E (zenbakia)-en iturria ikusi

{{DISPLAYTITLE:{{mvar|e}} (zenbakia)}}
{{Artikulu nabarmendua}}
'''''e''''' konstante matematikoa [[zenbaki irrazional]] garrantzitsuenetariko bat da. Matematikako hainbat adarretan agertzen da. Izan ere, '''''e''''' [[Konstante (matematika)|konstante matematikoa]] [[logaritmo natural|logaritmo nepertarraren]] oinarria da. Bere lehenengo 29 dezimalen balioa hau da:

:''e'' = 2,71828 18284 59045 23536 02874 7135...

Batzuetan, ''e'' zenbakiari '''Eulerren Zenbakia''' esaten zaio, [[Leonhard Euler]]ren omenez. Beste batzuetan, berriz,  '''Napierren konstantea''', [[John Napier]] [[Logaritmo|logaritmo-]]garatzailearen omenez.<ref name=":0" />

Zenbaki horrek garrantzi handia dauka kalkulu eta analisi matematikoan, hain zuzen ere, matematikako funtziorik garrantzitsuenean, hau da, funtzio esponentzialean, <math>\pi</math> geometrian eta ''i'' (zenbaki irudikaria) analisi konplexuan eta aljebran den bezala. 

Hasieran aipatu dugunez, ''e'' zenbakia zenbaki irrazional bat da , <math>\pi</math> zenbakia eta urrezko zenbakia (φ) diren moduan. ''e'' zenbakia ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa ezarri. Bestalde, <math>\pi</math> zenbakia bezala, [[Zenbaki transzendente|zenbaki transzendentea]] da, ez baita [[Koefiziente (matematika)|koefiziente]] [[Zenbaki arrazional|arrazionalak]] dituen [[ekuazio aljebraiko]] baten erroa.

[[Pi (zenbakia)|π]] eta [[unitate irudikari]]a (''i'') ostean, ''e'' da matematiketan zenbakirik garrantzitsuenetariko bat. 
[[Fitxategi:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|[[Leonhard Euler|Eulerrek]] ([[1707]]-[[1783]]) erabaki zuen ''e'' zenbakiaren ikurra letra horrek izan behar zuela.]]
[[Fitxategi:John Napier.jpg|thumb|[[John Napier]] ([[1550]]-[[1617]]) logaritmoen garatzailea.]]

{{Esaera2|Harrigarria da zenbait zenbaki naturan aurkitzea, esate baterako, π eta e zenbaki irrazionalak. Desintegrazio erradioaktiboan ere agertzen dira. Ezin dira digituen bidez adierazi. Zenbaki horiek idazten hasi eta inoiz ez duzu amaituko, infinitura zoaz, baina aldi berean logikoak dira. Eta logika hori aurki dezakegu bai gizakion baitan eta baita gizakiongandik aparte dagoen errealitatean ere.|[[Jose Ramon Etxebarria]] <ref>{{Erreferentzia|izenburua=JOSE RAMON ETXEBARRIA, INGENIARIA, IRAKASLEA ETA IDAZLEA “Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materiamultzo bat gara”|hizkuntza=eu|url=https://eu.wikisource.org/wiki/JOSE_RAMON_ETXEBARRIA,_INGENIARIA,_IRAKASLEA_ETA_IDAZLEA_%E2%80%9CPentsatzeko_gaitasuna_lortu_duen_materiamultzo_bat_gara%E2%80%9D|aldizkaria=eu.wikisource.org|sartze-data=2021-03-05}}</ref> <ref>{{Erreferentzia|izena=Markos|abizena=Zapiain|urtea=2020-02-05|izenburua=“Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materiamultzo bat gara” JOSE RAMON ETXEBARRIA, INGENIARIA, IRAKASLEA ETA IDAZLEA|hizkuntza=eu|url=https://www.noticiasdegipuzkoa.eus/actualidad/sociedad/2018/04/30/pentsatzeko-gaitasuna-lortu-duen-materiamultzo/553103.html|aldizkaria=www.noticiasdegipuzkoa.eus|sartze-data=2021-03-04}}</ref>}}

== Historia ==
<math>\text{e}</math> zenbakiaren aurkikuntza <math>\pi</math> zenbakiarenarekin alderatuta, duela gutxikoa dela esan daiteke. Izan ere, <math>\text{e}</math> zenbakiaren aurkikuntzak jatorri analitikoa du eta <math>\pi</math> zenbakiarenak, aldiz, geometrikoa.

Konstante horren inguruko lehen aipamenak 1618an argitaratu ziren, [[John Napier]]<ref>{{MacTutor|id=e|título=The number ''e''|clase=HistTopics|fecha=2001}}</ref>-ek egindako logaritmoen inguruko lan bateko taula batean. Berez, taula horretan ez zen agertzen <math>\text{e}</math> zenbakiaren benetako baliorik, zenbaki horretatik abiatutako logaritmo natural batzuen kalkuluak baizik. Taula horren egilea [[Willian Oughtred]] dela esaten da. Urte batzuk geroago, 1624an, <math>\text{e}</math> zenbakia matematikako literaturan aipatu zen berriro. Urte horretan, Briggs-ek 10 oinarriko logaritmoekin lortutako hurbilketa bat eman zuen, baina bere lanean ez zuen <math>\text{e}</math> zenbakiaren izenik zehaztu.

<math>\text{e}</math> zenbakiaren ondorengo agerpena zalantzazkoa da. 1647an Saint Vicent-ek hiperbola angeluzuzenaren azpiko azalera kalkulatu zuen. Kalkulatutako azalerak logaritmoekin zuen erlazioa ez zen oso fidagarria, ez baitzegoen arrazoi garbirik <math>\text{e}</math> zenbakiarekin lotuta egoteko. Urte batzuk geroago, 1661ean, Huygens-ek hiperbolaren azalera eta logaritmoen arteko erlazioa aztertu zuen <math>yx=1
</math> kurbaren inguruko problema lantzean.

Hala ere, <math>\text{e}</math> zenbakiaren aurkikuntza ez dator logaritmoetatik, [[Jakob Bernoulli|Jacob Bernoulli]] matematikari ezagunak 1683an egindako [[kapitalizazio konposatu]]a<nowiki/>ren  inguruko lanetik baizik. Moneta unitate (MU)  bat inbertitzen bada urteko % 100eko interesarekin eta interesak urtean behin ordaintzen badira, 2 MU lortuko genituzke. Interesak urtean bi aldiz ordaintzen badira, eta interes hori birekin zatitzen bada, lortutako emaitza  <math>1 MU * 1.5^2= 2,25 MU</math> da. Urtea lau zatitan zatitzen badugu eta aurreko prozesua errepikatuz, honako hau lortuko genuke: <math>1 MU * 1,25^4 = 2,4141</math> … Era berean, urtea hamabi hilabetetan banatuz gero, hau da, interesa hilero ordainduz gero, emaitza hau lortuko genuke: <math>1 MU * (1+\frac{1}{12})^{12} = 2.61303 </math>… Beraz, urteko interesak ordaintzeko epea handitzean, eta interes tasa txikitzean, moneta-unitatearen honako adierazpen hau lortuko genuke, n periodoa izanik eta <chem>\frac{1}{n}</chem> interes tasa:

<math>\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>

Bernoullik azken limitearen balioa bi eta hiru artean zegoela frogatzeko, [[newtonen binomio]]a erabili zuen. Esan daiteke, limitearen balioa bi eta hiru artean egotea dela <math>\text{e}</math> zenbakiaren inguruko lehen hurbilpena. Gainera, adierazpen hori <math>\text{e}</math> zenbakiaren definiziotzat hartuz gero, limite baten bidez adierazten den lehen zenbakiaren definizioa izango litzateke. Bernoullik ez zuen bere lanaren eta logaritmoen arteko erlaziorik zehaztu. Hortik dator finantza-arloan ematen den <math>\text{e}</math> zenbakiaren definizioa: <math>\text{e}</math> zenbakia, urteko %100eko interes-tasa konposatua duen MU baten inbertsioaren limitea da. Modu orokorrago batean, K kapital bateko inbertsioak eta R urteko interes tasak <math>Ke^R</math>  interes konposatua du.

Konstantearen lehen erabilera 1690koa da, izan ere, [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfried Leibniz]]-ek [[Christiaan Huygens|Christian Huygens]]-i  bidalitako gutun batean zenbaki hau b letraz adierazi zuen. [[Leonhard Euler]] izan zen konstantea adierazteko <math>\text{e}</math> letra erabiltzen hasi zen lehenengoa 1727an eta publikoki lehen aldiz 1736an egin zen ezaguna Eulerren liburu batean. Nahiz eta ondorengo urteetan ikertzaile batzuk c letra erabili zuten konstantea adierazteko, <math>\text{e}</math> erabiltzea zen ohikoena, ondorioz, zenbakiaren adierazpen ofizialtzat hartu zen. 1748an, Eulerrek [[Introductio in analysin infinitorum]] liburua argitaratu zuen eta bertan <math>\text{e}</math> zenbakiarekin lotutako informazio guztia bildu zuen. Adibidez, honako hau frogatu zuen:

<math>\text{e} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots</math>

Honela, <math>\text{e}</math> zenbakiaren hurbilpen bat eman zuen 18 hamartarrekin. Horrez gain, zatiki jarraituen egituran ere  <math>\text{e}</math> zenbakiaren definizioa eman zuen. Azken karakterizazio horrekin ondorioztatu zen <math>\text{e}</math> zenbakia [[zenbaki irrazional]]a zela, eta beraz, ikerkuntza honengatik, matematika-adituen komunitateak dio Euler izan zela propietate hau frogatu zuen lehena.

Bestalde, <math>\pi</math> zenbakiarekin gertatu ez zen bezala, orokorrean ez zen <math>\text{e}</math> zenbakiaren hamartarrak aurkitzeko interesik agertu. Baina, matematikari batzuei hamartar horiek aurkitzeko grina piztu zitzaien eta 1854an lan hori egiten hasi zen lehena [[William Shanks]] izan zen. Esan beharra dago Shanks bera izan zela gehien saiatu zena <math>\pi</math> zenbakiaren hamartar desberdinak aurkitzen. [[James Whitbread Lee Glainser]] matematikariak frogatu zuen Shanks-ek ikertutako lehen 137 zenbaki hamartarrak zuzenak zirela, baina akats bat aurkitu zuen, nahiz eta gero Shanks-ek zuzendu eta 205 zifra hamartarretara iritsi. Izan ere, 200 hamartar lortzeko, 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … moduko 120  termino inguru behar dira.

[[Boorman]]-ek 1884an egindako lanei esker, zenbaki hamartarren aurkikuntzek gora egin zuten eta 346 hamartar inguru kalkulatu zituen Boorman-ek. Kalkuluak egin ostean, ohartu zen berak aurkitutako lehen 187 hamartarrak eta Shanks-ek aurkitutakoak berdinak zirela, baina, gero, dibergitu egiten zutela. 1887an, [[Adams]]-ek <math>\text{e}</math>-ren logaritmoa 10 oinarrian hurbildu zuen 272 zifra zehatzekin.

1873an, [[Charles Hermitek]]  <math>\text{e}</math> zenbakia transzendentea dela frogatu zuen. Lorpen hau polinomio bat erabiliz lortu zuen, [[Lambert-]]<nowiki/>ek landutako [[zatiki jarraitu]]<nowiki/>en laguntzaz. [[David Hilbert]]-ek lehen frogapenak egin zituen egindako ikerketa guztien inguruan<ref>{{erreferentzia|aldizkaria=Pro Mathematica|liburukia=IV|zenbakia=7-8|urtea=1990|argitaletxea=PUCP|lekua=Lima|issn=1012-3938}}</ref>.

== Definizioak ==

Definizio ugari ditu, baina ''e'' zenbakiaren hiru definiziorik garrantzitsuenak hauek dira:[[Fitxategi:Hyperbola_E.svg|thumb|254x254px|x-ren eta y=1/x-ren arteko azalera x=1 eta x=e artean 1 da.]]

# <math>\text{e}</math> <math>\left(1+\frac{1}{n}\right)^n</math>  segidaren [[limite]] moduan definitzen da:<ref>{{Erreferentzia|abizena=Arias, José María, 1948-|izenburua=Matemáticas 1, Bachillerato ciencias y tecnología|argitaletxea=Bruño|data=D.L. 2009|url=https://www.worldcat.org/oclc/733850234|isbn=978-84-216-5985-4|pmc=733850234|sartze-data=2020-11-13}}</ref>  <math>e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.</math>
# <math>\text{e}</math> [[serie infinitu]] baten batukari gisa definitzen da:  <math>e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots</math>  non ''n''! ''n-''ren [[faktorial]]a den.
# <math>\text{e}</math> zenbakia <math>\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}</math> ekuazioaren soluzioa da<ref>{{erreferentzia|izena=Michael|abizena=Spivak|urtea=|izenburua=Cálculo Infinitesimal 2.ª edición|argitaletxea=Reverté|orrialdea=465|orrialdeak=|ISBN=8429151362|hizkuntza=es|Liburuaren esteka=http://valle.fciencias.unam.mx/licenciatura/bibliografia/spivak.pdf}}</ref>. Hau da, <math>\text{e}</math> honela definitzen da: <math>\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}</math>.

Hiru definizio hauek baliokideak direla frogatu da.

=== e zenbakiaren deskubrimendua (Bernouilli,  1683) ===
Eulerren zenbakia ez zen XVII. mendera arte deskubritu. Eta naturan hainbat esparrutan agertuagatik, diru irabaziei begira deskubritu zen ''e'' zenbakia. Jacob Bernouilli matematikaria interes konposatuari begira ari zen. Interes konposatuak honela funtzionatzen du: demagun euro bat daukagula eta urtebeteren buruan dugunaren %100 emango digutela. Orduan, daukagun kopuru hori urtebeteren buruan begiratzen badu bankuak, 1 izatetik 2 izatera pasako gara.<ref name=":0">{{Erreferentzia|izena=Jone Uria|abizena=Albizuri|izenburua=Eulerren zenbakia|hizkuntza=eu|url=https://www.berria.eus/paperekoa/1891/017/001/2022-05-13/eulerren-zenbakia.htm|aldizkaria=Berria|sartze-data=2022-05-13}}</ref>

Baina zer gertatzen da %100 hori urtean zehar bi zatitan ematen badigute? Hau da, seigarren hilean dugunaren %50 eta handik sei hilera dugunaren %50, berriz. Orduan, ekainean 1,5 euro izatera pasako gara, eta abenduan 2,25 izango ditugu. Irabazten atera gara, beraz, interes konposatua bi zatitan bereizita. Eta hilabetero egingo bagenu? Orduan 2,61 eurorekin bukatuko genuke urtea.<ref name=":0" />

Pentsa liteke urtea zatitzen jarraituta etengabe gehiago irabazten amaituko dugula. Baina badu muga bat prozesu honek. Ez gara sekula urte amaieran 3 euro izatera iritsiko. Egunero eginda, adibidez, 2,7145 euro irabaziko genituzke. Nanosegundutan zatituko bagenu urtea, ez ginateke kopuru horretatik apenas urrunduko: 2,7182... Eta hori da ''e'' zenbakia: interes konposatuaren epeekin jokatuta ere, irabaziek muga bat dutela adierazten digun zenbakia.<ref name=":0" /> Hortik dator goian eman den lehenengo definizoa

Behin zenbakia deskubrituta, beste hainbat propietate dituela ikusi zuten. Baita beste hainbat egoeratan agertzen dela ere. Probabilitateen teorian, esaterako, erruleta batean 37 zenbakitik bat hautatu eta huts egiteko probabilitatea 0,97 da. Bada, 37 aldiz jokatu, eta denetan huts egitekoa 0,3628. Gutxi gorabehera ''1/e'' dena, hain zuzen ere.<ref name=":0" /> Hortik dator goian eman den bigarren definizioa.

== Propietate matematikoak eta horien aplikazioak ==

=== Analisi matematikoak ===

==== Funtzio esponentziala ====
Edozein <math>x\in\mathbb{R}</math> -rako  <math>\left(1+\frac{x}{n}\right)^n</math>[[segida]] konbergentea da. Limite hau <math>\text{e}^x</math> modura idatz dezakegu:

<math>\text{e}^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n.</math>
[[Fitxategi:Exp_derivative_at_0.svg|thumb{{Apurtutako esteka|date=otsaila 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}]]
[[Funtzio esponentzial]]a, funtzio erreal bati deritzo non bere aldagai independenteak <math>\mathbb{R}</math> osoa zeharkatzen duen. Honako hau da:

<math>\begin{align} f\colon \mathbb{R} &\to \mathbb{R^+} \\ x &\mapsto \text{e}^x\end{align}</math>

[[Funtzio esponentzial]]aren ezaugarri nagusia da funtzioa eta bere deribatua berdinak izatea.

<math>\frac{d}{dx}e^x=e^x.</math>

Gainera, deribatua <math>\mathbb{R}</math>-ko puntu guztietan existitzen da.

Deribatuaren ezaugarri horretatik ondorioztatzen da [[funtzio esponentzial]]aren integrala eta funtzioa berdinak direla.

<math>\int e^x\,dx=e^x + C</math>  non ''C'' integraleko konstante bat den.

Gainera, deribatuaren propietate hori betetzen duen funtzioa bakarra da edozein <math>x</math> baliorako zero balioa hartuko ez duena (edozein  <math>x\in\mathbb{R}</math> <math>e^x\neq0</math>). Horregatik, analisi matematikoko funtzio garrantzitsuena da; bereziki, [[ekuazio diferentzial]]etarako.

<math>f(x)=e^x</math> funtzioaren [[Serie (argipena)|seriea]], [[Taylor serie|Maclauriren formula]] bidez lortzen da.

<math> f(x) = f^{'}(x) = f^{''}(x) =...= f^{n+1}(x) = \text{e}^x, </math> (1)

<math> f(0) = f^{'}(0) = f^{''}(0) =...= f^{n+1}(0) = 1, </math> (2)

[[Taylor serie|Maclauriren formula]] <math>\sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(0)}{k!} \, x^{k} + R_k(x)</math> denez, aurreko (1) eta (2) berdintzak kontuan hartuz, honako hau dugu:


<math> \text{e}^x = \sum_{k=0}^n \frac {f^{(k)}(0)}{k!} \, x^{k} + R_k(x)= 1 + \frac{x}{1!} + \frac {x^2}{2!} +\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+O(x^{n+1})</math>


<math>x=1</math> hartuz, e zenbakiaren hurbilpen bat lortzen da,


<math> \text{e} \approx 1 + \frac{1}{1!} + \frac {1}{2!} +\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{n!}</math>

non ≈ -k balio hurbildua adierazten duen.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Supplementum Epigraphicum GraecumSivrihissar (in vico). Op. cit. Op. cit. 334, n. 19.|url=http://dx.doi.org/10.1163/1874-6772_seg_a2_597|aldizkaria=Supplementum Epigraphicum Graecum|sartze-data=2020-11-13}}</ref>

==== Steiner-en problema ====
[[Fitxategi:Xth_root_of_x.svg|thumb|<math>\sqrt[x]{x}</math>-ren [[Funtzio baten muturrak|maximo absolutuko]] puntua <math>x=e</math> da.]]
Steiner-en problemaren helburua da, <math display="inline"> f(x) = x^{1/x}</math> funtzioaren [[Funtzio baten muturrak|maximo absolutua]] aurkitzea. Maximo absolutua, <math>\text{e}</math> zenbakia da hain zuzen.<ref>{{Erreferentzia|abizena=Dörrie, Heinrich, 1873-1955,|izenburua=100 great problems of elementary mathematics : their history and solution|url=https://www.worldcat.org/oclc/487523|isbn=978-0-486-61348-2|pmc=487523|sartze-data=2020-11-13}}</ref>

Bestalde, <math display="inline">1/\text{e}</math> <math display="inline"> f(x) = x^x\, </math> funtzioaren [[Funtzio baten muturrak|minimo absolutua]] da <math display="inline">x>0</math> kasurako.

Azken funtzio hori orokortuz, <math display="inline"> \!\ f(x) = x^{x^n} </math> funtzioaren maximo absolutua <math display="inline">1/\text{e}</math> puntua da <math display="inline">n<0</math> kasurako, eta minimo absolutua <math display="inline">\text{e}^{-1/n}</math>  <math display="inline">n>0</math> denean.


[[Leonhard Euler]]-en teorema batetik ondokoa ondorioztatzen da:<ref>{{erreferentzia|izena=Euler|abizena=Leonhard|urtea=1783|izenburua=De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus|argitaletxea=Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae|orrialdea=|orrialdeak=29-51|ISBN=|hizkuntza=la}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=E.J.|abizena=Aiton|izenburua=Leonhardi Euleri Opera Omnia. Series Secunda: Opera Mechanica. Volume XX: Commentationes mechanicae et astronomicae ad scientiam navalem pertinentes. Walter HabichtLeonhardi Euleri Opera Omnia. Series Tertia: Opera physica miscellanea epistolae. Volume IX: Commentationes opticae. Walter Habicht , Emil Alfred Fellmann|orrialdeak=129–130|data=1978-03|url=http://dx.doi.org/10.1086/351979|aldizkaria=Isis|alea=1|zenbakia=69|issn=0021-1753|doi=10.1086/351979|sartze-data=2020-11-13}}</ref>

[[Tetrazio]] infinitua

<math>x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}}</math>edo  <math>{^\infty}x</math>

konbergentea da baldin eta soilik baldin <math>\text{e}^{-\text{e}}\leq x\leq \text{e}^{1/\text{e}}</math> betetzen bada.

=== Zenbaki konplexuak ===
[[Fitxategi:Euler's_formula.svg|thumb|{{Apurtutako esteka|date=otsaila 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}[[Eulerren formula|Euler-en formularen]] irudikapen geometrikoa.]]
<math>\text{e}</math> [[Eulerren formula|Euler-en formulan]] [[zenbaki konplexu]]ekin erlazionatuta agertzen den zenbaki garrantzitsuenetarikoa da.

<math>\text{e}^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!</math>

Aurreko honetan <math>x=\pi</math> denean, [[Eulerren identitate]]a izango dugu:

<math>\text{e}^{i\pi}+1 =0 .\,\!</math>

Hemendik, hau ondorioztatzen da:

<math>\log_e (-1) = i\pi .\,\!</math>

Gainera, esponentzialaren legeak aplikatuz, honako hau lor dezakegu:

<math>(\cos x + i\sin x)^n = \left(\text{e}^{ix}\right)^n = \text{e}^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx)</math>

Hau, [[De Moivre-ren formula]] da.

Harvard-eko irakaslea den [[Benjamin Peirce|Benjamin Peirce-k]] ezagutarazi zuen formula hau, eta aditzera eman zuen, formulak aldi berean matematikan dauden bost zenbakirik garrantzitsuenak (0, 1, π, ''i'' eta ''e'') batzen dituela.<ref>{{Erreferentzia|abizena=Kasner, Edward, 1878-1955.|izenburua=Matemáticas e imaginación|argitaletxea=CONACULTA, Direccion General de Publicaciones|data=2007|url=https://www.worldcat.org/oclc/476883399|edizioa=1a ed. en Qed|isbn=978-970-35-1300-0|pmc=476883399|sartze-data=2020-11-13}}</ref>

=== Probabilitatea eta estatistika ===
<math>\text{e}</math> zenbakia probabilitate-teoriaren aplikazioetan ere agertzen da. Horren adibide da [[subfaktorialaren]] problema, neurri batean [[Jakob Bernoulli|Jacob Bernoulli-k]] [[Pierre Raymond de Montmort|Pierre Raymond de Montmort-en]] laguntzaz aurkitua, ''Txapelen problema'' ere deitzen zaio:<ref>{{Erreferentzia|abizena=Grinstead, Charles M. (Charles Miller), 1952-|izenburua=Introduction to probability.|argitaletxea=American Mathematical Society|data=1997|url=https://www.worldcat.org/oclc/36511474|edizioa=2nd rev. ed.|isbn=0-8218-0749-8|pmc=36511474|sartze-data=2020-11-13}}</ref> Festa bateko <math display="inline">n</math> gonbidatuk diskoteka bateko sarreran beraien txapelak maiordomoari uzten dizkiote; honek, gonbidatu bakoitzaren izena duten <math display="inline">n</math> konpartimentu desberdinetan uzten ditu txapelak. Baina maiordomoak gonbidatuak ezagutzen ez dituenez, txapelak modu aleatorioan uzten ditu konpartimentuetan. De Montmort-en probleman, hain zuzen, txapel bakoitza dagokion konpartimentuan kokatuta ez egoteko probabilitatea kalkulatzen da. Probabilitate hori ondorengoa da:

<math>P(n) = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}</math> .

Gonbidatu kopuruak (<math display="inline">n</math>) infinitura jotzean, <math display="inline">P(n)</math> balioa <math display="inline">1/e</math>-ra hurbilduko da  <math>(\lim_{n\to\infty}P(n)=\frac{1}{e})</math>.  Are gehiago,  <math display="inline">n!/e</math>-ren gertueneko zenbaki arrunta da txapel guztiak dagokien konpartimentuetan kokatuta ez egoteko aukera kopurua .<ref>{{erreferentzia|izena=Donald|abizena=Ervin Knuth|urtea=1997|izenburua=The Art of Computer Programming|url=https://archive.org/details/artcomputerprogr00dona_050|argitaletxea=Addison-Wesley Professional|orrialdea=[https://archive.org/details/artcomputerprogr00dona_050/page/n197 183]|orrialdeak=|ISBN=9780321635747|hizkuntza=}}</ref>


Azken emaitza hau, beste modu honetan ere defini daiteke: izan bedi <math display="inline">P(n)</math> ausazko funtzio batek puntu finko bat izateko probabilitatea non  n<math>\in</math>{<math display="inline">{1,2,...,n}</math>} den. Orduan,

<math>\lim_{n\to\infty}P(n)=1-\frac{1}{e}=0.6321205588...</math>


Probabilitatean, ondorengo probleman ere ageri da <math>\text{e}</math> zenbakia: izan bitez <math display="inline">X_1, </math><math display="inline">X_2,...</math><math display="inline">X_n </math> [0,1] tarteko  [[Banaketa uniforme (argipena)|banaketa uniformea]] duten ausazko aldagaien segida bat, eta N, <math display="inline">{X_1+X_2+\cdots+X_n > 1}</math> desberdintza betetzen deneko <math display="inline">n</math> zenbaki txikiena:

<math>N = \min { \left \{ n \mid X_1+X_2+\cdots+X_n > 1 \right \} }.</math>

Orduan, N-ren itxaropena <math display="inline">E(N)=\text{e}</math> da<ref>{{erreferentzia|izena=Dan|abizena=Ma|urtea=2015|izenburua=A randomized definition os the natural logarithm constant|argitaletxea=Probability end Stats|orrialdea=|orrialdeak=|ISBN=|hizkuntza=in|Esteka=https://probabilityandstats.wordpress.com/2015/12/12/a-randomized-definition-of-the-natural-logarithm-constant/}}</ref>. Emaitza horrekin, konstantearen balioa estima dezakegu ausazko simulazioak eginez.<ref>{{erreferentzia|izena=K.G.Russell|abizena=|urtea=1991|izenburua=Estimating the Value of e by Simulation|argitaletxea=The American Statistician|orrialdea=|orrialdeak=66-68|ISBN=|hizkuntza=}}</ref>

Azkenik, esan beharra dago <math>\text{e}</math> zenbakiak matematikako arlo honetan agerpenik garrantzitsuena duela μ [[Batezbesteko aritmetiko sinple|batezbestekoa]] eta σ [[desbideratze estandar]]reko [[banaketa normal]]aren [[probabilitatearen dentsitate-funtzio]]an; hau, [[gauss-en integraletik]] lortzen da:<ref>{{Erreferentzia|izena=Eric|abizena=Weisstein|izenburua=Making MathWorld|data=2007-08-07|url=http://dx.doi.org/10.3888/tmj.10.3-3|aldizkaria=The Mathematica Journal|alea=3|zenbakia=10|issn=1097-1610|doi=10.3888/tmj.10.3-3|sartze-data=2020-11-13}}</ref>

<math>\phi(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,\text{e}^{-(x-\mu )^2/2\sigma^2}.</math>

=== Zenbaki teoria ===
Bi lotura hauek [[zenbaki lehenen teoremaren]] korolarioak dira.<ref>S. M. Ruiz 1997</ref>

<math>\text{e}= \lim_{n \to \infty}\sqrt[p_n]{(p_n \#)}</math>

non <math> p_n </math> ''n''. [[zenbaki lehen]]a eta <math> p_n \# </math> ''n''.zenbaki lehenaren eta <math> p_n </math> baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura diren.

<math>\text{e}= \lim_{n \to \infty}n^{\pi(n)/n} </math>

non <math> \pi(n) </math> ''n'' baino [[zenbaki lehen txikiagoen kontagailua]] den.

=== Geometria ===
[[Fitxategi:Espiral3.jpg|thumb|α{{Apurtutako esteka|date=otsaila 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} angeluko espiral angeluberdina]]
<math>\text{e}</math> zenbakia planoko kurba jakin bati lotutako kantitateen arteko zatidura gisa interpreta daiteke, <math>\pi</math> zenbakia bezala. Izan bedi <math>\gamma</math> kurba bat non jatorritik datorren edozein zuzenerdik kurba mozten duen <math>\pi/4</math> [[radian]]<nowiki/>eko angelua osatuz.<ref>{{Erreferentzia|izena=M. E. J. Gheury|abizena=de Bray|izenburua=Exponentials Made Easy or The Story of 'Epsilon'|orrialdeak=278|data=1923-03|url=http://dx.doi.org/10.2307/3602212|aldizkaria=The Mathematical Gazette|alea=163|zenbakia=11|issn=0025-5572|doi=10.2307/3602212|sartze-data=2020-11-15}}</ref><ref>{{erreferentzia|izena=Olivier|abizena=Théodore|urtea=1845|izenburua=«Quelques applications des projections coniques ou centrales et des projections cylindriques». Complements de geometrie descriptive.|argitaletxea=París: Carilian-Goeury et Dalmont|orrialdea=445|orrialdeak=|ISBN=|hizkuntza=}}</ref> [[Radian]] bateko banaketa angeluarra duten bi puntu hartzen baditugu, P1 eta P2, eta <math>r_i=\operatorname{dist}(P_i,O), r_1<r_2,</math> definituz, orduan,

<math>\frac{r_2}{r_1}=\text{e}.</math>

Formula hori lortzeko radian bat neurtu behar denez, konplexua dela iruditu daiteke. Baina zirkunferentzia bat zuzen baten gainean mugitzen badugu, oso erraz lor daiteke. Aurretik aipatutako propietatea duen kurba, [[espiral logaritmiko]]a da, eta kurba horrek angelu guztiak berdinak dituenez, erraz egiazta daiteke koordenatu polarretako bere ekuazioa ondorengoa dela:

<math>r(\theta)=Ae^{\theta}, \qquad\theta\in \mathbb{R}, A>0.</math>

Espiral logaritmikoak <math>0<\alpha\leq \pi/2</math> -ko angelua badu, koodenatu polarretako ekuazioa <math>r(\theta)=Ae^{\cot(\alpha)\cdot\theta}</math> da.

=== Irrazionalitatea eta traszendentzia ===
<math>\text{e}</math> zenbakia [[Zenbaki irrazional|irrazionala]] denez, ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa idatzi.<ref>{{Erreferentzia|izena=Jonathan|abizena=Sondow|izenburua=A Geometric Proof that 𝑒 Is Irrational and a New Measure of Its Irrationality|orrialdeak=637|data=2006-08-01|url=http://dx.doi.org/10.2307/27642006|aldizkaria=The American Mathematical Monthly|alea=7|zenbakia=113|issn=0002-9890|doi=10.2307/27642006|sartze-data=2020-11-15}}</ref> Horixe frogatu zuen 1737an [[Leonhard Euler|Euler]]-ek. Frogapen horretan, Eulerrek <math>\text{e}</math> zatiki jarraitu gisa jarri zuen, horrela, infinitua izatean, bazekien ez zegokiola zenbaki arrazional bati. Hala ere, frogapen ezagunena [[Joseph Fourier|Fourier]]-ek egindakoa izan zen, eta zenbaki-seriearen garapenean oinarritu zen horretarako. 1768an [[J.H. Lambert]]-ek <math>\text{e} ^{p/q}</math> irrazionala zela frogatu zuen <math>p \over q </math> zenbaki arrazional positiboa izanik.

Gainera, <math>\text{e}</math> zenbakia [[Zenbaki transzendente|zenbaki traszendentea]] da, hau da, ez da koefiziente osoak dituen polinomio baten erroa. Zenbaki traszendentetzat hartu zen lehenengo zenbakia izan zen eta [[Charles Hermite]]<nowiki/>k frogatu zuen mota horretako zenbakia zela.

=== e zenbakia duten formulak ===
Hona hemen <math>\text{e}</math> zenbakia barne hartzen duten formula batzuk:

<math> \frac{1}{\text{e}}= \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!}. </math><ref>{{Erreferentzia|izena=Harlan J.|abizena=Brothers|urtea=|izenburua=Improving the Convergence of Newton's Series Approximation for e|argitaletxea=|orrialdea=|orrialdeak=34-39|ISBN=|hizkuntza=|data=2004-01|url=http://dx.doi.org/10.2307/4146881|aldizkaria=The College Mathematics Journal|alea=1|zenbakia=35|issn=0746-8342|doi=10.2307/4146881|sartze-data=2020-11-15}}</ref>

<math>\sqrt{\text{e}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}.</math>

<math>\frac{\text{e}+1}{e-1} = 2+\cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{10 + \cfrac{1}{14 + \cfrac{1}{18 + {\ddots}}}}}.</math>

<math>\sqrt{\text{e}} -1= \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{9 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + {\ddots}}}}}}}}}}.
</math>

<math> 2 = \frac{\text{e}^{1}}{\text{e}^{1/2}}\cdot\frac{\text{e}^{1/3}}{\text{e}^{1/4}}\cdot\frac{\text{e}^{1/5}}{\text{e}^{1/6}}\cdot\frac{\text{e}^{1/7}}{\text{e}^{1/8}}\cdots,</math> formula hau <math> \ln 2 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\cdots</math> identitatetik lortzen da.


<math>\text{e}-\frac{1}{\text{e}} = 2\prod_{k=1}^\infty \left( 1+\frac{1}{k^2\pi^2} \right ).</math>

<math>\text{e}+\frac{1}{\text{e}} = 2\prod_{k=1}^\infty \left( 1+\frac{4}{(2k-1)^2\pi^2} \right ).</math>


[[Eulerren formula|Euler-en formula]]: <math>\text{e}^{i\pi}+1 =0 .\,\!</math>

[[Stirlingen formula|Stirling-en formula]]: <math> n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{\text{e}}\right)^n. </math>

Gosperren formula: <math>-\frac{\pi^2}{12\text{e}^3} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ).</math>


<math>\text{e}</math> zenbakiaren hurbilketa bat, aldi berean [[urrezko zenbakia]] eta [[Pi (zenbakia)|π]] erabiliz, honako hau da:

: <math> e \sim \left (\frac{\pi}{5} \phi \right )^{(\frac{600}{\pi^2})}. </math>

== e zenbakiaren adierazpena ==
<math>\text{e}</math> zenbakia, [[zenbaki erreal]] gisa hainbat modutan adieraz daiteke: [[Serie (matematika)|serie infinitu]], [[biderkadura infinitu]], [[zatiki jarraitu]] eta [[segida baten limite]] bezala.

=== Limite gisa ===
<math>\text{e}</math> zenbakiaren definizioa: <math>\text{e}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n.</math>

1975ean, [[Felix A. Keller]] suitzarrak limite simetrikoa lortu zuen:<ref>{{Erreferentzia|izena=Harlan J.|abizena=Brothers|izenburua=New closed-form approximations to the logarithmic constant e|orrialdeak=25–29|abizena2=Knox|izena2=John A.|data=1998-09|url=http://dx.doi.org/10.1007/bf03025225|aldizkaria=The Mathematical Intelligencer|alea=4|zenbakia=20|issn=0343-6993|doi=10.1007/bf03025225|sartze-data=2020-11-15}}</ref> <ref>{{Erreferentzia|izena=Sanjay Kumar|abizena=Khattri|izenburua=From Lobatto Quadrature to the Euler Constante|orrialdeak=488–497|data=2010-07-12|url=http://dx.doi.org/10.1080/10511970802509682|aldizkaria=PRIMUS|alea=6|zenbakia=20|issn=1051-1970|doi=10.1080/10511970802509682|sartze-data=2020-11-15}}</ref><math>\text{e}=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ].</math>

[[Stirlingen formula|Stirling-en formula]]<nowiki/>tik ondorengoa lortzen da: <math> \text{e}= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n} </math>

<math> \text{e}=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} </math><ref>{{erreferentzia|izena=V.Vodney|abizena=y otros|urtea=1995|izenburua=Fórmulas matemáticas fundamentales|argitaletxea=Euro Omega, Madrid|orrialdea=|orrialdeak=|ISBN=|hizkuntza=}}</ref>

<math> p_n </math> n. zenbaki [[Zenbaki lehen|lehena]] eta <math> p_n \# </math> n. zenbaki lehenaren eta <math> p_n </math> baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura izanik, <math>\text{e}= \lim_{n \to \infty}\sqrt[p_n]{(p_n \#)}</math> frogatu zen.

Azkenik, <math>\text{e}= \lim_{n \to \infty}n^{\pi(n)/n} </math> adierazpena lortu zen <math> \pi(n) </math> ''n'' baino [[zenbaki lehen txikiagoen kontagailua]] izanik.

=== Serie edo batura infinitu gisa ===

: <math>\text{e} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}</math>

: <math>\text{e} = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}</math>

: <math>\text{e} = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}</math>

: <math>\text{e} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}</math>
:
: <math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)}</math>  non  <math>B_n</math> [[Bell-en zenbakia|Bell-en]] n. zenbakia den.

Azkeneko karakterizazioaren adibide batzuk:

: <math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}</math>
: <math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}</math>
: <math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}</math>
: <math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)}</math>
: <math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)}</math>
: <math>\text{e} = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^7}{877(k!)}</math>

=== Biderkadura infinitu gisa ===
<math>\text{e}</math> zenbakia <<Wallisen erako>> [[biderkadura infinitu]] gisa ere adieraz daiteke hainbat modutan:<ref>{{erreferentzia|izena=|abizena=|urtea=|izenburua=http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1005/1005.2712.pdf|argitaletxea=|orrialdea=|orrialdeak=|ISBN=|hizkuntza=}}</ref>

[[Pippenger]]-en biderkadura:<ref>{{Erreferentzia|izena=Eric W.|abizena=Weisstein|izenburua=Pippenger Product|hizkuntza=en|url=https://mathworld.wolfram.com/PippengerProduct.html|aldizkaria=mathworld.wolfram.com|sartze-data=2020-11-15}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Nicholas|abizena=Pippenger|izenburua=An Infinite Product for e|orrialdeak=391–391|data=1980-05|url=http://dx.doi.org/10.1080/00029890.1980.11995044|aldizkaria=The American Mathematical Monthly|alea=5|zenbakia=87|issn=0002-9890|doi=10.1080/00029890.1980.11995044|sartze-data=2020-11-15}}</ref>

: <math>\text{e}= 2\left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8}\left ( \frac{8}{9}\; \frac{10}{9}\; \frac{10}{11}\; \frac{12}{11}\; \frac{12}{13}\; \frac{14}{13}\; \frac{14}{15}\; \frac{16}{15} \right )^{1/16} \cdots , </math>

Catalán-en biderkadura:

: <math>\text{e} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{4}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{6 \cdot 8}{5 \cdot 7} \right )^{1/4} 
\left (\frac{10 \cdot 12 \cdot 14 \cdot 16}{9 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 15} \right )^{1/8} \cdots ,</math>

eta Guillera-ren biderkadura:<ref>{{Erreferentzia|izena=Jonathan|abizena=Sondow|izenburua=A Faster Product for $\pi$ and a New Integral for ln $\frac{\pi}{2}$|orrialdeak=729|data=2005-10-01|url=http://dx.doi.org/10.2307/30037575|aldizkaria=The American Mathematical Monthly|alea=8|zenbakia=112|issn=0002-9890|doi=10.2307/30037575|sartze-data=2020-11-15}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Jesús|abizena=Guillera|izenburua=Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent|orrialdeak=247–270|abizena2=Sondow|izena2=Jonathan|data=2008-07-12|url=http://dx.doi.org/10.1007/s11139-007-9102-0|aldizkaria=The Ramanujan Journal|alea=3|zenbakia=16|issn=1382-4090|doi=10.1007/s11139-007-9102-0|sartze-data=2020-11-15}}</ref>

: <math>\text{e} = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,</math>
: n. faktorea n. erroa izanik
: <math>\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},</math>

eta azkenik, biderkadura infinitu gisa

<math>\text{e} = \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }.</math>

=== Zatiki jarraitu gisa ===
<math>\text{e}</math> zenbakiaren hamartarrek ez dute patroi erregular bat jarraitzen. Hala ere, normalizatu daitezkeen [[zatiki jarraitu]]<nowiki/>ei esker, zatiki jarraitu normalizatu gisa lor dezakegu:

<math>\text{e} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{2} + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{4} + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\mathbf{6} + \cfrac{1}{1 + \cdots}}}}}}}}}, </math>

eta <math>\text{e} = [2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]</math> moduan idazten da. Azken propietate hau [[Leonhard Euler]]-ek<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Who Proved 𝑒 is Irrational? (February
                    2006)|orrialdeak=185–190|data=2007|url=http://dx.doi.org/10.1090/spec/052/36|aldizkaria=Spectrum|issn=2638-6909|doi=10.1090/spec/052/36|sartze-data=2020-11-15}}</ref> lortu zuen. Zatiki jarraitu ez normalizatuaren adierazpena, berriz, <math>\text{e} = 2 + \frac{2}{2 + \cfrac{3}{3 + \cfrac{4}{4 + \cfrac{5}{5 + \cfrac{6}{6 + \cfrac{7}{7 + \cdots}}}}}} </math> da.

Bi kasutan, argi ikusten da <math>\text{e}</math> zenbakiaren hamartarrek ez dutela patroi bat jarraitzen.

=== Digitu dezimalen kopuru ezaguna ===
[[Fitxategi:10,000 digits of e - poster.svg|thumb|Poster bat ''e'' zenbakiaren lehen 10.000 digituak jasotzen dituena.]]
[[Fitxategi:Sequences for calculating Euler's number.svg|thumb|(1+1/n) eta (1+1/n) sekuentzien bidez e zenbakia kalkulatzeko diagrama]]
Azken hamarkadetan, asko handitu da ezagunak diren <math>\text{e}</math> zenbakiaren digitu dezimalen kopurua. Ordenagailuen errendimendua handitzeari eta hobekuntza algoritmikoei zor zaie hori.<ref>{{Erreferentzia|izena=Yannick|abizena=Saouter|izenburua=An improved lower bound for the de Bruijn-Newman constant|orrialdeak=2281–2281|abizena2=Gourdon|abizena3=Demichel|izena2=Xavier|izena3=Patrick|data=2011|url=http://dx.doi.org/10.1090/s0025-5718-2011-02472-5|aldizkaria=Mathematics of Computation|alea=276|zenbakia=80|issn=0025-5718|doi=10.1090/s0025-5718-2011-02472-5|sartze-data=2020-11-15}}</ref> <ref>{{erreferentzia|izena=Gourdon, X|abizena=|urtea=|izenburua=Reported large computations with PiFast|argitaletxea=|orrialdea=|orrialdeak=|ISBN=|hizkuntza=}}</ref>1949an, [[J. Von Neumann]] eta bere taldeak [[ENIAC]] erabili zuten 2010 hamartar lortzeko.

1961ean, D. Shanks eta J.W. Wrecnch-ek  2,5 ordu behar izan zituzten 100.265 hamartar lortzeko Eulerren formularekin. 1994an, R.Nemiroff eta J.Bonellek 10.000.000 hamartar topatu zituzten.

Azken hamarkadetan, ordenagailuek hamartar kopuru handiak dituzten zenbakiak lortu dituzte. 2000. urtean, esaterako, Pentium III 800 ordenagailuko PiFast33 programa erabiliz, 12884901000 zifra hamartar lortu ziren eta hau lortzeko 167 ordu behar izan zituzten.
{| class="wikitable" style="margin: 1em auto 1em auto"
|+Urte bakoitzean ezagutzen ziren ''e'' zenbakiaren hamartar kopurua eta nork lortu zuen kopuru hori
!Urtea
!Dezimal kopurua
!Nork
|-
|1690
| align="right" |1
|[[Jacob Bernoulli]]
|-
|1714
| align="right" |13
|[[Roger Cotes]]<ref>Roger Cotes (1714) "Logometria," ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'', '''29''' (338) : 5–45; [https://archive.today/20140410203227/http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=ucm.5324351035;view=2up;seq=16 see especially the bottom of page 10.]  From page 10:  ''"Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … "'' (Furthermore, by the same means, the ratio is between 2.718281828459… and 1, … )</ref>
|-
|1748
| align="right" |23
|[[Leonhard Euler]]<ref>Leonhard Euler, ''Introductio in Analysin Infinitorum'' (Lausanne, Switzerland:  Marc Michel Bousquet & Co., 1748), volume 1, [[iarchive:bub_gb_jQ1bAAAAQAAJ/page/n115|page 90.]]</ref>
|-
|1853
| align="right" |137
|[[William Shanks]]<ref>William Shanks, ''Contributions to Mathematics'', ... (London, England:  G. Bell, 1853),  [https://books.google.com/books?id=d-9ZAAAAcAAJ&pg=PA89#v=onepage&q&f=false page 89.]</ref>
|-
|1871
| align="right" |205
|William Shanks<ref>William Shanks (1871) [https://books.google.com/books?id=sclTAAAAcAAJ&pg=PA27#v=onepage&q&f=false "On the numerical values of ''e'', log<sub>''e''</sub> 2, log<sub>''e''</sub> 3, log<sub>''e''</sub> 5, and log<sub>''e''</sub> 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals,"] ''Proceedings of the Royal Society of London'', '''20''' :  27–29.</ref>
|-
|1884
| align="right" |346
|J. Marcus Boorman<ref>J. Marcus Boorman (October 1884) [https://books.google.com/books?id=mG8yAQAAMAAJ&pg=PA204#v=onepage&q&f=false "Computation of the Naperian base,"] ''Mathematical Magazine'', '''1''' (12) :  204–205.</ref>
|-
|1949
| align="right" |2.010
|[[John von Neumann]] ( [[ENIAC|ENIAC konputagailuarekin]])
|-
|1961
| align="right" |100.265
|[[Daniel Shanks]] eta [[John Wrench]]<ref name="We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program.2">{{cite journal|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-077/S0025-5718-1962-0136051-9/S0025-5718-1962-0136051-9.pdf|doi=10.2307/2003813|author=Daniel Shanks and John W Wrench|volume=16|pages=76–99 (78)|title=Calculation of Pi to 100,000 Decimals|year=1962|quote=We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program|journal=Mathematics of Computation|issue=77|jstor=2003813}}</ref>
|-
|1978
| align="right" |116.000
|[[Steve Wozniak]],  [[Apple II]] <ref>{{erreferentzia|izena=Steve|abizena=Wozniak|urtea=1981|izenburua=The Impossible Dream: Computing e to 116,000 Places with a Personal Computer|argitaletxea=BYTE|orrialdea=392|orrialdeak=|ISBN=|hizkuntza=}}</ref>konptagailu batekin
|-
|1994
| align="right" |10.000.000
|Robert Nemiroff eta Jerry Bonnell<ref>{{erreferentzia|izena=Nemiroff, Robert;|abizena=Bonnell, Jerry|urtea=|izenburua=The Number e to 1 Million Digits|argitaletxea=|orrialdea=|orrialdeak=|ISBN=|hizkuntza=}}</ref>
|-
|1997ko maiatza
| align="right" |18.199.978
|Patrick Demichel
|-
|1997ko abuztua
| align="right" |20.000.000
|Birger Seifert
|-
|1997ko iraila
| align="right" |50.000.817
|Patrick Demichel
|-
|1999ko otsaila
| align="right" |200.000.579
|Sebastián Wedeniwski
|-
|1999ko urria
| align="right" |869.894.101
|Sebastián Wedeniwski
|-
|1999ko azaroaren 21a
| align="right" |1.250.000.000
|[[:es:Xavier_Gourdon|Xavier Gourdon]]
|-
|2000ko uztailaren 10a
| align="right" |2.147.483.648
|Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
|-
|2000ko uztailaren 16a
| align="right" |3.221.225.472
|Colin Martin eta Xavier Gourdon
|-
|2000ko abuztuaren 2a
| align="right" |6.442.450.944
|Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
|-
|2000ko abuztuaren 16a
| align="right" |12.884.901.000
|Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
|-
|2003ko abuztuaren 21a
| align="right" |25.100.000.000
|Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
|-
|2003ko irailaren 18a
| align="right" |50.100.000.000
|Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon
|-
|2007ko apirilaren 27a
| align="right" |100.000.000.000
|Shigeru Kondo eta Steve Pagliarulo
|-
|2009ko maiatzaren 6a
| align="right" |200.000.000.000
|Shigeru Kondo eta Steve Pagliarulo
|-
|2010eko otsailaren 21a
| align="right" |500.000.000.000
|Alexander J. Yee
|-
|2010eko uztailaren 5a
| align="right" |1.000.000.000.000
|Shigeru Kondo eta Alexander J. Yee
|-
|2015eko ekainaren 24a
|1.400.000.000.000
|Matthew Hebert<ref>''A list of notable large computations of'' e</ref>
|-
|2019
| align="right" |8,000,000,000,000
|Gerald Hofmann
|}

=== Lehenengo ehun hamartarrak ===
<math>\text{e}</math> zenbakiaren lehenengo 100 hamartarrak ondorengoak dira:

: <math>\text{e} \approx 2,7182818284</math> <math>5904523536</math> <math>0287471352</math> <math>6624977572</math> <math>4709369995</math> <math>9574966967</math> <math>6277240766</math> <math>3035354759</math> <math>4571382178</math> <math>5251664274</math>

== e zenbakiaren inguruko auzi batzuk ==

* Ez dakigu e 10 oinarrian edo beste oinarriren batean normala den. Hau da, sistema hamartarraren hamar digituetako bakoitzak hedapen hamartar batean agertzeko probabilitate bera duen ala ez.
* Ez dakigu <math>\text{e}^e</math> traszendentea den.
* Ez dakigu <math>\pi+e</math> eta <math>\pi\cdot e</math> [[Zenbaki irrazional|irrazional]]<nowiki/>ak diren. Baina jakina da ez direla 9 baino txikiagoko maila duten eta 10<sup>9</sup>  ordenako koefiziente osoak dituzten polinomioen erroak.<ref>{{Erreferentzia|izena=David H.|abizena=Bailey|izenburua=Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, e, and Euler's Constant|orrialdeak=275|data=1988-01|url=https://www.jstor.org/stable/2007931?origin=crossref|aldizkaria=Mathematics of Computation|alea=181|zenbakia=50|doi=10.2307/2007931|sartze-data=2020-11-15}}</ref>

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia_zerrenda|2}}

== Ikus, gainera ==
* [[Eulerren identitate]].

== Kanpo estekak ==
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Konstanteak]]
[[Kategoria:Zenbaki irrazionalak]]
[[Kategoria:Zenbaki transzendenteak]]