Azalera-en iturria ikusi


{{Wikipedia1000}}
{{HezkuntzaPrograma|Matematika}}

'''Azalera''' [[espazio metriko]] bat da, eta, haren bidez, [[gainazal]] baten [[Neurri-unitate|neurria]] kalkula daiteke. Matematikan, azalera neurtzeko unitatea metro karratua da (<math>m^2</math>). Azalerak luzera neurri baten zehaztasuna eskatzen du.<ref>{{Erreferentzia|abizena=RINCON VILLALBA, MARIO ARTURO;VARGAS VARGAS, WILSO.|izenburua=TOPOGRAFIA : conceptos y aplicaciones.|argitaletxea=ECOE EDICIONES|data=2017|url=https://www.worldcat.org/oclc/1041531329|isbn=958-771-507-1|pmc=1041531329|sartze-data=2019-12-04}}</ref> ''Azalera,'' txukuna ez delakoan, zenbaitzuk, '''eremu''' eta '''luze-zabal''' izenak hobetsi izan dituzte.'''<ref name=":0">{{erreferentzia|urtea=1998|izenburua=[[Euskara batuaren ajeak]]|argitaletxea=[[Alberdania]]|orrialdeak=38-39|ISBN=848866950X|hizkuntza=eu|egilea=[[Ibon Sarasola]]|url=https://books.google.es/books?id=RW1xwiGp55MC&pg=PA38&lpg=PA38&dq=azalera&source=bl&ots=oKBpEnYQ6m&sig=ACfU3U2UN5KSGMXLjW4GTIdwCICtSmUXuw&hl=es&sa=X&ved=2ahUKEwjR7f7QptXwAhVJu3EKHegAC6cQ6AEwCHoECAcQAw#v=onepage&q=azalera&f=false|atala=azalera|aipua='''azalera.''' Arazoak ditugu erdarazko ''superficie'' / ''surface''-ren kide egokia aurkitzeko, batez ere testuinguru jakin batzuetan. Hortaz, ''barruko'' edo ''azpiko gainaldea'' bezalako esapideak gogor egiten zitzaizkienak ''azalera'' asmatu zuten. Niri ez zait gaizki iruditzen. Kezkagarri iruditzen zaidana da hitza gerora hartzen ari den hedadura. Askotan gertatzen zaigu: kasu jakin eta bakan batzuetarako bideratzen den hitzak badu halako joera bat, espainolaren eraginez, espainolez duen eremu semantiko osoa hartzeko: ''azalera'' "superficie" guztiak bada, azkenean "superficie" guztiak azalera bihurtzen dira.

''Azalera'' ez da hitz txukuna: bere kideak, ''luzera'', ''zabalera'' etab., Hegoaldean bederen, ez zaizkigu gogor egiten, baina ''azalera'' bai, ''azal'' ez delako izenondo bat. Bada testuinguru bat ''azalera'' aski desegoki gertatzen dena: geografian lurraldeen luze-zabala izendatzean. Eta aski desegokia da adigai hori aski arrunta delako, eta horretarako euskaraz, ''luze-zabal'' aipatu berriaz bestalde badugulako beste bat askoz egokiagoa: ''eremu''. Hitz honek badu alde on bat ''azalera''-ren aldean: erabili egin dela eta erabiltzen dela, normal-normal, Iparraldean: hona ''Herria''-n irakurri behar ditudanak: ''eremuz, 609 kilometra karratu'' (Belfort-eko lurraldeaz mintzatuz, ''Herria'' 1997-6-12), eta ''"Promo expo" sozietateak 1400m<sup>2</sup> eremu gehiago berexi ditu aurtengo feriarentzat" (ale berean). Eta Hegoaldean ere ez da Mitxelena izan ''eremu'' honetan ere erabili duen bakarra.

Antza denez, gure teknikariei ez zaie ''eremu'' aski zehatz eta aski tekniko iruditzen. Kontu honetaz uste dut aski dela ''bena'' sarreran esaten dudana. Bestalde gogoratu behar dut Euskaltzaindiaren Hiztegi Batuak ''azalera''-ri buruz dioena: "Geometrian neurria adierazteko erabiltzen da soilik; bestetarako, ''azal'' (leun, zakar...), ''gainazal'', ''eremu'' (lurralde batena, adibidez), etc. daude".}}</ref>'''

''Azalera'' kontzeptua intuitiboagoa da gainazal lauak erabiltzen badira. Edozein gainazal lau (hau da, edozein [[poligono]]) hirukitan banatu daiteke, eta, beraz, gainazal horren azalera kalkula daiteke gainazal hori banatzen duten hiruki guztien azaleren batura egiten bada.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Didáctica de las Matemáticas, Una experiencia Pedagógica Moderna {{!}} {{ISBN|978-958-44-7938-9}} - Libro|hizkuntza=es|url=https://isbn.cloud/9789584479389/didactica-de-las-matematicas-una-experiencia-pedagogica-moderna/|aldizkaria=isbn.cloud|sartze-data=2019-12-04}}</ref> ''Azalera'' hitza izaria adierazteko baino ez da erabiltzen; bestetarako, ''azal'' (leun, zakar...), ''gainazal, eremu'' (lurralde batena, adib.), eta abar daude.'''<ref name=":0" />'''<ref>{{Erreferentzia|izenburua=azalera - EH - Euskaltzaindiaren Hiztegia|url=https://www.euskaltzaindia.eus/index.php?antzekoak=ez&option=com_hiztegianbilatu&view=frontpage&layout=aurreratua&Itemid=410&lang=eu&bila=bai&sarrera=azalera|aldizkaria=www.euskaltzaindia.eus|sartze-data=2021-05-21}}</ref>

Forma solido baterako, hala nola [[esfera]], [[kono]] edo [[zilindro]] batentzat, bere muga-azalerari gainazal-azalera deitzen zaio. Antzinako [[Greziar|greziarrek]] forma sinpleen azaleraren formulak kalkulatzen zituzten, baina [[Irudi geometriko|irudi]] konplikatuago baten azalera kalkulatzeak aldagai anitzeko kalkulua behar du askotan.

Gainazal kurbatuen azalera kalkulatu ahal izateko, ezinbestekoa da [[geometria]] diferentzialeko metodoak erabiltzea. Gainazal orokor baten azalera kalkulatzeko, aldiz, gainazal horren [[Tensore|tentsore]] metriko bat definitu behar da; gainazala [[Euklidear espazio|espazio euklidear]] baten barnean badago, gainazal horrek [[metrika euklidearraren]] bidez induzitutako egitura metriko arrunta hartzen du.

== Historia ==
Antzinatik uste izan da azalera [[irudi geometriko]] baten barruko eskualdearen tamaina ematen duen neurria dela. [[Antzinako Egipto]]n, urteroko [[Nilo]] ibaiko uraldien ondoren eta eragindako uholdeen ondorioz, nekazaritza lursail bakoitzaren azalera kalkulatzeko beharra agertu zen lursail mugak berrezartzeko. Arazo honi konponbidea aurkitu nahian, [[Egiptoar|egiptoarrek]] geometria sortu zuten, [[Herodoto|Herodotoren]] arabera.<ref>{{Erreferentzia|izena=José M.|abizena=Floristán|izenburua=Heródoto. Historia, libro II (Euterpe), edición bilingüe, introducción y notas|hizkuntza=en|url=https://www.academia.edu/4395985/Her%C3%B3doto._Historia_libro_II_Euterpe_edici%C3%B3n_biling%C3%BCe_introducci%C3%B3n_y_notas|sartze-data=2019-12-04}}</ref>

[[Poligono]] baten azalera triangeluen azaleren batura gisa kalkulatzeko metodoa, lehen aldiz [[Antifonte Atenaskoa|Antifon]] greziar jakintsuak proposatu zuen, [[K.a. 430]]. urtearen inguruan. Irudi kurbadun baten azalera kalkulatzeak zailtasun gehiago sortzen du. [[Exhauzio-metodo|Exhauzio-metodoak]] poligonoak irudi geometrikoan zirkunskribatzean eta inskribatzean datza, poligono horien aldeen kopurua handitu eta azalera bilatu. 

''[[Eudoxo Knidokoa|Eudoxo]]-ren Exhauzio-metodo'' izenez ezagutzen den sistemarekin, [[Zirkulu|zirkuluaren]] azalera kalkulatzeko hurbilketa lortu zuen. Sistema hori, geroago [[Arkimedes]]-ek erabili zuen antzeko problemak ebazteko,<ref name=":1">{{Erreferentzia|izenburua=El problema del área|url=http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Probarea.htm|aldizkaria=www.fca.unl.edu.ar|sartze-data=2019-12-04}}</ref> hala nola [[Pi (zenbakia)|pi zenbakiaren]] balioaren hurbilketa.

=== Zirkuluaren eta elipsearen azalera ===
[[K.a. V. mendea|K. a. V. mendean]], [[Hipokrates|Hipokrates Koskoa]] izan zen zirkulu baten azalera (zirkunferentzia batez itxitako eremua) bere diametroaren karratuarekiko proportzionala dela erakusten lehena, bere lunularen koadraturaren zati gisa<ref>{{Erreferentzia|izenburua=A Manual of Greek Mathematics - Sir Thomas Little Heath - Google Books|data=2016-05-01|url=https://web.archive.org/web/20160501215852/https://books.google.com/books?id=_HZNr_mGFzQC&pg=PA121|aldizkaria=web.archive.org|sartze-data=2023-08-21}}</ref>, baina ez zuen [[Proportzionaltasun (matematika)|proportzionaltasunaren]] konstantea identifikatu. [[Eudoxo Knidokoa]], halaber, K.a. V. mendean, zirkulu baten azalera bere erradioarekiko proportzionala dela ere aurkitu zuen<ref>{{Erreferentzia|izena=James|abizena=Stewart|izenburua=Single variable calculus : early transcendentals|argitaletxea=Belmont, CA : Thomson Brooks/Cole|data=2003|url=http://archive.org/details/singlevariableca00stew|isbn=978-0-534-39330-4|sartze-data=2023-08-21}}</ref>.

Geroago, [[Euklidesen Elementuak|Euklidesen ''Elementuak]] I. Liburua bi dimentsioko irudien arteko eremu-berdintasunaz arduratu zen. Arkimedes matematikariak [[Geometria euklidear|geometria euklidiarraren]] tresnak erabili zituen zirkulu baten barruko azalera eta zirkuluaren zirkunferentziaren luzera duen [[Triangelu angeluzuzen|triangelu angeluzuzena]] berdinak direla erakusteko, bere ''Zirkuluaren neurriari buruz''ko liburuan. (Zirkunferentzia 2πr da, eta triangelu baten azalera da oinarriaren erdia bider altuera; ondorioz, diskoaren πr<sup>2</sup> azalera lortzen da). Arkimedesek, π-ren balioa hurbildu zuen (eta, beraz, erradio unitarioko zirkulu baten azalera) bere metodoaren bidez, eta triangelu erregular bat zirkulu batean inskribatu eta bere azalera apuntatu zuen; gero, hexagono erregular bat emateko, albo-kopurua bikoiztu zuen, ondoren, behin eta berriz, albo-kopurua bikoiztu zuen poligonoaren azalera zirkuluarenera hurbiltzen zen heinean (eta gauza bera egin zuen poligono zirkunskribatuekin)<ref name=":1" />.

[[Johann Heinrich Lambert]] zientzialari [[Suitzar|suitzarrak]], [[1761|1761ean]] frogatu zuen «zirkulu baten azaleraren eta bere erradio karratuaren arteko erlazioa irrazionala dela», eta horrek esan nahi du ez dela bi zenbaki osoren zatiduraren berdina<ref name=":2">Arndt, Jörg; Haene l, Christoph (2006). [https://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC ''Pi Unleashed''. Springer-Verlag]. <small>[[:es:Especial:FuentesDeLibros/978-3-540-66572-4|ISBN 978-3-540-66572-4]]</small>. Consultado el 5 de junio de 2013. English translation by Catriona and David Lischka</ref>. [[1794|1794an]], [[Adrien-Marie Legendre]] matematikari [[Frantziar|frantziarrak]] frogatu zuen «π<sup>2</sup> irrazionala» dela; horrek frogatzen du ere «π irrazionala» dela<ref>Eves, Howard (1990), ''An Introduction to the History of Mathematics'' (6th edición), Saunders, p. 121, <small>ISBN 978-0-03-029558-4</small></ref>. [[1882|1882an]], [[Ferdinand von Lindemann]] [[alemaniar]] matematikariak «π transzendentala» dela frogatu zuen (ez da koefiziente arrazionalak dituen ezein ekuazio polinomikoren soluzioa); horrek Legendre eta Eulerren aieru bat berresten du<ref name=":2" />{{Rp|page=196}}.

=== Hirukien azalera ===
[[Heron Alexandriakoa|Heron Alexandriakoak]] triangelu baten azalerarako [[Heronen formula]] izenez ezagutzen dena aurkitu zuen bere aldeei dagokienez, eta froga bat aurki daiteke bere ''Métrica ''liburuan, [[60]]. urtearen inguruan idatzia. Iradoki izan da [[Arkimedes|Arkimedesek]] baino bi mende edo gehiago lehenago ezagutzen zuela formula<ref>Heath, Thomas L. (1921). ''A History of Greek Mathematics (Vol II)''. Oxford University Press. pp. 321-323</ref>, eta ''Métrica ''antzinako munduan eskuragarri zegoen ezagutza matematikoaren bilduma zenez, litekeena da formula lan horretan emandako erreferentzia baino lehenagokoa izatea<ref>{{Erreferentzia|izena=Eric W.|abizena=Weisstein|izenburua=Heron's Formula|hizkuntza=en|url=https://mathworld.wolfram.com/|aldizkaria=mathworld.wolfram.com|sartze-data=2023-08-21}}</ref>.

[[499|499an]], [[Aryabhata|Aryabhatak]], [[India|Indiako]] matematika eta astronomiaren garai klasikoko matematikari-astronomo batek, triangelu baten azalera oinarriaren erdia bider altueraz adierazi zuen ''[[Aryabhatiya]]''n (2.6 atala).

[[Txinatar|Txinatarrek]] [[Heronen formula]] bera aurkitu zuten greziarrak alde batera utzita. [[1247|1247an]] argitaratu zen ''Shushu Jiuzhang''en (Tratatu matematikoa bederatzi ataletan), [[Qin Jiushao|Qin Jiushaok]] idatzia.

==Definizio formala==
''Azalera'' zer den definitzeko hurbilketa bat axiomen bidezkoa da. ''Azalera'' irudi planoen mota berezi bateko M bilduma batetik (multzo neurgarriak deitzen direnak) zenbaki errealen multzora arteko funtzio gisa defini daiteke honako propietate hauek betez<ref>Apostol, Tom (1967). ''Calculus''. I: One-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra pp. 58-59. <small>ISBN 9780471000051</small></ref>:

* M-ren S guztientzat, a(S) ≥ 0.
* S eta T M-n badaude, orduan, S ∪ T eta S ∩ T ere bai, eta baita a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
* ''S'' eta ''T'' ''M''-n con ''S'' ⊆ ''T''-rekin badaude, orduan, ''T'' - ''S'' ''M''-n dago eta  ''a''(''T''−''S'') = ''a''(''T'') − ''a''(''S'').
* ''S'' multzo bat ''M''-n badago eta ''S'' kongruentea bada ''T''-rekin, orduan, ''T'' ere ''M''-n eta ''a''-n (''S'') = ''a''(''T'') dago.
* ''R'' laukizuzen bakoitza ''M''-n dago. Laukizuzenak ''h'' luzera eta ''k'' zabalera baditu, orduan, ''a''(''R'') = ''hk''.
* Izan bedi ''Q'' mailakako bi eremuen artean itxitako multzoa, ''S'' eta ''T''. Oinarri komun batean oinarritzen diren aldameneko laukizuzenen batasun finitu batetik eratzen da maila-eremu bat, hau da, ''S'' ⊆ ''Q'' ⊆ ''T''. ''c'' zenbaki bakar bat badago, hala nola ''a''(''S'') ≤ c ≤ ''a''(''T'') halako eremu mailakatu guztietarako ''S'' eta ''T'', orduan, ''a''(''Q'') = ''c''.

Froga daiteke eremu-funtzio hori benetan existitzen dela<ref>{{Erreferentzia|izena=Edwin E.|abizena=Moise|izenburua=Elementary geometry from an advanced standpoint|argitaletxea=Reading, MA. : Addison-Wesley Pub. Co.|data=1963|url=http://archive.org/details/elementarygeomet0000mois|sartze-data=2023-08-21}}</ref>.

==Azaleraren eta perimetroaren arteko nahasmena==
[[Fitxategi:Hexaflake.gif|thumb|upright=0.6|Zenbat eta ebaketa gehiago egin, orduan eta azalera gehiago murrizten eta perimetroa handitzen da.]]
[[Perimetro|Perimetroa]], eremuarekin batera, irudi geometriko planoen bi neurri nagusietako bat da. Unitate berean adierazten ez diren arren, ohikoa da bi nozio horiek nahastea<ref>Dominique Barataud. «[http://media.education.gouv.fr/file/education_prioritaire_et_accompagnement/05/7/introduction_115057.pdf Aire et périmètre]». [http://eduscol.education.fr/ ''http://eduscol.education.fr/''.] dossier d’activités pédagogiques réalisé par le groupe national de réflexion sur l’enseignement des mathématiques en dispositifs relais</ref> edo sinestea zenbat eta handiagoa izan bestea ere handiagoa dela. Izan ere, irudi geometriko baten handitzeak (edo murrizteak) aldi berean bere azalera eta perimetroa handitzen (edo txikitzen) ditu. Adibidez, mapa batean, lur zati bat 1:10.000 [[Eskala (kartografia)|eskalan]] agertzen bada, lurren benetako perimetroa kalkula daiteke irudikapenaren perimetroa 10&nbsp;000-z biderkatuz eta azalera 10&nbsp;000<sup>2</sup>ez biderkatuz. .000. Hala ere, ez dago inolako lotura zuzenik azaleraren eta perimetroaren artean. Adibidez, metro karratuko azalera duen laukizuzen batek dimentsio gisa izan ditzake, metrotan: 0,5 eta 2 (beraz, 5 m-ko perimetroa) baina baita 0,001 eta 1000 ere (beraz, 2.000 m baino gehiagoko perimetroa). [[Proklo|Proklok]] ([[V. mendea]]) dio greziar nekazariek perimetroen arabera, ''bidezko banaketan'', partekatzen zituztela soroak, baina azalera ezberdinekin<ref>{{Erreferentzia|izena=Sir Thomas|abizena=Heath|izenburua=A History of Greek Mathematics, Volume II: From Aristarchus to Diophantus|argitaletxea=Courier Corporation|hizkuntza=en|data=2013-09-16|url=https://books.google.fr/books?id=8TSoAAAAQBAJ&pg=PA206|isbn=978-0-486-16265-2|sartze-data=2023-08-21}}</ref><ref>Bernard Teissier. «[https://web.archive.org/web/20090116014032/http://people.math.jussieu.fr/~teissier/documents/LMA3.Teissier.v6.pdf Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre]». ''Institut de mathématiques de Jussieu''. <small>Teissier 1999</small>. Archivado desde el original el 16 de enero de 2009. Consultado el 9 de julio de 2021. (leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, rédigée par C. Reydy).</ref>. Hala ere, soro baten ekoizpena azalerarako proportzionala da, ez perimetroarekiko.
== Gainazal lauen azalera: ==
{{Sakontzeko|Irudi geometriko}}

===Poligonoen formulak===
[[Koordenatu kartesiar|Koordenatu kartesiarrak]] ezagutzen diren poligono (soil) baterako <math>(x_i,y_i)</math> (''i ''= 0, 1, ..., ''n ''− 1) bere ''n'' erpinetatik, [[Gaussen azalera formula|Gaussen azalera formulak]] ematen du:
:<math>A = \frac{1}{2} \Biggl\vert \sum_{i = 0}^{n - 1}( x_i y_{i + 1} - x_{i + 1} y_i) \Biggr\vert</math>

i=n−1 denean, orduan i+1 ''n'' [[Aritmetika modular|modulu]] gisa adierazten da eta, beraz, 0-ri dagokio.

====Laukizuzenak====
[[Fitxategi:Lados del rectángulo.png|thumb|Laukizuzen honen azalera <math>l\times a</math>.|221x221px da.]]
Azaleraren formula oinarrizkoena [[laukizuzen]] baten azaleraren formula da. <math>l</math> luze eta <math>a</math> zabal dituen laukizuzena emanda, eremuaren formula hau da:

:<big><math>A=l\times a</math>&nbsp;</big><small>(laukizuzen).</small>

Laukizuzenaren azalera luzera zabalerarekin biderkatuta da. Kasu zehatz gisa, <math>l = a</math> [[karratu|karratuaren]] kasuan, <math>c</math> albo-luzera duen karratu baten azalera
:<big><math>A=c^2</math>&nbsp;</big><small>(karratu).</small> formulak ematen du.

Laukizuzen baten azaleraren formula azaleraren oinarrizko propietateetatik dator zuzenean, eta, batzuetan, [[definizio]] edo [[axioma]] gisa hartzen da. Bestalde, [[geometria]] [[Aritmetika|aritmetikaren]] aurretik garatzen bada, formula hori [[Zenbaki erreal|zenbaki errealen]] [[biderketa]] definitzeko erabil daiteke.

====Hiruki edo triangeluak====
[[Hiruki]]en azalera da hiruki horren oinarriaren eta altueraren arteko [[biderketa]]ren erdia, hau da:<ref>{{erreferentzia|izena=Spiegel y Abellanas|abizena=|urtea=1992|izenburua=|argitaletxea=|orrialdea=9|orrialdeak=|ISBN=84-7615-197-7|hizkuntza=}}</ref>

:<math>A=\left ( \frac{b\cdot h}{2} \right )</math>,
[[Fitxategi:Trigonometria_triang_ret.png|thumb|207x207px|Hirukia{{Apurtutako esteka|date=otsaila 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}]]
non ''b ''hirukiaren oinarria eta ''h ''hirukiaren altuera baita (edozein alde har daiteke oinarritzat).

[[Triangelu angeluzuzen|Triangelua angeluzuzena]] bada, altuerak eta [[Kateto|katetoak]] balio bera dute; beraz, azalera formula honen bidez adieraz daiteke:

:<math>A=\left ( \frac{a\cdot b}{2} \right )</math>,

non triangeluaren [[kateto]]ak ''a'' eta ''b'' diren .

Aldeen luzera ezagutzen bada, [[Heron Alexandriakoa|Heron-en]] formula erabil daiteke:

:<math>A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> ,

non ''a, b'' eta ''c ''aldeen luzera-balioak eta <math>s=\left ( \frac{1}{2} \right )(a+b+c)</math> , hirukiaren [[perimetroerdi]]a diren.

[[Triangelu aldekide|Triangelua aldekidea]] bada, horren azalera formula honek adierazten du:

:<math>A=\left ( \frac{\sqrt{3\cdot a^2}}{4} \right )</math>,

non hirukiaren alde baten luzera ''a ''den.
[[Fitxategi:Tetragon_measures.svg|thumb|Trapezoidea{{Apurtutako esteka|date=otsaila 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}]]

==== Disekzioa eta paralelogramoak ====
Azalera kalkulatzeko, formula sinple gehienek disekzioaren metodoa jarraitzen dute. Forma bat zatitan moztean datza, zeinen azalerak jatorrizko formaren azalerara [[Batuketa|gehitu]] behar diren.[[Fitxategi:ParallelogramArea.svg|thumb|227x227px|[[Paralelogramo]] bat nola laukizuzen bihur daitekeen erakusten duen diagrama.|left]] Adibidez, edozein [[paralelogramo]] [[trapezio]] batean eta [[triangelu angeluzuzen]] batean zati daiteke, irudian ikusten den bezala. [[Triangelu|Triangelua]], trapezioaren beste aldera eramaten bada, ondoriozko irudia [[Laukizuzen|laukizuzena]] da. Horren ondorioz, paralelogramoaren azalera laukizuzenaren berdina da:

:<big><math>A=b\times h</math>&nbsp;</big><small>(paralelogramo).</small>
[[Fitxategi:TriangleArea.svg|thumb|180x180px|Bi triangelu berdinetan banatutako paralelogramoa.]]
Hala ere, paralelogramo bera [[Diagonal (geometria)|diagonal]] batean zehar bi triangelu kongruentetan ere moztu daiteke, irudian ikusten den bezala. Triangelu bakoitzaren azalera paralelogramoaren azaleraren erdia dela ondorioztatzen da:

:<math>A = \frac{1}{2}bh</math>&nbsp;(<small>triangelu).</small>

[[Trapezoide]] edo lauki baten azalera haren diagonalen arteko distantziek eta hauek eratzen duten angeluaren sinuaren arteko biderkadura zati bi da.

:<math>A=\left ( \frac{\bar{AC}\cdot \bar{BD}\cdot\sin \theta}{2} \right )</math>

Azalera [[Triangelaketa|triangulazioaren]] bitartez ere lor daiteke:

:<math>A=\left ( \frac{a\cdot d\cdot \sin\alpha + b\cdot c\cdot\sin\gamma}{2} \right )</math>,

non <math>\alpha</math> ''a ''eta ''d ''aldeen arteko [[angelua]] baita eta <math>\gamma</math> , ''b ''eta ''c ''aldeen arteko angelua.

[[Laukizuzen]]a [[paralelogramo]] bat da, eta haren angelu guztiak <math>90^\circ</math> gradukoak dira. Azalera laukizuzenaren aldameneko bi aldeen arteko biderkadura da:

:<math>A=a\cdot b</math>

[[Erronbo]]a lau aldeak berdinak dituen paralelogramoa da. Haren azalera erronboaren bi diagonalen distantziaren biderkadura zati bi da:

:<math>A=\left ( \frac{\bar{AC}\cdot\bar{BD}}{2} \right )</math>

[[Poligono|Laukia]] lau aldeko poligono erregularra da, eta, aldi berean, laukizuzena eta erronboa. Beraz, haren azalera horien antzera kalkulatzen da. Hala ere, haren aldeak berdinak direnez, honako formula hau erabiltzen da bereziki:

:<math>A=a\cdot a=a^2</math>,

[[Erronboide]]aren azalera haren alde baten eta altueraren arteko biderketaren bidez kalkulatzen da:

:<math>A=b\cdot h</math>,

non ''b ''alde baten luzera eta ''h ''altuera diren.

[[Trapezio]]ak bi alde elkarrekiko [[Geometria|paralelo]], eta bi alde elkarrekiko ez-paralelo ditu. Haren azalera bi alde elkarrekiko paraleloen batezbestekoa bider euren arteko distantziaren (altuera) bitartez kalkulatzen da:

:<math>A=\left ( \frac{a+b}{2} \right )\cdot h</math>

===Forma kurbatuen azalera===
==== Zirkulua ====
[[Zirkulu]] baten azaleraren formula (egokiago, zirkulu batek inguratutako azalera edo disko baten azalera) antzeko metodo batean oinarritzen da. <math>r</math> erradioko zirkulu bat emanda, posible da [[Zirkulu-sektore|sektoretan]] zatitzea, irudian ikusten den moduan. Sektore bakoitza triangeluarra da, gutxi gorabehera, eta sektoreak berrantolatu daitezke gutxi gorabehera paralelogramo bat osatzeko. Paralelogramo honen altuera <math>r</math> da, eta, zabalera, zirkuluaren [[zirkunferentzia]] edo <math>\pi r</math> erdia. Beraz, zirkuluaren azalera osoa <math>\pi r^2</math> da<ref>{{erreferentzia|izena=Spiegel y Abellanas|abizena=|urtea=1992|izenburua=|argitaletxea=|orrialdea=10|orrialdeak=|ISBN=84-7615-197-7|hizkuntza=}}</ref>:
[[Fitxategi:CircleArea.svg|thumb|Zirkulu bat [[Zirkulu-sektore|sektore]] ordenatuetan bana daiteke gutxi gorabeherako [[paralelogramo]] bat antolatzeko.]]
:<big><math>A=\pi r^2</math>&nbsp;</big><small>(círculo).</small>

Formula horretan erabiltzen den disekzioa gutxi gorabeherakoa den arren, zirkulua gero eta sektore gehiagotan banatu ahala errorea gero eta txikiagoa da. Gutxi gorabeherako paralelogramoen azaleren muga zehazki <math>\pi r^2</math> da, zeina zirkuluaren azalera den.

Argumentu hori [[Kalkulu infinitesimal|kalkuluarn]] ideien aplikazio sinplea da. Antzina, [[Exhauzio-metodo]] antzeko modu batean erabiltzen zen zirkulu baten azalera aurkitzeko, eta metodo hori, gaur egun, [[Exhauzio-metodo]] integralaren aitzindari gisa onartzen da. Metodo modernoak erabiliz, zirkulu baten azalera [[integral]] zehatz baten bidez kalkula daiteke:

:<big><math>A \;=\;2\int_{-r}^r \sqrt{r^2 - x^2}\,dx \;=\; \pi r^2</math></big>

==== Elipsea ====
[[Elipse]] batek mugatutako azalera zirkuluaren azaleraren antzekoa da, eta ardatzerdi handiaren, txikiaren eta <math>\pi</math>-ren arteko biderkaduraren bitartez kalkulatzen da:<ref>{{erreferentzia|izena=Spiegel y Abellanas|abizena=|urtea=1992|izenburua=|argitaletxea=|orrialdea=|orrialdeak=11|ISBN=84-7615-197-7|hizkuntza=}}</ref>

:<math>A=\pi \cdot a \cdot b</math>
[[Fitxategi:Archimedes sphere and cylinder.svg|thumb|[[Arkimedes|Arkimedesek]] erakutsi zuen [[esfera]] baten azalera erradio bereko disko lau baten azalera baino lau aldiz handiagoa dela eta esferak inguratutako bolumena altuera eta erradio bereko [[zilindro]] baten bolumenaren 2/3 dela.]]
[[Fitxategi:Triangle GeometryArea.svg|thumb|triangeluaren azalera <math>= {b\times h \over 2}</math>]]

====Azaleraren gainazala====
[[Azalera|Azaleraren gainazalaren]] oinarrizko formula gehienak gainazalak moztu eta lautuz lor daitezke. Adibidez, [[zilindro|zilindroaren]] alboko gainazala (edo edozein [[Prisma (geometria)|prisma]]) luzetara mozten bada, gainazala lautu daiteke laukizuzen bat osatu arte. Era berean, [[kono]] batean zehar ebaki bat egiten bada, alboko gainazala lautu daiteke zirkulu baten sektore bat lortu arte, eta, ondorioz, azalera kalkulatu.

[[Esfera]] baten gainazalaren formula zailagoa da lortzen: esfera batek [[Gaussen legea|Gaussen kurbadura]] zerotik berezia duenez, ezin da berdindu. [[Arkimedes|Arkimedesek]], lehenengoz, esfera baten azaleraren formula lortu zuen ''Esferaren eta zilindroaren gainean'' obran. Formula hau da:

:<math>A=4\pi r^2</math>&nbsp;(esfera).

non <math>r</math> esferaren erradioa den. Zirkulu baten azaleraren formularekin gertatzen den moduan, formula horren edozein deribaziok berez erabiltzen ditu [[Kalkulu infinitesimal|kalkuluaren]] antzeko metodoak.

=== Bi funtziok mugatutako azalera ===
Bi [[Funtzio (argipena)|funtziok]] mugatutako azalera kalkulatzeko modu bat kalkulu integrala erabiltzea da:
[[Fitxategi:Areabetweentwographs.png|thumb|Bi{{Apurtutako esteka|date=otsaila 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} funtziok mugatutako azalera]]
<math>A(a,b)=\int_{a}^{b} \left\vert f(x)-g(x) \right\vert dx</math> (A formula)

Integral horren emaitza <math>f(x)</math> eta <math>g(x)[<f(x)]</math> funtzioek osatutako azalera izango da [a,b] tartean.

'''ADIBIDEA'''

X ardatzak eta <math>f(x)=4-x^2</math> funtzioak mugatutako azalera kalkulatu nahi bada [-2,2] tartean, A formula erabili behar da. Kasu honetan, <math>g(x)=0</math> izanik, honako emaitza lortzen da:

<math>A(-2,2)=\int_{-2}^{2} \left\vert 4-x^2-0 \right\vert dx= 2\int_{0}^{2} 4-x^2 dx= 2[4x-\left ( \frac{x^3}{3} \right )]_0^2=2\left [8- \frac{2^3-0}{3} \right ]=\left ( \frac{32}{3} \right )</math>

Beraz, mugatutako azalera <math>32/3</math> da.

Bi funtziok mugatutako [[bolumen]]a integralaren kalkuluaren bitartez lor daiteke.

=== Azaleraren eta perimetroaren arteko lotura ===
[[Plano euklidear]] batean  [[Kurba (matematika)|kurba]] itxi eta sinple bat emanda, froga daiteke azalera itxi baten [[perimetro]]ak edo luzerak eta azalera itxiak berak honako lotura hau dutela:

<math>\left ( \frac{A}{L^2} \right )\leq\left ( \frac{1}{4\pi} \right )</math>

[[Zirkulu]]aren kasuan berdintza betetzen da, eta gainerako irudietan, desberdintza hertsia.

== Gainazal kurbatuen azalera ==
[[Fitxategi:Zilindroa eta zilindroaren azalera Ariketa 4 DBH.webm|thumb|thumbtime=71|'''Zilindroa''' eta '''zilindroaren azalera''' lantzeko ariketa.{{Jakindun}}]]
Gainazal kurbatuaren azalera konplexuagoa da eta orokorrean idealizazio edo limite motaren bat egin behar da neurtzeko:

* Gainazala garagarria denean, [[zilindro]] baten edo [[kono]] baten aldearen azalera bezala, gainazalaren azalera azalera garatu batetik abiatuta kalkula daiteke. Hori irudi laua da beti. Gainazala garagarria izan dadin, [[Gaussen kurbadura]]k nulua izan behar du.

* [[Gainazal garagarria|Gainazala garagarria]] ez denean, gainazalaren kalkulua edo balio hori lortzeko modu analitikoa neketsuagoa da. Gainazal ez-garagarri baten adibide bat [[esfera]] da, izan ere, Gaussen kurbadurak eta [[Erradio (geometria)|erradioaren]] karratuaren alderantzizkoak bat datoz, eta beraz, ez da nulua. Hala ere, esfera [[biraketa-gainazal]] bat da.

<math>A_r(a,b)=2\pi \int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+\left ( \frac{df(x)}{dx} \right )^2}\operatorname{d}\!x</math>
[[Fitxategi:Surface_of_revolution_illustration.png|thumb|Biraketa-gainazala{{Apurtutako esteka|date=otsaila 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}]]

=== Biraketa-gainazala ===
Gainazal kurbatu bat [[kurba lau]]  bat  edo [[kurba sortzaile]] bat ardatz gidagarri baten inguruan biratuz sor daiteke, eta [[gainazal erresultante]]ari biraketa-gainazala deitzen zaio. Haren azalera  erraz kalkula daiteke kurba sortzailearen luzeratik abiatuta, zeinak biratzean gainazala sortzen baitu. y=f(X) ekuazioak kurbaren zati bat definitzen badu,  kurba X ardatzaren inguruan biratzean biraketa-gainazala sortzen da eta bere azalera honako hau da:

Biraketa-gainazalen adibideak honako hauek dira:

* Esferaren azalera, R erradioduna: <math>4\pi R^2</math>
* Konoaren azalera, R erradioduna eta h altueraduna: <math>\pi Rh\sqrt{1+R^2/h^2}</math>
* Zilindroaren aldeko azalera, R erradioduna eta h altueraduna: <math>2\pi Rh</math>

=== Azaleraren kalkulu orokorra ===
Gainazalen geometria diferentzialaren bitartez edota [[Riemannen integral|Riemann]]-en geometria erabiliz, edozein gainazal kurbatu finituren azalera kalkula daiteke. Gainazala <math>z=f(x,y)</math> funtzio esplizituaren bidez adierazita badago, <math>\Omega</math> eskualdean izanik, orduan, azalera honako hau da:

<math>A(\Omega)=\iint\limits_\Omega xy\sqrt{1+\left ( \frac{\partial f}{\partial x} \right )^2+\left ( \frac{\partial f}{\partial y} \right )^2 dxdy}</math> (B formula)

Gainazalaren ekuazio parametrikoa edozein u eta v koordenaturen bidez ezagutzen bada, orduan B formula hori honela idatz daiteke:

<math>A(\Omega)=\iint\limits_\Omega \sqrt{EG-F^2 }\operatorname{d}\!u\operatorname{d}\!v</math> ,

non [[Tensore|tentsore]] metrikoaren elementuak diren E, F eta G .

n <math>></math>1 dimentsioko [[Riemannen barietate|Riemann-en barietate]] batean, 2 dimentsioko zenbait [[azpibarietate]]ren azalera kalkula daiteke. Azalera kalkulatu ahal izateko, bi koordenatu (u,v), dituen multzo bat definitzen da, azpibarietatea parametrizatzen duena, eta, ondoren, azpibarietatearen atlas bat eratzen da. Beraz, azalera barietate horren [[Forma diferentzial|2-forma]] baten integralaren bidez kalkulatzen da.

== Gainazalaren neurri-unitateak ==
Nazioarteko Unitate Sistema erabiliz:<ref>{{Erreferentzia|abizena=López Cañero, Juan.|izenburua=Redes de evacuación|argitaletxea=Paraninfo|data=2016|url=https://www.worldcat.org/oclc/949700731|isbn=978-84-283-3772-4|pmc=949700731|sartze-data=2019-12-04}}</ref>

* [[Kilometro koadro|kilometro karratua]]: <math>10^6</math> metro karratu
* [[hektometro karratu]]a edo [[hektarea]]: <math>10^4</math>metro karratu
* [[dekametro karratu]]a: <math>10^2</math>metro karratu
* [[dezimetro karratu]]a: <math>10^{-2}</math> metro karratu
* [[zentimetro karratu]]a: <math>10^{-4}</math> metro karratu
* [[milimetro karratu]]a: <math>10^{-6}</math>metro karratu
* [[barn]]: <math>10^{-28}</math>metro karratu


== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda|30em}}

== Bibliografia ==

* {{Es}} Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. ''Fórmulas y tablas de matemática aplicada''. Aravaca (Madrid). <small>{{ISBN|84-7615-197-7}}</small>.
* {{En}} Weisstein, Eric W (1999). Chapman&Hall, ed. ''[[iarchive:crcconciseencycl0000weis|CRC Concise Encyclopedia of Mathematics]]''. <small>{{ISBN|0-8493-9640-9}}</small>.
*
== Kanpo estekak ==
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Geometria]]
[[Kategoria:Azalera]]