Geometria analitiko-en iturria ikusi

'''Geometria analitikoa''' edo '''kartesiarra''' [[matematika]]ren adar bat da, eta irudiak, haien distantziak, azalerak, ebakitze-puntuak, inklinazio-angeluak, zatiketa-puntuak, bolumenak eta abar aztertzen ditu. Xehetasunez aztertzen ditu [[Irudi geometriko|irudi geometrikoen]] datuak, [[Analisi matematiko|analisi]] matematikoaren eta aljebraren oinarrizko tekniken bidez, [[Koordenatu sistema|koordenatu-sistema]] jakin batean. Haren garapen historikoa geometria kartesiarrarekin hasten da, [[Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gaussen]] [[Geometria diferentzial|geometria diferentzialaren]] agerpenarekin jarraitzen du, eta geroago [[Geometria aljebraiko|geometria aljebraikoaren]] garapenarekin segitzen du<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Ikastaroa: Geometria aljebraikoa [2012/05] [eus]|hizkuntza=eu|url=https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=56|aldizkaria=OCW|sartze-data=2022-12-31}}</ref>. Aplikazio ugari ditu, matematikatik eta ingeniaritzatik harago. Gaur egun, erabakiak hartzeko estrategien eta logistikaren plangintzan erabiltzen da.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Ikastaroa: Geometria Analitikoa eta Deskribatzailea [2017/11][eus]|hizkuntza=eu|url=https://ocw.ehu.eus/course/view.php?id=435|aldizkaria=OCW|sartze-data=2022-12-31}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Jaione|abizena=Abaurrea|izenburua=Matematikaren didaktika : estatistika eta geometria lehen hezkuntzako irakasleentzat|data=2018|url=https://www.worldcat.org/oclc/1117371206|isbn=978-84-8438-671-1|pmc=1117371206|sartze-data=2022-12-31}}</ref>
[[Fitxategi:Drini-conjugatehyperbolas.svg|thumb|Bi hiperbolaren eta haien [[Asintota|asintoten]] [[Funtzio baten irudikapen grafiko|grafikoa]].]]
Hauek dira [[geometria]] analitikoaren funtsezko bi alderdiak:

* Koordenatu-sistema baten [[Leku geometriko|leku geometrikoa]] kontuan hartuta, [[Ekuazio|ekuazioa]] lortzea.
* Koordenatu-sistema batean ekuazioa emanda, ekuazio hori betetzen duten puntuen grafikoa edo leku geometrikoa zehaztea.

Geometria analitikoak irudi geometrikoak <math>y = f(x)</math> ekuazioaren bidez adierazten ditu, non <math>f</math> [[Funtzio (matematika)|funtzio]] bat den. Horrela, [[Zuzen (geometria)|zuzenak]] <math>ax+by=c</math>  ekuazio orokorraren bidez adierazten dira, [[Zirkunferentzia|zirkunferentziak]] eta gainerako [[Koniko|konikoak]] 2. mailako ekuazio polinomiko gisa (zirkunferentzia, <math>x^2 + y^2 = 4</math>; [[hiperbola]] <math>xy = 1</math>).

== Historia ==

=== Antzinako Grezia ===
Menecmo matematikari [[Antzinako Grezia|grekoak]] problemak ebatzi eta teoremak frogatu zituen koordenatuen erabileraren oso antzekoa zen metodo bat erabiliz. Hori dela eta, geometria analitikoa sortu zuela esan izan da.<ref>{{Erreferentzia|izena=Carl B. (Carl Benjamin)|abizena=Boyer|izenburua=A history of mathematics|argitaletxea=New York : Wiley|data=1991|url=http://archive.org/details/historyofmathema00boye|isbn=978-0-471-54397-8|sartze-data=2022-12-12}}</ref>

[[Apolonio Pergakoa|Pergeko Apoloniok]], "''De Sectione Determinata"'' izeneko lanean, dimentsio bateko geometria analitiko dei dakiokeen moduan landu zituen problemak; zuzen batean besteen proportzioan zeuden puntuak aurkitzeko problemarekin aritu zen. Gainera, Apoloniok geometria analitikoaren oso antzekoa den metodo bat garatu zuen "''Conics"'' lanean. Hain da antzekoa, haren lanak Descartesen lanari 1800 urtez aurrea hartu ziola esan ohi dela. Erreferentzia-lerroak, diametroa eta tangentea erabili zituen gaur egun koordenatu-sistema erabiltzen den antzeko moduan; diametroan zehar tangentzia-puntutik neurtutako distantziak abzisak dira, eta ardatzaren eta kurbaren artean tangentearekiko paraleloak diren segmentuak ordenatuak dira. Gainera, abzisen eta dagozkien ordenatuen arteko erlazioak garatu zituen, kurben ekuazio erretorikoen (hitzetan adieraziak) baliokideak direnak. Hala ere, nahiz eta Apolonio geometria analitikoa garatzetik hurbil egon, ez zuen lortu, ez baitzituen kontuan hartu magnitude negatiboak. Koordenatu-sistema emandako kurba batean ''a posteriori'' gainjartzen zen, ''a priori'' egin beharrean. Hau da, ekuazioak kurben bidez zehaztuta zeuden, baina kurbak ez zeuden ekuazioen bidez zehaztuta. Koordenatuak, aldagaiak eta ekuazioak egoera geometriko jakin bati aplikatutako nozio lagungarriak ziren.

=== Persia ===
XI. mendeko [[Omar Khayam|Omar Jayam]] matematikari persiarrak harreman estua ikusi zuen geometriaren eta [[aljebra]]<nowiki/>ren artean, eta zuzen zebilen aljebra numerikoaren eta geometrikoaren arteko tartea osatzen lagundu zuenean ekuazio kubiko orokorren soluzio geometrikoarekin. Hala ere, urrats erabakigarria Descartesek eman zuen.<ref>{{Cite aldizkari|izenburua=Review: Omar Khayyam, the Mathmetician by R. Rashed, B. Vahabzadeh|orrialdeak=248–249|abizena1=Cooper|izena1=Glen M.|data=2003|kazeta=The Journal of the American Oriental Society|liburukia=123|alea=1}}</ref> Omar Jayami geometria aljebraikoaren oinarriak identifikatzea egozten zaio, eta geometria analitikoaren printzipioak ezarri zituen ''Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra y equilibrio'' (1070) liburua, gerora Europara iritsi zen matematika pertsiarren parte da.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Mathematical masterpieces : further chronicles by the explorers|argitaletxea=Springer|data=2007|url=https://www.worldcat.org/oclc/76935731|isbn=978-0-387-33060-0|pmc=76935731|sartze-data=2022-12-13}}</ref> Ekuazio aljebraikoen ikuspegi geometriko osoa dela eta, Jayam Descartesen aitzindaritzat har daiteke geometria analitikoaren asmakuntzan.<ref name="Cooper">Cooper, G. (2003). Journal of the American Oriental Society,123(1), 248-249.</ref> 

=== Mendebaldeko Europa ===
Geometria analitikoa [[René Descartes|René Descartesek]] eta [[Pierre de Fermat|Pierre de Fermatek]]<ref>{{Erreferentzia|izena=John|abizena=Stillwell|izenburua=Mathematics and its history|argitaletxea=Springer|data=2002|url=https://www.worldcat.org/oclc/47221914|edizioa=2nd ed|isbn=0-387-95336-1|pmc=47221914|sartze-data=2022-12-13}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Carl B.|abizena=Boyer|izenburua=History of analytic geometry|argitaletxea=Dover Publications|data=2004|url=https://www.worldcat.org/oclc/56317813|isbn=0-486-43832-5|pmc=56317813|sartze-data=2022-12-13}}</ref> modu independentean asmatu zuten, nahiz eta batzuetan asmakuntzaren ospea Descartesi ematen zaion.<ref>{{Erreferentzia|izena=Roger|abizena=Cooke|izenburua=The history of mathematics : a brief course|argitaletxea=Wiley|data=1997|url=https://www.worldcat.org/oclc/36461648|isbn=0-471-18082-3|pmc=36461648|sartze-data=2022-12-13}}</ref> ''Geometria kartesiarrak'', geometria analitikorako erabiltzen den beste terminoak, Descartesen izena darama.

Descartesek metodoetan aurrerapen nabarmena egin zuen ''La Géométrie'' izeneko saiakeran. Frantsesez idatzi zuen, bere ama-hizkuntza, eta 1637an argitaratu zen ''[[Metodoaren diskurtsoa]]'' lanarekin batera. ''La Géométrie'' saiakerak eta haren printzipio filosofikoek Europan [[Kalkulu (matematikaren adarra)|Kalkuluaren]] oinarriak finkatzen lagundu zuten. Hasieran, lana ez zen ondo hartu, argudioetan eta ekuazio konplexuetan hutsune asko zeudelako. [[Latin|Latinerara]] itzuli ondoren eta Frans van Schootenek 1649an iruzkinak gehitu eta beste lan batzuk egin ondoren, Descartesen maisulanak behar bezalako onarpena jaso zuen.<ref>{{Erreferentzia|izena=Victor J.|abizena=Katz|izenburua=A history of mathematics : an introduction|argitaletxea=Addison-Wesley|data=1998|url=https://www.worldcat.org/oclc/38199387|edizioa=2nd ed|isbn=0-321-01618-1|pmc=38199387|sartze-data=2022-12-13}}</ref>

Pierre de Fermat ere aitzindaria izan zen geometria analitikoaren garapenean. Bizi izan zen artean argitaratua izan ez zen arren, ''Ad locos plano et solidos isagoge'' (Leku lau eta solidoetarako sarrera) izeneko eskuizkribua ezaguna zen Parisen 1637an, Descartesen ''[[Metodoaren diskurtsoa]]'' argitaratu baino lehentxeago.<ref>Pierre de Fermat, ''Varia Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani'' (Toulouse, France:  Jean Pech, 1679), "Ad locos planos et solidos isagoge," [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k6213144d/f147.image.langEN pp.&nbsp;91–103.]</ref><ref>[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k56523g/f73.image.langEN "Eloge de Monsieur de Fermat"] (Eulogy of Mr. de Fermat), ''Le Journal des Scavans'', 9 February 1665, pp.&nbsp;69–72.  From p. 70:  ''"Une introduction aux lieux, plans & solides; qui est un traité analytique concernant la solution des problemes plans & solides, qui avoit esté veu devant que M. des Cartes eut rien publié sur ce sujet."''  (An introduction to loci, plane and solid; which is an analytical treatise concerning the solution of plane and solid problems, which was seen before Mr. des Cartes had published anything on this subject.)</ref> Argi idatzita eta ongi jasoa, ''Sarrerak'' geometria analitikorako oinarriak ere ezarri zituen. Fermaten eta Descartesen tratamenduen arteko diferentzia nagusia ikuspuntuan dago: Fermat beti ekuazio aljebraiko batekin hasten zen, eta, gero, ekuazio hori betetzen zuen kurba geometrikoa deskribatzen zuen; Descartes, aldiz, kurba geometrikoekin hasten zen, eta haien ekuazioak sortzen zituen kurben propietate moduan. Ikuspegi horren ondorioz, Descartesek ekuazio konplexuagoei aurre egin behar izan zien eta maila handiagoko ekuazio polinomikoekin lan egiteko metodoak garatu behar izan zituen. [[Leonhard Euler|Leonhard Eulerrek]] aplikatu zuen lehen aldiz koordenatuen metodoa, gainazal eta kurba espazialen azterketa sistematiko batean.

== Oinarrizko eraikuntzak ==
[[Koordenatu kartesiar|Koordenatu kartesiarren]] sistema batean, [[Plano|planoko]] [[Puntu (geometria)|puntu]] bat bi zenbakik zehazten dute: puntuaren ''[[Koordenatu kartesiar|abzisa]]'' eta ''[[Koordenatu kartesiar|ordenatua]]''. Prozedura horren arabera, planoko puntu orori beti bi [[zenbaki erreal]] ordenatu (abzisa eta ordenatua) dagozkio, eta, alderantziz, zenbakizko [[bikote ordenatu]] orori planoko puntu bakar bat dagokio. Ondorioz, sistema kartesiarrak kontzeptu geometriko baten (planoko puntua) eta [[Adigai|kontzeptu]] aljebraiko baten (zenbakizko bikote ordenatu) artean bana-banako korrespondentzia ezartzen du. Korrespondentzia hori geometria analitikoaren oinarria da.

Geometria analitikoari esker, irudi geometriko lauak bi ezezagun dituzten ekuazio eta inekuazioen bidez zehaztu daitezke. Problemak ebazteko beste metodo bat da, edo, gutxienez, problemari aurre egiteko ikuspuntu berri bat ematen digu.<ref>{{Erreferentzia|izena=F. Javier|abizena=Rodriguez de Abajo|izenburua=Geometria deskribatzailea. V. 1|argitaletxea=Universidad del País Vasco|data=1994-?|url=https://www.worldcat.org/oclc/1055081422|isbn=84-7585-572-5|pmc=1055081422|sartze-data=2022-12-31}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Román.|abizena=López Poza|izenburua=Geometria deskribatzailea : ebatzitako ariketak : sistema diedrikoa : (ihardurera zuzena)|argitaletxea=Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco = Euskal Herriko Unibertsitateko Argitalpen Zerbitzua|data=D.L. 1997|url=https://www.worldcat.org/oclc/433910092|isbn=84-7585-869-4|pmc=433910092|sartze-data=2022-12-31}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Manuel|abizena=Sada|izenburua=Matematika interaktiboak GeoGebra-rekin|argitaletxea=Eider Antxustegi-Etxartek eta Gemma Ucarrek euskaratuta|url=http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/euskaraz/index.htm|aldizkaria=docentes.educacion.navarra.es|sartze-data=2022-12-31}}</ref>

=== Puntu bat plano kartesiarrean kokatzea ===

==== Ardatzekiko distantzia gisa ====
[[Fitxategi:FuncionLineal00.svg|eskuinera|thumb|250x250px|Koordenatu-pareen bidez plano kartesiarrean kokatutako zortzi [[Puntu (geometria)|puntu]].]]
Plano batean (paper milimetratuan, adibidez) bi [[Zuzen erreal|zuzen]] marrazten dira, haien artean perpendikularrak direnak (ardatzak) —normalean, bietako bat horizontala eta bestea bertikala marrazten dira—, eta planoko puntu bakoitza puntutik ardatz bakoitzetara dagoen distantzien arabera zehaztuta geratzen da. Zeinuaren bidez adierazten da zuzen bakoitzak zehaztutako zein erdiplanotan neurtuko den distantzia. Zenbaki pare hori, [[Koordenatu sistema|koordenatuak]], <math>(x, y)</math> bikote ordenatu baten bidez adierazten da, <math>x</math> ardatz baterako distantzia izanik (normalean, ardatz bertikalera) eta <math>y</math> beste ardatzerako distantzia (horizontalera).   

<math>x</math> koordenatuan, zeinu positiboak distantzia ardatz horizontalean (abzisa) eskuinerantz hartzen dela  adierazten du, eta negatiboak aldiz, ezkerrerantz. <math>y</math> koordenaturako, zeinu positiboak distantzia ardatz bertikalean (ordenatua) gorantz hartzen dela adierazten du, eta negatiboak beherantz. Zeinu positiboak normalean ez dira jartzen, negatiboak aldiz beti jartzen dira. 

<math>x</math> koordenatuari puntuaren ''abzisa'' esaten zaio, eta <math>y</math> koordenatuari puntuaren ''ordenatua''. 

Beraz, abzisa-ardatzeko puntuen ordenatua <math>0</math> da eta puntuak <math>(x, 0)</math> formakoak dira; ordenatu-ardatzeko puntuen abzisa, aldiz, <math>0</math> da eta puntuak <math>(0, y)</math> formakoak dira.

Bi ardatzak gurutzatzen diren puntua <math>0</math> distantziara dago bi ardatzetatik; beraz, abzisa <math>0</math> da eta ordenatua ere <math>0</math>. Puntu hori <math>(0, 0)</math> puntua da eta koordenatu-jatorri deritzo.

==== Ardatzen gaineko proiekzio gisa ====
[[Fitxategi:Cartesian-coordinate-system.svg|eskuinera|thumb|238x238px|Hiru punturi (berdea, gorria eta urdina) esleitutako koordenatuak; ardatzen gaineko [[Proiekzio ortogonal|proiekzio ortogonalak]] koordenatu kartesiarrak dira.]]
Elkarren artean perpendikular diren bi zuzen orientatu (ardatz) hartzen dira, "x" eta "y", jatorri komuna dutenak bi zuzenen O ebaki-puntuan.

P puntu baten koordenatuak zehazteko, zera egin behar da:

P puntutik pasatzen diren eta ardatzekiko perpendikularrak diren zuzenak egiten dira. Ardatz bakoitzarekin ebaki-puntu bat lortzen da: P' (''x'' ardatzean) ''eta'' P<nowiki>''</nowiki> (y ardatzean).

Bi puntu horiek P puntuaren proiekzio ortogonalak dira ''x'' eta y ardatzetan.

P' eta P<nowiki>''</nowiki> puntuek jatorrira duten distantzia zenbaki batez adierazten da. P' puntua O-ren ezkerrean badago, zenbaki hori negatiboa da. Modu berean, P<nowiki>''</nowiki> puntua O puntuaren azpitik badago, zenbaki hori negatiboa da.

P<nowiki>' eta P''</nowiki> puntuekin erlazionatutako zenbaki horiek, ordena horretan, P puntuaren koordenatuen balioak dira.

1. adibidea: P' puntua O-ren eskuinaldean dago, 2 unitateko distantziara. P<nowiki>''</nowiki> puntua O-tik gora dago, 3 unitateko distantziara. Beraz, P-ren koordenatuak (2, 3) dira.

2. adibidea: P' puntua O-ren eskuinean dago, 4 unitate.  P<nowiki>''</nowiki> puntua O-tik behera dago, 5 unitate. Beraz, P-ren koordenatuak (4, -5) dira.

3. adibidea: P' puntua O-ren ezkerraldean dago, 3 unitate. P<nowiki>''</nowiki> puntua O-tik behera dago, 2 unitate. Beraz, P-ren koordenatuak (-3, -2) dira.

4. adibidea: P' puntua O-ren ezkerraldean dago, 6 unitate. P<nowiki>''</nowiki> puntua O-tik gora dago, 4 unitate. Beraz, P-ren koordenatuak (-6, 4) dira.

=== Zuzenaren ekuazioak planoan ===
{{Nagusia|Funtzio lineal}}Zuzena honako baldintza betetzen duten planoko puntuen leku geometrikoa da: edozein bi puntu hartuta, maldaren kalkulua konstantea da beti.

Zuzenaren ekuazio orokorra honako hau da:

<math> Ax+By+C=0 \,</math>

non malda m = -A/''B'' den, eta jatorrirako ordenatua b = -C/B den.

Planoko zuzen bat horrelako [[funtzio lineal]] baten bidez adierazten da:{{Ekuazio|<math>y = m x + b \,</math>||left}}Adierazpen orokor gisa, funtzio horri puntu-[[Malda (geometria)|malda]] ekuazioa deitzen zaio. Bi kasu partikular bereiz daitezke. Zuzen batek ardatzetako bat ebakitzen ez badu, ardatzarekiko paraleloa delako izango da. Bi ardatzak perpendikularrak direnez, bietako bat mozten ez badu, bestea nahitaez moztu behar du (funtzioa jarraitua bada zenbaki erreal guztietarako). Hiru kasu daude:

<gallery caption="Zuzenaren ekuazioak planoan" widths="220px" heights="200px">
Fitxategi:FuncionLineal04.svg|Zuzen zeihar
Fitxategi:FuncionLineal06.svg|Zuzen horizontal
Fitxategi:FuncionLineal07.svg|Zuzen bertikal
</gallery>

* '''Zuzen bertikalek''' ez dute ordenatu-ardatza ebakitzen eta ardatz horrekiko paraleloak dira; ''zuzen bertikal'' deritze. Abzisa-ardatzarekin <math>(x_0,0)</math> puntuan dute ebaki-puntua. Zuzen horien ekuazioa honakoa da:

: <math>x = x_0 \,</math>

* '''Zuzen horizontalek''' ez dute abzisa-ardatza ebakitzen eta, beraz, ardatz horrekiko paraleloak dira; [[Funtzio konstante|zuzen horizontal]] deritze. Ordenatu-ardatzarekin .<math>(0,y_0)</math> puntuan dute ebaki-puntua. Zuzen horien ekuazioa honakoa da:

: <math>y = y_0 \,</math>

* Beste edozein zuzen motari '''zuzen zeihar''' deritzo. Abzisa-ardatzarekin <math>(a,0)</math> ebakitze-puntua dute eta ordenatu-ardatzarekin <math>(0,b)</math>. <math>a</math> balioak '''abzisa jatorrian''' izena hartzen du, eta <math>b</math> balioak '''ordenatua jatorrian'''.
{{Clear}}

=== Sekzio konikoak ===
{{Nagusia|Koniko}}
[[Fitxategi:Conic_sections_2n.png|eskuinera|thumb|300x300px|Pl'''a'''no '''b'''aten eta kono baten arteko ebakiduraren hiru adibideak: parabola (A), elipsea (B) eta hiperbola (C).]]

[[Kono]] baten gainazalaren eta [[plano]] baten arteko ebakiduraren ondorioz, [[Koniko|sekzio koniko]] deritzenak sortzen dira: [[Parabola (matematika)|parabola]], [[Elipse|elipsea]] ([[zirkunferentzia]] elipse kasu berezi bat da) eta [[hiperbola]].<ref>{{Erreferentzia|abizena=u/alazne+z|izenburua=konikak|hizkuntza=eu|data=2017-04-04|url=https://www.geogebra.org/m/c4DPyWD2|aldizkaria=GeoGebra|sartze-data=2022-12-13}}</ref>

* [[Parabola (matematika)|Parabola]] foku izeneko puntu finko batetik eta zuzentzailea izeneko zuzen finko batetik distantzia berera dauden puntu guztien leku geometrikoa da.

Abzisa-ardatzarekiko paraleloa den simetria-ardatza duen parabola bat (A irudia) ekuazio honen bidez adierazten da:{{Ekuazio|<math>y = a x^2 + bx + c \,</math>||left}}

* [[Elipse|Elipsea]] honako baldintza betetzen duten puntuen leku geometrikoa da: foku izeneko bi puntu finkotarako distantzien batura konstante positibo bat da beti, eta erpinen arteko distantziaren berdina.

''A''rdatzetan zentratuta dagoen eta ardatzerdien luzerak a eta b dituen elipsea ('''B''' irudia), horrela adierazten da:{{Ekuazio|<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \,</math>||left}}

* Bi ardatzak berdinak badira eta ''c'' izendatzen baditugu:
{{Ekuazio|<math>\frac{x^2}{c^2} + \frac{y^2}{c^2} = 1 \,</math>||left}}

: emaitza zirkunferentzia bat da:
{{Ekuazio|<math>x^2 + y^2 = c^2 \,</math>||left}}

* [[Hiperbola]] honako baldintza betetzen duten puntuen leku geometrikoa da: foku izeneko bi puntu finkotara duten distantzien kenketaren balio absolutua konstante positibo bat da beti, eta erpinen arteko kenketaren berdina.

Hiperbola (C irudia) horrela adierazten da:{{Ekuazio|<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>||left}}

<gallery caption="Sekzio konikoak" widths="220px" heights="200px">
Fitxategi:Parábolas_centradas.svg|y=ax2 motako parabolak, a=4, 1, 1/4 ''eta'' 1/10 izanik
Fitxategi:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg|jatorrian zentratutako [[zirkunferentzia]] eta bere [[Ekuazio|ekuazioa]]
Fitxategi:Función_Continua_033.svg|xy=1 [[hiperbola]]
</gallery>

==== Adierazpen aljebraikoa ====
[[Koordenatu kartesiar|Koordenatu kartesiarretan]], konikak forma [[Aljebra|aljebraikoan]] adierazten dira, honako forma duten (x,y) bi aldagaiko [[Bigarren mailako ekuazio|ekuazio koadratikoen]] bidez:

: <math>ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \,</math>

Parametroen balioen arabera, zera lortuko da:

: h²–ab: hiperbola.

: h² = ab: parabola.

: h²’ab: elipsea.

: a = b eta ''h'' = 0: zirkunferentzia.

=== Funtzio trigonometrikoak ===
{{Nagusia|Trigonometria}}{{Nagusia|Funtzio trigonometriko}}
[[Fitxategi:Función_Trigonométrica_R333.svg|erdian|thumb|650x650px|Funtzio trigonometrikoen adierazpen grafikoa [[Koordenatu kartesiar|koordenatu kartesiarren]] sistema batean.]]

=== Eraikuntzak hiru dimentsioko espazioan ===
{{Nagusia|Koadrika}}
[[Fitxategi:Ellipsoide.png|thumb|250x250px|[[Elipsoide|Elipsoidea]].]]
Modu berean arrazonatuz, ardat''z'' koordenatuak eraiki daitezke [[Espazio|espazioko]] puntu baterako eta zenbakien hirukote ordenatu baterako. Horretarako, ''X'' ''eta'' Y ardatzekiko perpendikularra den hirugarren zuzen bat sartu besterik ez da egin behar: Z ardatza.<ref>{{Erreferentzia|abizena=SVadmin|izenburua=Zeintzuk dira geometria espazialaren ezaugarriak?|hizkuntza=eu|data=2021-07-16|url=https://planetariodevitoria.org/eu/izarrak/zeintzuk-diren-geometria-espazialaren-ezaugarriak.html|aldizkaria=Blog espacial|sartze-data=2022-12-31}}{{Apurtutako esteka|date=ekaina 2024 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>



Hala ere, zuzen baten maldaren kontzeptuaren parekorik ez dago. Horrelako ekuazio lineal bakar batek:{{Ekuazio|<math>\,ax + by + cz = 0</math>||left}}espazioan [[plano]] bat adierazten du. Hiru dimentsioko espazioan zuzen bat ekuazioen bidez adierazi nahi bada, aurrekoa bezalako bi ekuazio lineal zehaztu behar ditugu. Izan ere, zuzenak bi planoren ebakidura gisa idatz daiteke. Hala, zuzen bat espazioan horrela adieraz daiteke:{{Ekuazio|<math>\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1\\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \end{cases}</math>||left}}Kontuan hartu behar da aurreko adierazpena ez dela bakarra, zuzen bera plano-bikote desberdinen ebakidura moduan adieraz baitaiteke. 

== Geometria analitikoaren sailkapena geometriaren barruan ==
[[Felix Klein|Kleinen]] geometrien sailkapenaren ikuspegitik (Erlangenen Programa), geometria analitikoa berez ez da geometria bat.

Ikuspuntu didaktikotik, geometria analitikoa ezinbesteko zubia da [[Geometria euklidear|geometria euklidearraren]] eta [[Matematika|matematikaren]] eta [[Geometria|geometriaren]] beraren beste adar batzuen artean, hala nola [[Analisi matematiko|analisi matematikoa]] bera, [[Aljebra lineal|aljebra lineala]], geometria afina, [[Geometria diferentzial|geometria diferentziala]] edo [[Geometria aljebraiko|geometria aljebraikoa]].

[[Fisika|Fisikan]], koordenatu-sistemak erabiltzen dira [[Higidura|mugimenduak]], [[Bektore (matematika)|bektoreak]] eta bestelako magnitudeak adierazteko.

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia_zerrenda|30em}}

== Ikus, gainera ==
* [[René Descartes]]

== Kanpo estekak ==

* [https://www.geogebra.org/geometry GeoGebra Geometria]
* [https://www.geogebra.org/graphing GeoGebra Kalkulagailu Grafikoa]
* {{en}} [https://mathworld.wolfram.com/topics/Geometry.html Wolfram MathWorld, Geometry]
* {{en}} [https://www.mathopenref.com/index.html Math Open Reference]
* {{en}} [https://www.wolframalpha.com/ Wolfram Alpha OnLine] Tresna erabiltzeko [https://drive.google.com/file/d/19KziHYyj7j2q76ySD71SB4hJmTwGsfX4/view apunteak] eta [https://drive.google.com/file/d/1otSRMWFBmzugKqXOfpHUEBUO2_8EWAAm/view ariketak] euskaraz  
* {{es}} [https://es.wikipedia.org/wiki/Portal:Matem%C3%A1tica Portal de Matemática]
* {{en}} [https://web.archive.org/web/20090221182244/http://mygeometryteacher.com/ Support tools for solving Analytic Geometry exercises]

{{Autoritate kontrola}}

[[Kategoria:René Descartes]]
[[Kategoria:Geometria analitikoa]]