math>\begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align}</math>
|<math>\begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align}</math>
|<math>\gamma_1 = 1</math>
|<math>\begin{align}\gamma_1 &= 1 \\ \gamma_2 &= 1 \end{align}</math>
|-
! scope="row" |Eigenvektoreak
|Bektore ez-nulu guztiak
|<math>\begin{align}
  \mathbf u_1 &= \begin{bmatrix} 1\\ 0\end{bmatrix} \\
  \mathbf u_2 &= \begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix}
\end{align}</math>
|<math>\begin{align}
  \mathbf u_1 &= \begin{bmatrix} 1\\ -i\end{bmatrix} \\
  \mathbf u_2 &= \begin{bmatrix} 1\\ +i\end{bmatrix}
\end{align}</math>
|<math>\mathbf u_1 = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}</math>
|<math>\begin{align}
  \mathbf u_1 &= \begin{bmatrix} 1\\  1\end{bmatrix} \\
  \mathbf u_2 &= \begin{bmatrix} 1\\ -1\end{bmatrix}
\end{align}</math>
|}
Errotazio baten ekuazio karakteristikoa [[Bigarren mailako ekuazio|ekuazio koadratiko]] bat da, diskriminatzailea duena, eta zenbaki negatiboa da {{Mvar|θ}} ez denean 180º-ren multiplo osoa.<math>D = -4(\sin\theta)^2</math> Beraz, kasu berezi horietan izan ezik, bi eigenbalueak zenbaki konplexuak dira, ; eta eigenvektore guztiek sarrera ez-errealak dituzte.<math>\cos\theta \pm i\sin\theta</math> Izan ere, kasu berezi horietan izan ezik, biraketa batek zero ez den bektore bakoitzaren norabidea aldatzen du planoan.

Lauki bat zona bereko laukizuzen batera daraman transformazio linealak (mapa zukutua) autobalio elkarkariak ditu.

=== Osagai nagusien azterketa(PCA) ===
[[Fitxategi:GaussianScatterPCA.png|eskuinera|thumb|Aldagai anitzeko banaketa gaussiarraren ACP, direkzioan 3 inguruko desbiderapen estandarra eta norabide ortogonalean 1 ingurukoa duena.<math>(1, 3)</math><math>(0.878, 0.478)</math> Erakutsitako bektoreak kobariantza-matrizearen (simetrikoa, errepikatua-erdifinitua) bektore unitarioak dira, eta dagokion eigenvaludearen erro karratutik eskalatzen dira. Dimentsio bakarreko kasuan bezala, erro karratua hartzen da desbiderapen estandarra [[bariantza]] baino errazago ikusten delako.]]
{{Nagusia|Basic reproduction number}}{{Nagusia|Basic reproduction number}}

== Oharrak ==
<references group="lower-alpha"/>

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda|30em}}

== Bibliografia ==
{{Refbegin|2|indent=yes}}
*{{erreferentzia|atala=Eigenvalue, eigenfunction, eigenvector, and related terms|izena=John|abizena=Aldrich|izenburua=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics|urtea=2006|editor-abizena=Miller|editor-izena=Jeff|atala-url=http://jeff560.tripod.com/e.html}}
*{{erreferentzia|isbn=0-471-84819-0|edition=5th|lekua=New York|izena=Howard|abizena=Anton|izenburua=Elementary Linear Algebra|argitaletxea=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|urtea=1987}}
*{{erreferentzia|abizena1=Beauregard|abizena2=Fraleigh|izena1=Raymond A.|izena2=John B.|url=https://archive.org/details/izenacourseinlin0000beau|isbn=0-395-14017-X|lekua=Boston|izenburua=A izena Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields|argitaletxea=[[Houghton Mifflin Co.]]|urtea=1973|url-access=registration}}
*{{erreferentzia|url=http://linear.ups.edu/|izena=Robert A.|abizena=Beezer|izenburua=A izena course in linear algebra|argitaletxea=Free online book under GNU licence, University of Puget Sound|urtea=2006}}
*{{erreferentzia|abizena1=Bender|abizena2=Yamilov|abizena3=Yilmaz|abizena4=Cao|izena1=Nicholas|izena2=Alexey|izena3=Hasan|izena4=Hui|date=2020-10-14|url=https://journals.aps.org/prl/pdf/10.1103/PhysRevLett.125.165901|journal=Physical Review Letters|issue=16|issn=0031-9007|pmid=33124845|bibcode=2020PhRvL.125p5901B|doi=10.1103/physrevlett.125.165901|volume=125|page=165901|izenburua=Fluctuations and Correlations of Transmission Eigenchannels in Diffusive Media|arxiv=2004.12167|s2cid=216553547}}
*{{erreferentzia|abizena1=Benn|abizena2=Evans|izena1=D.|izena2=D.|pages=103–107|lekua=London|izenburua=A Practical Guide to the study of Glacial Sediments|argitaletxea=Arnold|urtea=2004}}
*{{erreferentzia|lekua=New York|izena=Harold T.|abizena=Betteridge|izenburua=The New Cassell's German Dictionary|argitaletxea=[[Funk & Wagnall]]|urtea=1965|lccn=58-7924}}
*{{erreferentzia|abizena1=Burden|abizena2=Faires|izena1=Richard L.|izena2=J. Douglas|url=https://archive.org/details/numericalanalysi00burd|isbn=0-534-93219-3|edition=5th|lekua=Boston|izenburua=Numerical Analysis|argitaletxea=[[Prindle, Weber and Schmidt]]|urtea=1993|url-access=registration}}
*{{erreferentzia|abizena1=Denton|abizena2=Parke|abizena3=Tao|abizena4=Zhang|izena1=Peter B.|izena2=Stephen J.|izena3=Terence|izena4=Xining|date=January 2022|url=https://www.ams.org/journals/bull/2022-59-01/S0273-0979-2021-01722-8/S0273-0979-2021-01722-8.pdf|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|issue=1|doi=10.1090/bull/1722|volume=59|pages=31–58|izenburua=Eigenvectors from Eigenvalues: A Survey of a Basic Identity in Linear Algebra|arxiv=1908.03795|s2cid=213918682|archive-url=https://web.archive.org/web/20220119071933/https://www.ams.org/journals/bull/2022-59-01/S0273-0979-2021-01722-8/S0273-0979-2021-01722-8.pdf|archive-date=19 January 2022|url-status=live}}
*{{erreferentzia|abizena1=Diekmann|abizena2=Heesterbeek|abizena3=Metz|izena1=O|izena2=JA|izena3=JA|url=https://ir.cwi.nl/pub/2026|journal=Journal of Mathematical Biology|issue=4|pmid=2117040|doi=10.1007/BF00178324|volume=28|pages=365–382|izenburua=On the definition and the computation of the basic reproduction ratio R0 in models for infectious diseases in heterogeneous populations|urtea=1990|hdl=1874/8051|s2cid=22275430|hdl-access=free}}
*{{erreferentzia|isbn=0-201-01984-1|edition=2nd|lekua=Reading|izena=John B.|abizena=Fraleigh|izenburua=A izena Course In Abstract Algebra|argitaletxea=[[Addison-Wesley]]|urtea=1976}}
*{{erreferentzia|journal=[[The Computer Journal]]|issue=3|doi=10.1093/comjnl/4.3.265|volume=4|pages=265–271|izena=J. G. F.|abizena=Francis|izenburua=The QR Transformation, I (part 1)|urtea=1961|doi-access=free}}
*{{erreferentzia|journal=The Computer Journal|issue=4|doi=10.1093/comjnl/4.4.332|volume=4|pages=332–345|izena=J. G. F.|abizena=Francis|izenburua=The QR Transformation, II (part 2)|urtea=1962|doi-access=free|ref=none}}
*{{erreferentzia|abizena1=Friedberg|abizena2=Insel|abizena3=Spence|izena1=Stephen H.|izena2=Arnold J.|izena3=Lawrence E.|isbn=0-13-537102-3|edition=2nd|lekua=Englewood Cliffs, NJ|izenburua=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra0000frie_02ed|argitaletxea=Prentice Hall|urtea=1989}}
*{{erreferentzia|abizena1=Golub|abizena2=Van Loan|izena1=Gene H.|izena2=Charles F.|isbn=978-0-8018-5414-9|edition=3rd|lekua=Baltimore, MD|izenburua=Matrix computations|argitaletxea=Johns Hopkins University Press|urtea=1996|author1-link=Gene H. Golub|author2-link=Charles F. Van Loan}}
*{{erreferentzia|abizena1=Graham|abizena2=Midgley|izena1=D.|izena2=N.|journal=[[Earth Surface Processes and Landforms]]|issue=13|bibcode=2000ESPL...25.1473G|doi=10.1002/1096-9837(200012)25:13<1473::AID-ESP158>3.0.CO;2-C|volume=25|pages=1473–1477|izenburua=Graphical representation of particle shape using triangular diagrams: an Excel spreadsheet method|url=https://archive.org/details/sim_earth-surface-processes-and-landforms_2000-12_25_13/page/1473|urtea=2000|s2cid=128825838}}
*{{erreferentzia|journal=Historia Mathematica|doi=10.1016/0315-0860(75)90032-4|volume=2|pages=1–29|izena=T.|abizena=Hawkins|izenburua=Cauchy and the spectral theory of matrices|urtea=1975|doi-access=free}}
*{{erreferentzia|abizena1=Heesterbeek|abizena2=Diekmann|izena1=J. A. P.|izena2=Odo|url={{google books|plainurl=y|id=5VjSaAf35}}|lekua=West Sussex, England|izenburua=Mathematical epidemiology of infectious diseases|argitaletxea=John Wiley & Sons|urtea=2000|series=Wiley series in mathematical and computational biology}}{{Apurtutako esteka|date=urria 2023 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
*{{erreferentzia|url=http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/|lekua=Colchester, VT|izena=Jim|abizena=Hefferon|izenburua=Linear Algebra|argitaletxea=Online book, St Michael's College|urtea=2001}}
*{{erreferentzia|isbn=978-1114541016|lekua=Waltham|izena=I. N.|abizena=Herstein|izenburua=Topics In Algebra|argitaletxea=[[Blaisdell Publishing Company]]|urtea=1964}}
*{{erreferentzia|isbn=0-19-501496-0|izena=Morris|abizena=Kline|izenburua=Mathematical thought from ancient to modern times|url=https://archive.org/details/mathematicalthou0000unse|argitaletxea=Oxford University Press|urtea=1972}}
*{{erreferentzia|abizena1=Knox-Robinson|abizena2=Gardoll|izena1=C.|izena2=Stephen J.|journal=Computers & Geosciences|issue=3|bibcode=1998CG.....24..243K|doi=10.1016/S0098-3004(97)00122-2|volume=24|page=243|izenburua=GIS-stereoplot: an interactive stereonet plotting module for ArcView 3.0 geographic information system|url=https://archive.org/details/sim_computers-geosciences_1998-04_24_3/page/243|urtea=1998}}
*{{erreferentzia|abizena1=Korn|abizena2=Korn|izena1=Granino A.|izena2=Theresa M.|journal=New York: McGraw-Hill|isbn=0-486-41147-8|bibcode=1968mhse.book.....K|edition=2nd Revised|izenburua=Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review|urtea=2000|author2-link=Theresa M. Korn}}
*{{erreferentzia|date=1962|journal=USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics|number=3|doi=10.1016/0041-5553(63)90168-X|volume=1|pages=637–657|izena=Vera N.|abizena=Kublanovskaya|izenburua=On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem}}
*{{Cite book|abizena1=Lipschutz|abizena2=Lipson|izena1=Seymour|izena2=Marc|date=12 August 2002|url={{google books|plainurl=y|id=pkESXAcIiCQC|page=111}}|isbn=978-007139880-0|page=111|izenburua=Schaum's Easy Outline of Linear Algebra|argitaletxea=McGraw Hill Professional}}
*{{erreferentzia|isbn=978-0-89871-454-8|lekua=Philadelphia|izena=Carl D.|abizena=Meyer|izenburua=Matrix analysis and applied linear algebra|url=https://archive.org/details/matrixanalysisap0000meye|argitaletxea=Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)|urtea=2000}}
*{{erreferentzia|edition=2nd|lekua=New York|izena=Evar D.|abizena=Nering|izenburua=Linear Algebra and Matrix Theory|argitaletxea=[[John Wiley & Sons|Wiley]]|urtea=1970|lccn=76091646}}
*{{erreferentzia|abizena1=Press|abizena2=Teukolsky|abizena3=Vetterling|abizena4=Flannery|izena1=William H.|izena2=Saul A.|izena3=William T.|izena4=Brian P.|isbn=978-0521880688|edition=3rd|izenburua=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing|urtea=2007|author2-link=Saul Teukolsky}}
*{{erreferentzia|isbn=978-0-387-72828-5|edition=3rd|izena=Steven|abizena=Roman|izenburua=Advanced linear algebra|argitaletxea=Springer Science + Business Media|urtea=2008|place=New York}}
*{{erreferentzia|abizena1=Rotter|abizena2=Gigan|izena1=Stefan|izena2=Sylvain|date=2017-03-02|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.89.015005|journal=Reviews of Modern Physics|issue=1|bibcode=2017RvMP...89a5005R|doi=10.1103/RevModPhys.89.015005|volume=89|pages=015005|izenburua=Light fields in complex media: Mesoscopic scattering meets wave control|arxiv=1702.05395|s2cid=119330480}}
*{{erreferentzia|isbn=0-486-63518-X|izena=Georgi E.|abizena=Shilov|izenburua=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra0000shil|argitaletxea=Dover Publications|urtea=1977|others=Translated and edited by Richard A. Silverman|place=New York}}
*{{erreferentzia|abizena1=Sneed|abizena2=Folk|izena1=E. D.|izena2=R. L.|journal=Journal of Geology|issue=2|bibcode=1958JG.....66..114S|doi=10.1086/626490|volume=66|pages=114–150|izenburua=Pebbles in the lower Colorado River, Texas, a study of particle morphogenesis|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-geology_1958-03_66_2/page/114|urtea=1958|s2cid=129658242}}
*{{erreferentzia|abizena1=Trefethen|abizena2=Bau|izena1=Lloyd N.|izena2=David|izenburua=Numerical Linear Algebra|argitaletxea=SIAM|urtea=1997}}
*{{erreferentzia|izenburua=Graph eigenvectors, fundamental weights and centrality metrics for nodes in networks|url=https://archive.org/details/arxiv-1401.4580|abizena=Van Mieghem|izena=Piet|class=math.SP|eprint=1401.4580|date=18 January 2014}}
*{{erreferentzia|abizena1=Vellekoop|abizena2=Mosk|izena1=I. M.|izena2=A. P.|date=2007-08-15|url=https://www.osapublishing.org/ol/abstract.cfm?uri=ol-32-16-2309|journal=Optics Letters|issue=16|issn=1539-4794|pmid=17700768|bibcode=2007OptL...32.2309V|doi=10.1364/OL.32.002309|volume=32|pages=2309–2311|izenburua=Focusing coherent light through opaque strongly scattering media|language=EN|s2cid=45359403}}
*{{erreferentzia|url=http://mathworld.wolfram.com/Eigenvector.html|izena=Eric W.|abizena=Weisstein|izenburua=Eigenvector|website=mathworld.wolfram.com|access-date=4 August 2019|ref={{harvid|Wolfram.com: Eigenvector}}}}
*{{erreferentzia|date=n.d.|url=https://mathworld.wolfram.com/Eigenvalue.html#:~:text=Eigenvalues%20are%20a%20special%20set,Marcus%20and%20Minc%201988,%20p.|izena=Eric W.|abizena=Weisstein|izenburua=Eigenvalue|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com}}
*{{erreferentzia|izenburua=Neutrinos Lead to Unexpected Discovery in Basic Math|abizena=Wolchover|izena=Natalie|magazine=Quanta Magazine|url=https://www.quantamagazine.org/neutrinos-lead-to-unexpected-discovery-in-basic-math-20191113/|date=13 November 2019|access-date=27 November 2019}}
*{{erreferentzia|abizena1=Xirouhakis|abizena2=Votsis|abizena3=Delopoulus|izena1=A.|izena2=G.|izena3=A.|url=http://www.image.ece.ntua.gr/papers/43.pdf|izenburua=Estimation of 3D motion and structure of human faces|argitaletxea=National Technical University of Athens|urtea=2004}}
{{Refend}}

== Kanpo estekak ==
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Fisika matematikoa]]
[[Kategoria:Aljebra lineala]]
[[Kategoria:Aljebra abstraktua]]
[[Kategoria:Testuan alemana duten artikuluak]]
[[Kategoria:Gainbegiratu gabeko itzulpenak]]