Brahmagupta-en iturria ikusi

{{Wikipedia1000}}
{{Biografia_infotaula_automatikoa
|jaiotza data= [[circa|c.]] [[598]]
|heriotza data= [[circa|c.]] [[668]]
}}

'''Brahmagupta''' (jaio {{circa|598}}, hil {{circa|668}}), [[indiar]] [[matematikari]] eta [[astronomo|astronomoa]] izan zen. Astronomiari buruzko ''Brāhmasphuṭasiddhānta'' izeneko lanean, [[matematika]] eta [[aljebra|aljebrar]]i buruzko hainbat atal idatzi zuen. Zenbaki negatiboak erabili zituen lehena izan zen, eta oinarrizko lau [[Eragiketa (matematika)|eragiketa matematikoak]] enuntziatu zituen.

== Bizitza ==
Brahmagupta, berak adierazi zuenez, [[598|K.o. 598. urtean]] jaio zen. Brahmagupta Indiako ipar-sartaldeko [[Bhinmal|Bhinmalen]] bizi izan zen [[Harsha]]ren jaurgoan. Horregatik, askotan, «Bhillamalacarya» ({{lang-eu|Bhillamalako irakaslea}}) deitzen zaio. Gero [[Malwa]]ko [[Ujjain]]go [[behatoki astronomiko]]ko burua izan zen. Bertan, [[628]]an, [[matematika]]ri eta [[astronomia]]ri buruzko liburua idatzi zuen, ''Brāhmasphuṭasiddhānta'' ({{lang|eu|«Egokiro Sortutako [[Brahma]]ren Jakinbidea»}}), eta ''Khandakhadyaka'' ({{lang|eu|«jateko hozka»}} edo {{lang|eu|«janari-mordoa»}}) lan praktikoa [[665]]ean. Bi liburu horien artean, ''Brāhmasphuṭasiddhānta'' da, zalantzarik gabe, garrantzitsuena.

Garai horretako matematikari handientzat hartzen da. Baliteke Brahmagupta izatea «zeroaren» kontzeptuaren asmatzailea, bada, 628. urteko ''Brahma-sphuta-siddhanta'' obran agertzen baita ideia hori lehen aldiz. Obrak aritmetika eta zenbaki negatiboak ere lantzen zituen, matematika modernoaren antzeko terminoetan.

Brahmagupta izan zen lehena [[Zero|zeroarekin]] eragiketa matematikoen arauak ezartzen. Brahmaguptak idatzitako testuak poesia eliptiko estiloan idatziak zeuden, [[Sanskrito|sanskritoz]], garai hartako matematikari indiarren artean ohikoa zena<ref>«[https://web.archive.org/web/20140116080259/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Brahmagupta.html ''Brahmagupta biography,'' Artículo creado por: J J O'Connor y E F Robertson, Escuela de matemáticas y estadística, Universidad de St Andrews, Scotland, Noviembre 2000]». Archivado desde el original el 15 de septiembre de 2013. Consultado el 29 de marzo de 2019.</ref>.

==Bizitza eta ekarpenak==
Brahmagupta K.o. 598. urtean jaio zen, bere aitorpenaren arabera. Bhillamalan (gaur egun Bhinmal) bizi izan zen Vyagrahamukha dinastia agintariaren erregealdian. Jishnuguptaren semea zen, eta [[Shivaismo|shivaismoaren]]<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Brahmagupta|hizkuntza=es|data=2024-06-26|url=https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Brahmagupta&oldid=160966496|sartze-data=2024-06-29|encyclopedia=Wikipedia, la enciclopedia libre}}</ref> praktikante erlijiosoa izan zen. Aditu gehienek Brahmagupta Bhillamalan jaio zela ziurtzat jotzen badute ere, ez dago horren ebidentzia sendorik. Hala ere, bertan bizi eta lan egin zuen bere bizitzaren zati handi batean. [[Prithudaka Svamin]], geroagoko matematikari batek, Bhillamalacharya deitu zion, Bhillamalako maisua. [[G. S. Ghurye]] soziologoak uste zuen Multan edo Abu eskualdekoa izan zitekeela<ref>{{Erreferentzia|izena=S. Devadas|abizena=Pillai|izenburua=Indian Sociology Through Ghurye, a Dictionary|argitaletxea=Popular Prakashan|hizkuntza=en|data=1997|url=https://books.google.com/books?id=P3uD22Ghqs4C&pg=PA216|isbn=978-81-7154-807-1|sartze-data=2024-06-29}}</ref>.

Bhillamala hiria ([[Xuanzang|Xuanzangek]] Pilomolo deitua), itxuraz, [[Gurjaradesa|Gurjaradesako]] hiriburua izan zen, mendebaldeko Indiako bigarren erresumarik handiena, hegoaldetik [[Rajastan]] eta iparraldetik [[India]] modernoko [[Gujarat]] hartzen zituena. Matematika eta astronomia ikasteko zentroa ere izan zen. Brahmagupta brahma paksha eskolako astronomo bihurtu zen, indiar astronomiaren lau eskola nagusietako bat garai horretan. Indiako astronomiari buruzko bost ''siddhantha'' tradizionalak aztertu zituen, baita beste astronomo batzuen lana ere, [[Aryabhata|Aryabhata I]], Latadeva, Pradyumna, Varaja Mijira, Simha, Srisena, Vijayandin eta Vishnuchandra-rena barne{{sfn|Gupta|2008|p=162}}.

628. urtean, 30 urte zituela, ''Brahma-sphuta-siddhanta'' konposatu zuen, brahmapaksha eskolatik jasotako ''siddhanta''ren bertsio berrikusia dela uste dena.

Adituek diotenez, originaltasun handia erantsi zion bere berrikuspenari, material berri ugari gehituz.

Liburuak 24 kapitulu ditu eta 1008 bertso, metrika ariaz idatziak. Idatzi horren zati handi bat astronomia da, baina matematikari buruzko funtsezko kapituluak ere baditu, hala nola [[aljebra]], [[geometria]], [[trigonometria]] eta [[Algoritmo|algoritmia]]. Brahmaguptaren ekarpenari esker, ideia berriak dituztela uste da{{sfn|Gupta|2008|p=162}}{{sfn|Bhattacharyya|2011|pp=185-186}}{{sfn|Bose|Sen|Subbarayappa|1971}}.

Geroago, Brahmagupta [[Ujjain]] herrira aldatu zen, garai hartan astronomiaren gune garrantzitsua. 67 urterekin, ''Khanda-khādyaka'' izeneko bere hurrengo lana konposatu zuen, karana kategoriako indiar astronomiari buruzko eskuliburu praktikoa, ikasleei zuzendua{{sfn|Gupta|2008|p=163}}.

Brahmagupta K.o. 665. urtetik aurrera ere bizirik zegoen. Ujjainen hil zela uste da.

==Eztabaida==
Brahmaguptak kritika ugari egin zizkion astronomo aurkarien lanari, eta haren ''Brahma-sphuta-siddhanta''k Indiako matematikarien arteko lehen zismetako/ezberdintasunetako bat erakusten du. Ezberdintasuna, batez ere zentratu zen matematika mundu fisikoan aplikatzean, eta ez matematikan beran. Brahmaguptaren kasuan, desadostasunak, neurri handi batean, parametro eta teoria astronomikoen aukeraketatik eratorri ziren{{Sfn|Plofker|2007|pp=418–419}}. Aurkarien teorien kritikak lehen hamar kapitulu astronomikoetan agertzen dira, eta hamaikagarren kapitulua, hala, teoria horien kritikari eskainita dago erabat, nahiz eta hamabigarren eta hemezortzigarren kapituluetan kritikak agertzen ez diren{{Sfn|Plofker|2007|pp=418–419}}.

==Harrera==
[[George Sarton|George Sartonek]], zientziaren historialariak, «bere motako zientzialari handienetako bat eta bere garaiko handiena» izendatu zuen{{sfn|Gupta|2008|p=163}}.

Brahmaguptaren aurrerapen matematikoak, geroago, Bhaskara II.ak aztertu eta berrekin zituen, ondorengo zuzen batek Ujjainen; hark «ganaka-chakra-chudamani» (matematikarien harribitxia) gisa deskribatu zuen Brahmagupta.

Era berean, Prithudakak Brahmaguptaren bi lan ezagunen inguruko iruzkinak idatzi zituen, baieztapen eta sententzia konplexuak hizkuntza sinpleagoan aurkeztuz eta ilustrazioak gehituz. Lalla-k eta Bhattotpala-k ''Khanda-Khadak''i{{sfn|Bhattacharyya|2011|p=185}} buruzko iruzkinak idatzi zituzten VIII. eta IX. mendeetan. Geroago, iruzkinak XII. mendean hasi ziren agertzen{{sfn|Gupta|2008|p=163}}.

Brahmagupta hil eta hamarkada batzuetara, [[Sindh]] [[arabiar]] [[Kalifa-herri|kalifa-herriaren]] mende geratu zen K.o. 712an. Gurjaradesara espedizioak bidali zituzten. Badirudi Bhillamalako Erreinua suntsituta gelditu zela, baina Ujjainek atzera bota zituen erasoak. [[Almanzor|Al-Mansur kalifaren]] gorteak (754-775) Sindh-eko enbaxada bat jaso zuen, Kanaka izeneko astrologo bat barne, eta hark testu astronomikoak ekarri zituen (agian buruz ikasiak), baita Brahmaguptarenak ere.

Brahmaguptaren testuak [[Arabiera|arabierara]] itzuli zituen, ''Sindhind'' eta ''Arakhand'' izenekin, [[Muhammad al-Fazari|Muhammad al-Fazari-k]], [[Almanzor]] gortean zegoen astronomoa. Berehalako emaitza izan zen testuetan erabilitako zenbaki-sistema hamartarra hedatzea.

[[Al-Khwarizmi]] matematikariak (K.o. 800-850) ''Al-jam wal-tafru bi hisal-al-hind'' (Batuketa eta kenketa Indiako aritmetikan) izeneko testu bat idatzi zuen, XIII. mendean, latinera itzuli zena ''Algorithmi de número indorum'' izenez. Testu horien bidez, mundu osora zabaldu dira [[Zenbaki-sistema hamartar|zenbaki-sistema hamartarra]] eta Brahmaguptaren [[Algoritmo|algoritmoak]] [[Aritmetika|aritmetikarako]]. Al-Khwarizmik ''Sindhind''ren bertsio propioa ere idatzi zuen, Al-Fazariren bertsioan oinarrituta eta elementu ptolemaikoak gehituta. Indiako material astronomikoa asko hedatu zen mendeetan zehar, baita [[Erdi Aroa|Erdi Aroko]] [[Latin|latinezko]] testuetan ere{{sfn|Avari|2013|p=32}}<ref>{{Erreferentzia|izena=M. J. L.|abizena=Young|izenburua=Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period|argitaletxea=Cambridge University Press|hizkuntza=en|abizena2=Latham|abizena3=Serjeant|izena2=J. D.|izena3=R. B.|data=2006-11-02|url=https://books.google.com/books?id=cJuDafHpk3oC&pg=PA302|isbn=978-0-521-02887-5|sartze-data=2024-06-29}}</ref><ref>van Bladel, Kevin (28 de noviembre de 2014), «[https://books.google.com/books?id=7nSjBQAAQBAJ&pg=PA260 Eighth Century Indian Astronomy in the Two Cities of Peace]», en Asad Q. Ahmed; Benham Sadeghi; Robert G. Hoyland, eds., ''Islamic Cultures, Islamic Contexts: Essays in Honor of Professor Patricia Crone'', BRILL, pp. 257-294, <small>ISBN 978-90-04-28171-4</small></ref>. 

==Matematikak==
===Algebra===
Brahmaguptak ekuazio lineal baten emaitza orokorra aurkitu zuen. ''Brahma-sphuta-siddhanta''ko hemezortzigarren kapituluan deskribatzen da aurkikuntza hori:{{Aipua|«Rupen» arteko aldea, alderantzikatzen denean eta ezezagunen arteko diferentziaz zatitzen denean, ekuazioren ezezaguna da.<br>«Rupenak» kentzen dira karratua eta ezezaguna kendu behar diren azpiko aldean.}}

Aurreko hori, irtenbide bat da ''bx + c = dx + e'' ekuazioaretzat, ''x = e − cb − d'' ekuazioaren baliokide dena, non «rupas» hitzak ''c'' eta ''e'' konstanteei egiten dien erreferentzia.

Brahmaguptak bi irtenbide-balio aurkitu zituen ekuazio koadratikorako:{{Aipua|18.44. «Rupen» erro karratua murriztu batez besteko zenbakitik, karratua lau aldiz biderkatuta eta batez besteko zenbakiaren karratuz handituta; Zatitu gainerakoa karratuaren bikoitzaz. Emaitza batez besteko zenbakia da.<br>
18.45. Edozein dela ere «rupen» erro karratua ''e'' karratuaz biderkatua eta ezezagunaren erdiaren karratuz gehitua, ken hori ezezagunaren erdiaz eta zati ezazu gainerakoa bere karratuz. Emaitza ezezaguna da.}}

zeinak diren, hurrenez hurren ''ax2 + bx = c'' ekuazioaren irtenbideak eta hauen baliokide:
:<math>x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a} </math>

eta

:<math>x = \frac{\sqrt{ac+\tfrac{b^2}{4}}-\tfrac{b}{2}}{a}. </math>

Aldibereko ekuazio zehaztugabeen sistemak ebazten jarraitu zuen, eta adierazi zuen aldagai desiratua lehen isolatu egin behar dela, eta, gero, ekuazioa aldagai desiratuaren [[Koefiziente (matematika)|koefizienteagatik]] zatitu behar dela. Zehazki, ezezagun asko dituzten ekuazioak ebazteko «lainoztagailua» erabiltzea gomendatu zuen.{{Aipua|18.51. Egin kolore desberdinen kenketa lehenengo koloretik. Gainerakoa lehenengo kolorearen koefizientetik zatituta, lehenaren neurria da. Bi bider bi terminoak hartzen dira kontuan antzeko zatitzaileetara murrizten direnean, eta horrela behin eta berriz. Kolore asko badaude, lainoztagailua erabiliko da.
}}

[[Diofanto Alexandriakoa|Diofanto Alexandriakoaren]] [[Aljebra|aljebraren]] antzera, Brahmaguptaren algebra sinkopatua izan zen. Batuketa adierazteko, zenbakiak elkarren ondoan jarriz adierazi zen; kenketa, berrakuramenduaren gainean puntu bat jarriz; eta zatiketa, zatitzailea zatikizunaren azpian jarriz, gure notazioaren antzekoa, baina barrarik gabe. Biderketa, eboluzioa eta kopuru ezezagunak termino egokien laburduren bidez adierazi ziren. [[Aljebraren historia|Aljebraren historian]] greziar eraginaren norainokoa den, baldin badago, ez da ezagutzen, eta litekeena da sinkopazio greziarra zein indiarra iturri [[Babiloniar Inperioa|babiloniarreko]] komun batetik eratorria izatea.

===Aritmetika===
Oinarrizko lau eragiketak (batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa) kultura askok ezagutzen zituzten Brahmaguptaren aurretik. Eragiketa sistema hori (gaur egungoa ere badena) Indiako zenbakizko sistema arabiarrean oinarritzen da, eta, lehen aldiz, ''Brahma-sphuta-siddhantan'' agertu zen.

Brahmaguptak honela deskribatzen du biderketa:{{Aipua|Biderkakizuna abereentzako soka bat bezala errepikatzen da, biderkatzailean zati batzuk daudenean eta behin eta berriz biderkatzen direnean eta produktuak batu egiten direnean. Biderketa da edo biderkakizuna biderkatzailean dauden osagaiak hainbeste aldiz errepikatzen denean.
}}

Indiako aritmetika ''modus indoram'' (indioen metodoa) izenez ezagutzen zen [[Europa|Europan]], [[Erdi Aroa|Erdi Aroan]].

''Brahma-sphuta-siddhanta''n, biderketari «gomutrika» deritzoten. ''Brahma-sphuta-siddhanta'' obraren hamabigarren kapituluaren hasieran —Kalkulua deitua—, Brahmaguptak eragiketak xehatzen ditu zatikietan. Irakurleak [[Erro karratu|erro karratua]] lortzeko oinarrizko eragiketa aritmetikoak ezagutzea espero da, nahiz eta oso baten [[Kubo|kuboa]] eta [[Erro kubiko|erro kubikoa]] nola aurkitu azaltzen duen eta, gero, [[Poligono|laukiak]] eta erro [[Karratu|karratuak]] errazago kalkulatzeko erregelak ematen dituen. Geroago, zatikien bost konbinazio mota tratatzeko arauak ematen ditu:
::<br>{{math|{{sfrac|''a''|''c''}} + {{sfrac|''b''|''c''}}}}; {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} × {{sfrac|''b''|''d''}}}}; {{math|{{sfrac|''a''|1}} + {{sfrac|''b''|''d''}}}}; {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} + {{sfrac|''b''|''d''}} × {{sfrac|''a''|''c''}} {{=}} {{sfrac|''a''(''d'' + ''b'')|''cd''}}}}; eta {{math|{{sfrac|''a''|''c''}} − {{sfrac|''b''|''d''}} × {{sfrac|''a''|''c''}} {{=}} {{sfrac|''a''(''d'' − ''b'')|''cd''}}}}{{Sfn|Plofker|2007|pp=422}}.

====Serieak====
Brahmaguptak jarraitzen du ''n'' zenbaki osoaren karratuen eta kuboen batura ematen:{{Aipua|12.20. Karratuen batura da: (batura) hori (s) urratsen kopurutik bi aldiz biderkatuz eta gehi bat eta zati hiru gehituz. Kuboen batura da batuketa horren karratua. Horien pilak bola berdinekin ere kalkula daitezke{{Sfn|Plofker|2007|pp=421–427}}.
}}

Honetan, Brahmaguptak, hala, lehen ''n'' osoaren «batuketa» terminoetan aurkitu zuen emaitza, eta ez ''n'' terminoetan, gaur egun gertatzen den antzera{{Sfn|Plofker|2007|p=423}}.

Zenbaki arrunten lehenengo ''n'' zenbakiaren karratuen batura {{math|{{sfrac|''n''(''n'' + 1)(2''n'' + 1)|6}}}} gisa ematen du, eta lehenengo ''n'' zenbaki arrunten kuboen batura {{math|({{sfrac|''n''(''n'' + 1)|2}}){{su|p=2}}}} gisa.

====Zero====
Brahmaguptaren ''Brahma-sphuta-siddhanta'' lana bere espezieko lehen liburua da, [[zero]] zenbakiarekin eta [[Zenbaki negatibo|zenbaki negatiboekin]] eragiketa aritmetikoak egiteko arauak dituena<ref>Kaplan, Robert (1999). ''[[iarchive:nothingthatisnat00kapl_671|The Nothing That Is: A Natural History of Zero]]''. London: Allen Lane/The Penguin Press. pp. [[iarchive:nothingthatisnat00kapl_671/page/n80|68]]-75.</ref>.

''Brahma-sphuta-siddhanta'' da lehen testu ezaguna zero zenbakia gaur egun ezagutzen ditugun propietateekin tratatzen duena eta ez beste zenbaki bat irudikatzen duen posizio-markatzaile soil baten gisa, hau da, babiloniarrek egin zuten moduan, edo kopuru nulua irudikatzen duen sinbolo gisa ([[Klaudio Ptolomeo|Ptolomeok]] eta [[Antzinako Erroma|erromatarrek]] egin zutena). ''Brahma-sphuta-siddhanta''ko hemezortzigarren kapituluan, Brahmaguptak zenbaki negatiboekin egindako eragiketak deskribatzen ditu:{{Aipua|18.30. Bi zenbaki positiboren batura, positiboa da; bi zenbaki negatiboren batura, negatiboa da; zenbaki positibo baten eta zenbaki negatibo baten batura, zenbaki horien kenketa/diferentzia da. Zero baten eta beste zero baten arteko batura, zero da; zenbaki negatibo baten eta zero zenbakiaren arteko batura, zenbaki negatibo bat da, eta zenbaki positibo baten eta zero zenbakiaren arteko batura, positiboa da{{Sfn|Plofker|2007|pp=428–434}}<br>18.32. Negatiboa ken zero negatiboa da; positiboa ken zero positiboa da; zero ken zero zero da. Positibo bat negatibo bati kendu behar zaionean edo negatibo bat positibo batetik kendu behar denean, orduan, zenbaki horiek batu egin behar dira{{Sfn|Plofker|2007|pp=428–434}}.
}}
Brahmaguptak, orain, bi zenbakiren arteko biderketa deskribatzen jarraitzen du:{{Aipua|18.33. Zenbaki negatibo baten eta zenbaki positibo baten arteko biderkadura negatiboa da; bi zenbaki negatiboen arteko biderkadura positiboa da; zenbaki positiboen biderkadura positiboa da. Era berean, zenbaki negatibo bat eta zeroren arteko biderkadura zero da; zenbaki positibo bat eta zeroren arteko biderkadura zero da; bi zeroren arteko biderkadura zero da{{Sfn|Plofker|2007|pp=428–434}}.}}

Baina zeroz zatitzeari buruz egiten duen deskribapena eta gure ulermen modernoarena desberdinak dira:{{Aipua|18.34 Positibo bat zati positibo bat edo negatibo bat zati negatibo bat positiboa da; zero zati zero, zero da; positibo bat zati negatibo bat negatiboa da; negatibo bat zati positibo bat (ere) negatiboa da.<br> 18.35 Zeroz zatitutako negatibo edo positibo batek (zero) hori du zatitzaile gisa, edo negatibo edo positibo batez zatitutako zeroak (negatibo edo positibo hori du zatitzaile gisa). Negatibo baten edo positibo baten karratua positiboa da; zero baten (karratua) zero da. Karratuaren karratua den hori, haren erro karratua da.
}}

Hemen, Brahmaguptak baieztatzen du {{sfrac|0|0}} = 0 dela, eta, {{sfrac|{{math|''a''}}|0}}-ren gaiari dagokionez, non {{math|''a''}} ≠ 0 den, ez zen oso argi geratu{{harvtxt|Boyer|1991|p=220}}. Zenbaki negatiboei eta zero zenbakiari dagokienez, dituen arau aritmetikoak ulermen modernotik nahiko hurbil daude, salbu eta gaur egungo matematiketan zeroz zatitzea mugagabe uzten den.

== Brahmaguptaren formula ==
[[Fitxategi:Brahmaguptra's theorem.svg|thumb|[[Brahmaguptaren teorema]]ren diagrama.]]

Bere lanean, hirukote pitagorikoa eratzeko araua dago:

{{ekuazio|<math>m,\frac{m^{2}}{2(m-n)},\frac{m^{2}}{2(m+n)}</math> }}hori [[Babiloniar Inperioa|Babiloniako]] antzinako arauaren aldaketa izan arren, berak ezin hobeto ezagutu ahal izan zuena. Laukientzako [[Azalera|eremuaren]] Brahmaguptaren formula, formulekin batera erabili zuen:{{ekuazio|<math>\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{(ad+bc)}}</math> y <math>\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}</math>}}

[[Diagonal (geometria)|diagonaletarako]], [[zenbaki arrunt]]ak diren [[Alde (geometria)|alde]], diagonal eta eremuak dauzkaten laukiak aurkitzeko.

== Ekuazio zehaztugabeen teoria ==
Brahmaguptak, jakina, matematika berez atsegin zuen, ezen praktikatik kanpoko gauzak ezartzen baitzituen, hala nola haren laukiei buruzko emaitzak. Antza denez, bera ekuazio [[Diofanto Alexandriakoa|diofantiko]] linealari irtenbide orokorra ematen lehena izan zen: {{ekuazio|<math>ax+by=c</math> con <math>a,b,c\in \mathbb{Z}</math>.}}

Ekuazio horrek emaitzak eduki ditzan, <math>c</math> <math>a</math> eta <math>b</math>-ren [[zatitzaile komun handien]]az zatitu behar da, eta Brahmaguptak bazekien, <math>a</math> eta <math>b</math> elkarrekiko zenbaki lehenak baldin badira, orduan, ekuazioaren emaitza guztiak honako formula hauek ematen dituztela:

{{ekuazio|<math>x=p+mb</math>,  <math>y=q-ma</math>}} Bertan <math>m</math> zenbaki oso arbitrarioa da.

non <math>m</math> zenbaki oso arbitrarioa den.<ref>''Historia de la matemática,'' Carl B. Boyer. Alianza Editorial.</ref><ref>[https://web.archive.org/web/20151210040135/http://www.tecnotopia.com.mx/ Museo de la Informática y Computación Aplicada]-tik hartutako edukia.</ref>

===Diofantoren ekuazioaren analisia===
====Pitagorasen hirukoa====
Bere ''Brahma-sphuta-siddhanta''ren hamabigarren kapituluan, Brahmaguptak Pitagorasen hrukoak sortzeko formula baliagarri bat ematen du:{{Aipua|12.39. Mendi baten altuera, biderkatzaile jakin batez biderkatua, hiri batekiko distantzia da; Ez da ezabatzen. Biderkatzailea bider bi gehituta zatitzen denean, bidaia bera egiten duten bietako baten jauzia da{{Sfn|Plofker|2007|p=426}}.
}}

Bestela esanda, {{math|''d'' {{=}} {{sfrac|''mx''|''x'' + 2}}}} bidaiari batek ''d'' distantzia bat «jauzi» egiten badu gorantz, bertikalki, ''m'' altueradun mendi baten gailurretik eta, gero, horizontalean, mendiaren oinarritik, zuzenean, ''mx'' distantziara dagoen hiri batera bidaiatzen badu ibiliko du menditik bertikalki jaisten den eta gero horizontalean hirira bidaiatzen duen bidaiari baten distantzia bera. Geometrikoki esanda, horrek zera dio: triangelu angeluzuzen batek {{math | ''a'' {{=}} ''mx''}} luze-oinarria duela eta {{math|''b'' {{=}} ''m'' + ''d''}} luze-altitudea baldin baditu, orduan, bere hipotenusaren {{math|''c'' {{=}} ''m''(1 + ''x'') − ''d''}}-k emango du. Izan ere, oinarrizko manipulazio aljebraikoak erakusten du {{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> {{=}} ''c''<sup>2</sup>}} dela, betiere ''d''-k adierazitako balioa badu. Gainera, ''m'' eta ''x'' arrazionalak badira, ''d, a, b'' eta ''c'' ere bai. Beraz, Pitagorasen ''a, b'' eta ''c''-ren hirukoak lor daitezke bakoitza [[Zatiki (matematika)|izendatzaileen]] [[Multiplo komun txikien|multiplo komun txikienaz]] biderkatuz.

==Astronomia==
''Brahma-sphuta-siddhanta''ren bidez ikasi zuten arabiarrek Indiako astronomia<ref>{{Erreferentzia|izenburua=8 III. Brahmagupta, and the influence on Arabia|data=2013-07-02|url=https://web.archive.org/web/20130702204751/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Projects/Pearce/Chapters/Ch8_3.html|aldizkaria=web.archive.org|sartze-data=2024-07-01}}</ref>.

[[Edward Saxhon|Edward Saxhonek]] adierazi zuenez, Brahmagupta izan zen arabiarrei astronomia irakatsi ziena<ref>Al Biruni, India translated by Edward sachau.</ref>.

[[Bagdad]] hiria, [[Almanzor]] [[kalifa]] [[Abbastarren dinastia|abbastar]] ospetsuak (712-775) sortu zuen, [[Tigris|Tigris ibaiaren]] ertzean, eta ikasketa gune bihurtu zuen. Kalifak Kankah izena zuen [[Ujjain|Ujjaingo]] aditua gonbidatu zuen 770. urtean. Kankahk ''Brahma-sphuta-siddhanta'' erabili zuen Indiako astronomia sistema aritmetikoa azaltzeko.

Kalifak eskatuta, [[Muhammad al-Fazari|Muhammad al-Fazarik]] arabierara itzuli zuen Brahmaguptaren lana.

''Brahma sphuta siddhanta''ren zazpigarren kapituluan, Ilgora erdia izendatua, Brahmaguptak [[Ilargia]], [[Lurra|Lurretik]], [[Eguzkia]] baino urrunago dagoen ideia ezeztatzen du, ideia hori idazketetan mantentzen delarik. Eguzkiak nola ilargia argiztatzen duen azalduz egiten du hori{{sfn|Plofker|2007|p=420}}.

{{Aipua|7.1. Ilargia eguzkiaren gainetik balego, nola zitekeen hazteko eta txikitzeko ahalmena eta abar ilargiaren luzeraren kalkulutik sortu? ia erdia distiratsua izango litzateke (beti).<br />
7.2. Argitan, eguzkiak ikusten duen zutik dagoen eltze baten erdia distiratsua eta ikusten ez den erdia iluna den era berean, ilargiaren argiztapena eguzkiaren azpian delako da.<br />
7.3. Distira handitu egiten da eguzkiaren norabidean. Distiraren amaieran (hau da, hazterakoan), hilabete erdira, hurbilago dagoen erdia distiratsua da, eta urrunago dagoen erdia iluna. Beraz, Ilgora erdiaren adarren igoeratik atera daiteke kalkulua.[...]{{sfn|Plofker|2007|p=420}}}}

Azaltzen du: Ilargia hurbilago dagoenez Lurretik Eguzkitik baino, Ilargiaren alde argiztatuaren gradua, hala, Eguzkiaren eta Ilargiaren posizio erlatiboen araberakoa da, eta hori bi gorputzen arteko angeluaren neurritik zenbatu daiteke<ref>([[:es:Brahmagupta#CITAREFPlofker2007|Plofker, 2007]], pp. 419–420) Brahmagupta discusses the illumination of the moon by the sun, rebutting an idea maintained in scriptures: namely, that the moon is farther from the earth than the sun is. *In fact, as he explains, because the moon is closer the extent of the illuminated portion of the moon depends on the relative positions of the moon and the sun, and can be computed from the size of the angular separation α between them.</ref>

Hona hemen Brahmaguptak astronomian egin zituen ekarpen garrantzitsuenetako batzuk: gorputz zerutiarren posizioa denborarekin kalkulatzeko metodoak ([[Efemeride|efemerideak]]), irteerak eta postak, [[Lerrokatze (astronomia)|lerrokatzeak]] eta [[Eguzki eklipse|eguzki]]- eta [[Ilargi eklipse|ilargi-eklipseen]] kalkulua{{sfn|Teresi|2002|p= 135}}.

Lurra laua zelako ikuspuntu [[Purana|puranikoa]] kritikatu zuen Brahmaguptak. Horren ordez, Lurra eta zerua esferikoak zirela behatu zuen, eta Lurra mugimenduan dagoela. 1030ean, [[Al-Biruni|Abu al-Rayhān al-Bīrānān]] astronomo musulmanak, bere ''Tu'rikh al-Hind'' obran, geroago [[Latin|latinera]] ''Indika'' izenez itzulia, Brahmaguptaren lana komentatu zuen, eta kritikoek argudiatu zutela idatzi zuen:{{Aipua|Lurra esferikoa balitz, harriak eta zuhaitzak erori egingo lirateke.|[[Al-Biruni|Abu al-Rayhān al-Bīrānān]]<Ref>[[Al-Biruni]] (1030), ''Tu'rikh al-Hind'' (''Indica'')</ref>}}.

Al-Biruniren arabera, Brahmaguptak grabitazioan oinarritutako argudio honekin erantzun zien kritika horiei:{{Aipua|Aitzitik, hori gertatuko balitz, Lurrak ez luke lortuko erritmo konstante eta uniformeari eustea zeruetako arauen barruan. [...] Gauza astun guztiek Lurraren erdigunera erakarriak dira. [...] Lurra, alde guztietan, bera da, Lurrean jendea, denok gaude zutik, eta gauza astun guztiak Lurrean erortzen dira naturaren lege baten ondorioz, zeren Lurraren izaera baita gauzak erakartzea eta mantentzea, uraren izaera jariatzea, suarena erretzea eta haizearena mugitzea diren moduan... Lurra da erakartzen duen bakarra, eta, orduan, gauzak beti itzultzen dira horretara, edozein dela botatzen diren norabidea, eta ezin dira inoiz Lurretik igo.|Brahmagupta<ref>Brahmagupta, ''Brahma-sphuta-siddhanta'' (628) ([[cf.]] [[Al-Biruni]] (1030), ''Indica'')</ref><ref>Khoshy, Thomas (2002). «Elementary Number Theory with Applications» (en inglés). Academic Press. p. 567. <small>ISBN 0-12-421171-2</small></ref> 
}}

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia_zerrenda|30em}}
==Bibliografia==
* {{Erreferentzia |izenburua=''Brāhmasphuṭasiddhānta'' of Brahmagupta with Commentary of Pṛthūdhaka, critically edited with English translation and notes |egilea=Seturo Ikeyama |argitaletxea=INSA |year=2003}}
* {{Erreferentzia |izenburua=Census of the Exact Sciences in Sanskrit (CESS) |egilea=David Pingree |argitaletxea = American Philosophical Society | at =A4, p. 254}}
* {{Erreferentzia|id = Brahmagupta |izenburua = Brahmagupta}}
* {{Erreferentzia|abizena = Bhanu Murthy |izena = T.S. Bhanu |izenburua = A modern introduction to ancient Indian mathematics |lekua = New Delhi [u.a.] |argitaletxea = Wiley Eastern | urtea = 1993 | isbn = 81-224-0371-9| url = http://books.google.cat/books?id=R7cJuj1VEJ0C | hizkuntza = en| edizioa = 2. reprint.|ref=harv}}
* {{Erreferentzia|izena=Carl B. |abizena=Boyer | izenburua = A History of Mathematics |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye | edizioa = 2. edizioa | argitaletxea = John Wiley & Sons, Inc | urtea = 1991 | isbn = 0-471-54397-7 |ref=harv }}
* {{Erreferentzia|izena=Roger | abizena=Cooke | izenburua=The History of Mathematics: A Brief Course |url=https://archive.org/details/historyofmathema0000cook | argitaletxea = Wiley-Interscience | urtea = 1997 | isbn = 0-471-18082-3 |ref=harv }}
* {{Erreferentzia|izena = George G. | abizena = Joseph | lekua = Princeton, NJ | izenburua = The Crest of the Peacock |url = https://archive.org/details/crestofpeacockno00jose | argitaletxea = Princeton University Press | urtea= 2000 | isbn = 0-691-00659-8 |ref=harv }}
* {{Erreferentzia|abizena = Katz|izena = Victor J. | izenburua = A history of mathematics: an introduction|lekua = Nueva York|argitaletxea = HarperCollins |urtea=1993|isbn=0673-38039-4|url=http://books.google.cat/books?id=h50fAQAAIAAJ | hizkuntza = en | edizioa = [Nachdr.]|ref=harv}}
* {{Erreferentzia|izena=Kim |abizena=Plofker| izenburua = The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook |url=https://archive.org/details/mathematicsofegy0000unse | atala = Mathematics in India | argitaletxea=Princeton University Press | urtea= 2007 | isbn = 978-0-691-11485-9 |ref=harv }}
* {{Erreferentzia|izenburua=Mathematics & Astronomers of Ancient India |abizena = Sharma |izena = Shashi S. |url=http://books.google.cat/books?id=g9ykYZlzV1oC&pg=PT14&dq | hizkuntza = en | argitaletxea = Pitambar Publishing |data = 2007 |isbn = 812091421X}}
* {{Erreferentzia|izena= John | abizena = Stillwell | izenburua = Mathematics and its History | edizioa = 2. edizioa | argitaletxea = Springer Science + Business Media Inc. | urtea = 2004 | isbn = 0-387-95336-1 |ref=harv }}
* {{Erreferentzia|abizena = Prakash | izena = Satya| izenburua = A critical study of Brahmagupta and his works: a most distinguished Indian astronomer and mathematician of the sixth century A.D. | orrialdeak = pp.344| argitaletxea = Indian Institute of Astronomical & Sanskrit Research | urtea = 1968 |url=http://books.google.cat/books?id=KnjvAAAAMAAJ|hizkuntza=en| ref=harv}}
* {{Erreferentzia|abizena = Puttaswamy | izena = T.K | izenburua = Mathematical Achievements of Pre-modern Indian Mathematicians | argitaletxea = Newnes| urtea = 2012 | isbn = 9780123979384 | url = http://books.google.cat/books?id=DAPLaxw-53IC | hizkuntza = en | ref=harv}}
* {{Erreferentzia|abizena = Selin |izena = Helaine (ed.)|izenburua = Encyclopaedia of the history of science, technology and medicine in non-western cultures|lekua = Dordrecht|argitaletxea = Kluwer Academic argitaletxeas| urtea = 1997|isbn = 0-7923-4066-3|url = http://books.google.cat/books?id=raKRY3KQspsC | fechaacceso=20 de julio de 2013|hizkuntza=en|ref=harv}}
* {{Erreferentzia|izena = Dick|abizena = Teresi |izenburua = Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science |url = https://archive.org/details/lostdiscoveriesa0000tere|argitaletxea = Simon and Schuster |urtea = 2002 |orrialdea = [https://archive.org/details/lostdiscoveriesa0000tere/page/135 135] |isbn = 0-7432-4379-X|ref=harv}}

Ingelesera itzulitako obrak:
* {{Erreferentzia|abizena = Chatterjee|izena = Bina (ed.)|izenburua = The Khandakhadyaka of Brahmagupta | lekua = Nueva Delhi | urtea = 1970 | isbn = 0-7923-4066-3 | url = http://books.google.cat/books?id=EFF4KpR5o3QC | fechaacceso = 20 de julio de 2013|hizkuntza = en| ref=harv}}
* Prakash, Satya eta Sharma, Ram Swarup (eds.). [http://books.google.cat/books?ei=BNICUc6ABMfBhAfwoYFI ''Brāhmasphuṭasiddhāntaḥ '']. Iṇḍiyana Insṭīṭyūta Āpha Aisṭrānaumikala Eṇḍa Saṃskṛta Risarca, 1966. (sanskritoz) eta {{en}}

== Kanpo estekak ==
{{commonscat}}
* {{Erreferentzia| O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., «Brahmagupta» (ingelesez), ''MacTutor History of Mathematics archive'', Universidad de Saint Andrews. (ingelesez)}}
* {{Erreferentzia | url = http://www.encyclopedia.com/topic/Brahmagupta.aspx#2-1G2:2830900597-full | izenburua = ''Brahmagupta''; Complete Dictionary of Scientific Biography 1 any = 2008 | editorea = Encyclopedia.com | fechaacceso = 25 gener 2013 | hizkuntza = en}}
* {{Erreferentzia | url = http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Brahmagupta.shtml | izenburua = Teorema de Brahmagupta (I) | hizkuntza = en}}
* {{Erreferentzia | url = http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Brahmagupta2.shtml | izenburua = Teorema de Brahmagupta | hizkuntza = en}}
* {{Erreferentzia | url = http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/herons.shtml#Brahmagupta | izenburua = Fórmula de Brahmagupta | hizkuntza = en}}
* [http://www.wilbourhall.org/index.html#BSS "Brahmagupta's Brahma-sphuta-siddhanta"] Ram Swarup Sharmak editatua, Indian Institute of Astronomical y Sanskrit Research, 1966. itzaurrea ingelesez, sanskritozko testua eta hindierazko iruzkinak (PDF).

{{bizialdia|VI. mendeko|VII. mendeko|}}

[[Kategoria:Indiako matematikariak]]
[[Kategoria:VII. mendeko matematikariak]]