Leunketa esponentzial-en iturria ikusi

[[Fitxategi:Wygladzanie wykladnicze.svg|thumb|300px|'''Leunketa esponentziala''' [[denbora serie]] bat leundu eta epe laburreko [[aurresan]]ak egiteko erabiltzen da. Irudian (x ardatza: denbora; y ardatza: seriea) puntu gorriek eta lerro urdinak serie historikoa eta horren leunketa esponentziala adierazten dituzte: leunketa esponentziala aurreko balio guztiak haztatzen ditu balio leundua finkatzeko.]]

'''Leunketa esponentziala''' [[denbora-serie]]etako datu historikoetan oinarrituta [[epe labur, epe luze|epe laburrerako]] [[aurresan]]ak egiteko teknika estatistikoen multzo bat da, jasotako [[datu (argipena)|datu]] historikoetatik abiaturik errepikapenezko formulak erabiltzen dituena, horretarako parametro batzuk finkatu ondoren. Bere bertsio sinpleenean, [[batezbesteko higikor]]ra besterik ez da baina datu historikoak zenbat atzerago izan orduan eta eta neurri txikiagoan [[haztapen (prozedura kuantitatiboa)|haztatu]] egiten dituena. ''Esponentzial'' adjektiboak datu historikoei denboran atzera joan ahala eta [[funtzio esponentzial]]aren arabera gero eta garrantzi edo pisu txikiagoa ematen zaiela adierazten du. Bere abantaila nagusia sinpletasuna da: kalkuluaren aldetik teknika errazak dira, ezarri beharreko parametroak eta eskuratzen diren emaitzak aise interpretatzen dira eta datu kopuru txikiekin ere erabil daiteke. Leunketa esponentziala datu historikoetan bakarrik oinarritzen da eta aurrez ez du datuei buruz inongo [[eredu (argipena)|eredu]] estatistikorik ezartzen, denbora serieei aplikatzen zaizkien eredu batzuetarako emaitzak hobezinak direla frogatu bada ere. Bhear bezala aplikatuz gero, emaitzak eta aurresanak fidagarriak direla egiaztatu da.<ref name=gardner1985>{{en}} {{Erreferentzia
|izenburua=Exponential Smoothing: The State of the Art
|izena=Everette S.
|abizena=Gardner
|urtea=1985
|egunkaria=Journal of Forecasting
|url=http://www.bauer.uh.edu/gardner/Exp-Sm-1985.pdf}}</ref>

Leunketa esponentzialeko teknikak denbora-seriearen izaerara egokitzen dira. Bertsio sinpleenean, leunketa esponentzial sinplea [[joera (denbora serieak)|joera]] eta [[urtarokotasun]]ik gabeko serieetarako erabiltzen da. Leunketa esponentzialeko teknika konplexuagoak asmatu dira, joera lineal eta ez-lineal kontuan hartu eta urtarokotasuna era batukorrean eta biderkakorrean gaineratzen dutenak, horretarako leunketa anizkoitzak burutuz joera eta urtarokotasun osagaietarako. Leunketa esponentziala epe laburraz haraindi egokiagoa izan dadin, joera ''moteldu'' egiten duten parametroak ere barneratu daitezke.

== Leunketa esponentzial sinplea ==

<math>x_t</math> ''t'' aldiko datu historiko edo erreala eta <math>s_t</math> t aldiko leunketaren emaitza izanik, ikertzaileak finkatzen duen <math>0 < \alpha < 1</math> ''leunketa parametro'' baterako, honako hau da leunketa esponentzial sinplearen errepikapen-formula, aurreko leunketa-baliotik leunketa balioak ''eguneratu'' edo berritu egiten dituena:

:<math>s_t = \alpha x_{t} + (1-\alpha)s_{t-1}</math>

Leunketa abiarazten duen ''s<sub>0</sub>'' hasierako leunketa-balioa finkatzeko, datu historiko guztien batezbestekoa <ref name=gardner1985/>edo serieko lehenengo balioen batezbestekoa<ref>{{en}} {{Erreferentzia
|izena1=Edward A.
|abizena1=Silver
|izena2=David F.
|abizena2=Pyke
|izena3=Rein
|abizena3=Peterson
|izenburua=Inventory Management and Production Planning and Scheduling
|url=https://archive.org/details/inventorymanagem00silv
|orrialdea=[https://archive.org/details/inventorymanagem00silv/page/91 91]
|urtea=1998}}</ref> eta serie historikoko lehen balioa <ref>{{en}} {{Erreferentzia
|izena=Surendra
|abizena=Gupta
|izenburua=Adaptive Response Rate Exponential Smoothing
|orrialdea=24
|url=http://es.scribd.com/doc/52194214/20/Adaptive-Response-Rate-Exponential-Smoothing}}</ref> (aurreragoko adibidean erabiltzen dena) proposatu dira.

Eskubiko adierazpeneko <math>s_{t-1}</math> leunketa-balioetarako formula aplikatuz:

:<math>s_{t-1} = \alpha x_{t-1} + (1-\alpha)s_{t-2}</math>
:<math>s_{t-2} = \alpha x_{t-2} + (1-\alpha)s_{t-3}</math>
:<math>\ldots\ldots\ldots\ldots</math>

eta lehenengo formulan ordeztuz, leunketa-balioetarako formula hau eskuratzen da:

:<math> s_t = \alpha x_t + \alpha (1- \alpha ) x_{t-1} + \alpha (1- \alpha )^2 x_ {t-2} + ... + \alpha (1- \alpha )^{t-1} x_1 + \alpha (1- \alpha )^{t} x_0</math>

:<math> = \alpha \sum_{i=0}^{t-1}{(1- \alpha )^i x_{t-i}}+ \alpha (1- \alpha )^{t} x_0</math>

[[Fitxategi:Leunketa esponentziala 0002.png|thumb|eskuinera|450px|'''Leunketa esponentzialerako haztapenak serie historikoan''': leunketa esponentzialean, serie historikoko balioak α, α(1-α)<sup>2</sup>, α(1-α)<sup>3</sup>, ... koefiziente beherakorren arabera (0<α<1) haztatzen dira leunketa balioa [[batezbesteko]] batez kalkulatzean; α handia denean (gorriz), azken balioari haztapen handia ematen zaio eta beraz, hori kontuan hartzen da batezbestekoa kalkulatzean; α txikia denean (urdinez), berriz, azken balioak haztapen handienekoa izan arren, ez da besteak baino askoz ere nuerri handiagoan haztatzen.]]

Era horretan, leunketa esponentziala [[batezbesteko aritmetiko haztatu]] moduan agertzen da, non datu historikoei ematen zaizkien haztapenek [[progresio geometriko|segida geometriko]] bati jarraitzen dioten. Segida geometriko bat [[funtzio esponentzial]]aren bertsio diskretua delako ematen zaio ''leunketa esponentzial'' izena. Ohartzekoa da haztapen-koefiziente horiek gero eta txikiagoak direla, datuetan zenbat eta atzerago joan: datu berriak zaharrak baino neurri handiagoan haztatu edo kontuan hartzen dira.

=== Aurresanak ===

Leunketa esponentziala aurresanerako erabiltzen denean, ''t+1'' aldirako <math>\hat{x}_{t+1}</math> aurreikuspen moduan ''t'' aldiko leunketaren emaitza ezartzen da:

:<math>\hat{x}_{t+1}=s_t</math>

Eskuarki, etorkizuneko aurresanetarako ere kalkulaturiko azken leunketa balioa hartzen da:

:<math>\hat{x}_{t+k}=s_t\ ,\ t=1,2,\ldots</math>.

Aurreko adierazpen honetatik leunketa esponentziala honela ere adieraz daiteke, aurresana egitean sortzen den errorea erabiliz:

:<math>\hat{x}_{t+1}=s_t =\alpha \cdot x_{t} + (1-\alpha) \cdot s_{t-1}=</math>
:<math>=\alpha \cdot x_{t} + (1-\alpha) \cdot \hat{x}_{t}=</math>
:<math>=\hat{x}_{t} + \alpha \cdot (x_t-\hat{x}_{t})=</math>
:<math>=\hat{x}_{t} + \alpha \cdot e_t</math>

Horrela, leunketa esponentzialaren arabera hurrengo aldirako aurresana aurreko aurresanean bertan sortutako errorearen zati bat gehituz kalkulatzen da.<ref>{{en}} {{Erreferentzia
|izena1=Cheng F.
|izena2=John C.
|izena3=Alice C.
|abizena1=Lee
|abizena2=Lee
|abizena3=Lee
|izenburua=Statistics for Business and Financial Economics
|urtea=2000
|orrialdea=871
|url=http://books.google.es/books?id=hnT5hL5YdCYC&printsec=frontcover&hl=es&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false}}</ref>

=== α leunketa parametroaren interpretazioa eta finkapena ===

α leunketa parametroa [0,1] tarteko balioak hartzen dituen balio bat da, subjektiboki aukeratu edo optimotasun-irizpide bati jarraiki finkatzen dena. Zenbat eta txikiagoa izan, leunketa orduan eta nabarmenagoa da, hau da, joerarik gabeko denbora-serie batek erakuts ditzakeen gorabehera puntualak nabariago leundu eta joera orduan eta era garbiagoan azalaraziko du. Leunketa parametroa handia denean, berriz, leunketaren balioak azken behaketa edo datuen mendean geratzen dira neurri handiago batean eta horrenbestez nabarmenago islatuko dira gorabehera puntualak leunketaren seriean. Adibidez, α>0.9 balioak erabiltzen direnean, leunketa balioek denbora seriea atzerapen txiki batez ia errepikatu besterik ez dute egiten.

Aurresanei dagokienean, α balioa handia denean, erabiltzailea bereziki azken balioetan oinarritzen da bere aurresanak egiteko; α balio txikietarako, aitzitik, serieko balio guztiak modu orekatuago batez hartzen ditu kontuan, leunketa esponentzialean zenbat eta atzerago joan, haztapenak orduan eta txikiagoak direla kontuan harturik betiere. Adibidez, salmenten aurresanak egiteko erabiltzen dituen saltzaile batek, α handia finkatuko du, bereziki azken egunetako salmentei begiratzen badie; atzerago joan eta aspaldiko salmentak ere hartzen baditu kontuan, α txikia finkatu beharko du.

Horrela, α balioa finkatzeko irizpide nagusiak seriearen egonkortasunari erreparatzen dio: seriea egonkorra bada eta aparteko aldaketarik izaten ez badu, α txikia finkatu behar da. Berriz, seriearen parametroak maiz aldatzen badira, egokiagoa izango da α balio handia finkatzea, aldaketei azkar erantzuteko aurresanetan. Balioa noiz den txikia edo handia zehaztearren, α parametroarako gehienetan erabiltzen diren balioak 0.01-0.30 bitartekoak izaten direla aipatu da, 0.1 balioaren inguruko parametroa ohikoa izanik. <ref>{{en}} {{Erreferentzia
|izena1=Edward A.
|abizena1=Silver
|izena2=David F.
|abizena2=Pyke
|izena3=Rein
|abizena3=Peterson
|izenburua=op. cit.
|orrialdeak=106-107
|urtea=1998}}</ref>

Irizpide orokor horiek zehaztearren, serieko ''[[ex ante eta ex post|ex post]]'' edo atzerako aurresanetarako doitasun-neurriak erabili dira leunketa-parametroak finkatzeko, hala nola [[batez besteko errore koadratiko|batezbesteko errore koadratikoa]],

:<math>\text{BEK}=\frac{\sum_te_t^2}{n}=\frac{\sum_t(x_t-\hat{x}_t)^2}{n} \,</math>,

eta [[batezbesteko errore absolutu]]a

:<math>\text{BEA}=\frac{\sum_t|e_t|}{n}=\frac{\sum_t|x_t-\hat{x}_t|}{n} \,</math>.

Hala ere, nabarmendu behar da neurri hauek minimotuz eskuratzen diren α parametro balioak ''ex post'' aurresanen doitasuna soilik neurtzen dutela eta ondorioz ez dutela ziurtatzen ''ex ante'' edo ondorengo aurresanen doitasuna.<ref>{{es}} {{Erreferentzia
|izenburua=Metodología para la selección del parámetro alpha en el modelo de Suavización Exponencial: Un enfoque empírico
|izena1=Carlos A.
|abizena1=Castro Zuluaga
|izena2=Sara C.
|abizena2=Botero Escobar
|urtea=2012
|url=http://www.laccei.org/LACCEI2012-Panama/StudentPapers/SP130.pdf}}</ref><ref name=gardner1985/>

Beste alde batetik, froga daiteke leunketa esponentziala ''α=1-d'' parametroa <math>S=\sum_{j=0}^{\infty}d^{j+1}(x_{t-j}-s_t)^2</math> adierazpena minimotzen duen balioa dela.<ref>{{en}} {{Erreferentzia
|izena1=Edward A.
|abizena1=Silver
|izena2=David F.
|abizena2=Pyke
|izena3=Rein
|abizena3=Peterson
|izenburua=op. cit.
|orrialdea=134
|urtea=1998}}</ref>

=== Adibidea ===

Honako taula honetan serie historiko bateko datuetarako bi leunketa esponentzial, leunketa parametro banarekin, zehazten dira, dagozkien aurresanekin batera. Eskubian, leunketaren abiarazpena eta lehenengo leunketa-balioen eta aurresanen kalkulua azaltzen da:

{{Col-begin|width=100%}}
{{Col-break|width=50%}}

{| class="taulapolita"
! rowspan=2 align="center"| <small>Denbora 

(<math>t</math>)</small>
! rowspan=2 align="center"| <small>Serie historikoa 

(<math>x_t</math>)</small>
! colspan=2 align="center"| <math>\alpha=0.3</math>
! colspan=2 align="center"| <math>\alpha=0.8</math>
|-
! align="center"| <small>Leunketa balioak 

(<math>s_t</math>)</small>
! align="center"| <small>Aurresanak 

(<math>\hat{x}_t</math>)</small>
! align="center"| <small>Leunketa balioak 

(<math>s_t</math>)</small>
! align="center"| <small>Aurresanak 

(<math>\hat{x}_t</math>)</small>
|-
| align="center"| 0
| align="center"| 14
| align="center"| 14
| align="center"| -
| align="center"| 14
| align="center"| -
|-
| align="center"| 1
| align="center"| 12
| align="center"| 13.40
| align="center"| 14
| align="center"| 12.40
| align="center"| 14
|-
| align="center"| 2
| align="center"| 13
| align="center"| 13.28
| align="center"| 13.40
| align="center"| 12.88
| align="center"| 12.40
|-
| align="center"| 3
| align="center"| 15
| align="center"| 13.80
| align="center"| 13.28
| align="center"| 14.58
| align="center"| 12.88
|-
| align="center"| 4
| align="center"| 14
| align="center"| 13.86
| align="center"| 13.80
| align="center"| 14.12
| align="center"| 14.58
|-
| align="center"| 5
| align="center"| 22
| align="center"| 16.30
| align="center"| 13.86
| align="center"| 20.42
| align="center"| 14.12
|-
| align="center"| 6
| align="center"| 13
| align="center"| 15.31
| align="center"| 16.30
| align="center"| 14.48
| align="center"| 20.42
|-
| align="center"| 7
| align="center"| 14
| align="center"| 14.92
| align="center"| 15.31
| align="center"| 14.10
| align="center"| 14.48
|-
| align="center"| 8
| align="center"| 12
| align="center"| 14.04
| align="center"| 14.92
| align="center"| 12.42
| align="center"| 14.10
|-
| align="center"| 9 (etorkizuna)
| align="center"| -
| align="center"| -
| align="center"| 14.04
| align="center"| -
| align="center"| 12.42
|-
| align="center"| 10 (etorkizuna)
| align="center"| -
| align="center"| -
| align="center"| 14.04
| align="center"| -
| align="center"| 12.42
|-
| align="center"| <math>\cdots</math>
| align="center"| -
| align="center"| -
| align="center"| 14.04
| align="center"| -
| align="center"| 12.42
|-
|}
{{Col-break|width=50%}}



<math>\text{Abiarazpena:}\ s_0=x_0=14</math>

<math>\text{Parametroa:}\ \alpha=0.3</math>


<math>s_1=\alpha x_1 + (1-\alpha)s_0=0.3 \times 12 + 0.7 \times 14=13.40;</math>

<math>\hat{x}_1=s_0=14</math>


<math>s_2=\alpha x_2 + (1-\alpha)s_1=0.3 \times 13 + 0.7 \times 13.40=13.28;</math>

<math>\hat{x}_2=s_1=13.40</math>


<math>s_3=\alpha x_3 + (1-\alpha)s_2=0.3 \times 15 + 0.7 \times 13.28=13.80;</math>

<math>\hat{x}_3=s_2=13.28</math>


<math>\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots</math>

{{Col-break}}
{{Col-end}}

[[Fitxategi:Leunketa esponentziala 0001.png|thumb|erdian|400px|Serie historikoa (beltzez) eta horren gainean egindako leunketa esponentziala bi, parametro desberdinekin. Berdez agertzen den leunketa α parametro txiki batekin dago, azken balioei haztapen gutxiago ematen diena; horregatik, muturrekotzat jo daitekeen 22 balioa gertatzean, ondorengo leunketa balioek ez dute horren eragina nabarmenki jasotzen. Gorriz agertzen den leunketa α parametro handi batekin burutu da eta beraz, azkenik gertatzen diren balioak nabarmenago jasotzen ditu, 22 balioaren kasuan ikus daitekeen bezala, baina joera ez du hain garbiro azalarazten. Beste alde batetik, leunketa esponentzialak serie historikoarekiko duen atzerapena ere ikus daiteke.]]

== Leunketa moldatzaileak ==

Oinarrizko formuletan α parametroa konstantea bada ere, serie historikoaren bilakaerara eta aldiro sortutako aurresanen errorera egokitu edo moldatu asmoz parametroaren balioa aldi batetik bestera aldatzen duten ''leunketa modatzaileak'' ere proposatu dira. α parametro moldatzaileak ezartzeko irizpideak arrazoizkoak izan arren, leunketa moldatzaileak ez dira beti parametro finkoko leunketak baino hobeak. Areago, kasu batzuetan aurresanetan desegonkortasunak sortzen dituztela egiaztatu da.<ref>{{en}} {{Erreferentzia
|izena1=Edward A.
|abizena1=Silver
|izena2=David F.
|abizena2=Pyke
|izena3=Rein
|abizena3=Peterson
|izenburua=op. cit.
|orrialdeak=120-121
|urtea=1998}}</ref>

Gehien erabiltzen den leunketa moldatzaileak parametro finkoko leunketaren formulak erabiltzen ditu, baina α parametro finkoaren ordez aldiro aldatzen den α<sub>t</sub> parametroa ezarriz:<ref>{{en}} {{Erreferentzia
|izena=James W.
|abizena=Taylor
|izenburua=Smooth Transition Exponential Smoothing
|url=http://users.ox.ac.uk/~mast0315/STES.pdf
|urtea=2004
|egunkaria=Journal of Forecasting}}</ref>

:<math>\alpha_t=\Bigg\vert\frac{A_t}{M_t}\Bigg\vert</math>

:<math>A_t=\phi e_t+(1-\phi)A_{t-1}</math>

:<math>M_t=\phi |e_t|+(1-\phi)M_{t-1}</math>

<math>\phi</math> parametroaren ohiko balioa 0.2 da baina erabiltzaileak beste balio bat finka dezake.

Moldaketak aurresanen erorrearen bilakaera eta horretan sor daitezkeen alborapena edo errore sistematikoa hautematen duten [[seinaleen jarraipen]] batean oinarritzen dira gehienetan: arestiko prozeduran <math>A_t</math> balioak dira aurresanetan burutzen den errore sistematikoa adierazten dutenak.

== Leunketa esponentzialerako metodo estandarrak ==

Leunketa esponentzial sinplea joerarik gabeko serieetarako erabiltzen da soilik. Horretaz gainera, [[joera (denbora serieak)|joera]] eta [[urtarokotasun]]a kontuan hartzen duten leunketa metodoak ere garatu dira. Metodo guztiak bateratzen dituen nomenklatura hau garatu da, leunketak barnehartzen dituen denbora-osagaien eta horien izaeraren arabera:<ref>{{en}} {{Erreferentzia
|izenburua=A state space framework for automatic forecasting using exponential smoothing methods
|izena1=Rob J.
|abizena1=Hyndman
|izena2=Anne B.
|abizena2=Koehler
|izena3=Ralph D.
|abizena3=Snyder
|izena4=Simone
|abizena4=Grose
|egunkaria=International Journal of Forecasting
|urtea=2002
|url=http://www.forecasters.org/pdfs/ijf/HKSG.pdf}}</ref>

:{| class="taulapolita"
! rowspan=2 align="center" | Joera osagaia
! colspan=3 align="center" | Urtarokotasuna
|-
! align="center" | Ez ({{en}} ''none'')
! align="center" | Batukorra ({{en}} ''additive'')
! align="center" | Biderkakorra ({{en}} ''multiplicative'')
|-
! align="center" | Ez ({{en}} ''none'')
| align="center" | NN
| align="center" | NA
| align="center" | NM
|-
! align="center" | Batukorra ({{en}} ''additive'')
| align="center" | AN
| align="center" | AA
| align="center" | AM
|-
! align="center" | Biderkakorra ({{en}} ''multiplicative'')
| align="center" | MN
| align="center" | MA
| align="center" | MM
|-
! align="center" | Batukor moteldua ({{en}} ''damped additive'')
| align="center" | DAN
| align="center" | DAA
| align="center" | DAM
|-
! align="center" | Biderkakor moteldua ({{en}} ''damped multiplicative'')
| align="center" | DMN
| align="center" | DMA
| align="center" | DMM
|-
|}

Joera batukorra denean, beste denbora osagaiekin duen elkarregintza modu batukorrean gertatzen dela (hau da, balio bat gehituz) esan nahi du. Biderkakorra denean, berriz, elkarregintza hau modu biderkakorrean gertatzen dela esan nahi du (balio bat bidertuz). Joera motelduko leunketa esponentziala joera iraunkorra ez denean eta aurresanak epe laburraz haraindi egiten direnean da egokia. Zehatzago, oraingo unetik aldendu ahala, gaineratzen den joera osagaia aldatzen da, <math>\phi</math> parametro baten arabera: <math>0<\phi<1</math> ezartzen bada, joera osagaia moteltzen doa; <math>\phi>1</math> denean, berriz, joeraren hazkundea esponentziala da. Urtarokotasunaren batukortasuna eta biderkakortasuna era berean interpretatu behar da. Jarraian, metodo bakoitzeko formulak zehazten dira:<ref>Denbora serieari dagokion aldagaia eta horren osagaiak [[maiuskula]]z azaltzen dira, aurreko formuletan ez bezala.</ref>


:{| class="taulapolita"
! align="center" | Eredua
! align="center" | Errepikapen-formula
! align="center" | Errepikapen-formula
! align="center" | Aurresanak
|-
| align="center" | NN
| align="center" | <math>S_t=\alpha X_t+(1-\alpha)S_{t-1}</math>
| align="center" | <math>S_t=S_{t-1}+\alpha e_t</math>
| align="center" | <math>\hat{X}_{t+k}=S_t</math>
|-
| align="center" | AN<ref name=brownholt>[[Charles C. Holt]]ek proposatutako eredua da ondorengoa. [[Robert Goodell Brown]]en bertsioan parametro bakarra erabiltzen da bi formuletan.</ref>
| align="center" | <math>S_t=\alpha X_t+(1-\alpha)(S_{t-1}+T_{t-1})</math>

<math>T_t=\gamma (S_{t}-S_{t-1})+(1-\gamma)T_{t-1}</math>
| align="center" | <math>S_t=S_{t-1}+T_{t-1}+\alpha e_t</math>

<math>T_t=T_{t-1}+\alpha \gamma e_t</math>

| align="center" | <math>\hat{X}_{t+k}=S_t+kT_t</math>
|-
| align="center" | MN<ref name=brownholt/>
| align="center" | <math>S_t=\alpha X_t+(1-\alpha)(S_{t-1}R_{t-1})</math>

<math>R_t=\gamma (S_{t}/S_{t-1})+(1-\gamma)R_{t-1}</math>
| align="center" | <math>S_t=S_{t-1}R_{t-1}+\alpha e_t</math>

<math>R_t=(R_{t-1}+\alpha \gamma e_t)/S_{t-1}</math>

| align="center" | <math>\hat{X}_{t+k}=S_tR_t^k</math>
|-
| align="center" | DAN
| align="center" | <math>S_t=\alpha X_t+(1-\alpha)(S_{t-1}+\phi T_{t-1})</math>

<math>T_t=\gamma (S_{t}-S_{t-1})+(1-\gamma)\phi T_{t-1}</math>
| align="center" | <math>S_t=S_{t-1}+\phi T_{t-1}+\alpha e_t</math>

<math>T_t=\phi T_{t-1}+\alpha \gamma e_t</math>

| align="center" | <math>\hat{X}_{t+k}=S_t+\sum_{i=1}^k\phi^iT_t</math>
|-
| align="center" | DMN
| align="center" | <math>S_t=\alpha X_t+(1-\alpha)(S_{t-1}R_{t-1}^{\phi})</math>

<math>R_t=\gamma (S_{t}/S_{t-1})+(1-\gamma)R_{t-1}^{\phi}</math>
| align="center" | <math>S_t=S_{t-1}R_{t-1}^{\phi}+\alpha e_t</math>

<math>R_t=(R_{t-1}^{\phi}+\alpha \gamma e_t)/S_{t-1}</math>

| align="center" | <math>\hat{X}_{t+k}=S_tR_t^{\sum_{i=1}^k\phi^i}</math>
|-
| align="center" | NA
| align="center" | <math>S_t=\alpha(X_t-I_{t-p})+(1-\alpha)S_{t-1}</math>

<math>I_t=\delta (X_{t}-S_{t})+(1-\delta)I_{t-p}</math>
| align="center" | <math>S_t=S_{t-1}+\alpha e_t</math>

<math>I_t=I_{t-p}+\delta(1-\alpha)e_t</math>

| align="center" | <math>\hat{X}_{t+k}=S_t+I_{t-p+k}</math>
|-
|align="center" | AA
| align="center" | <math>S_t=\alpha(X_t-I_{t-p})+(1-\alpha)(S_{t-1}+T_{t-1})</math>

<math>T_t=\gamma (S_{t}-S_{t-1})+(1-\gamma)T_{t-1}</math>

<math>I_t=\delta (X_{t}-S_{t})+(1-\delta)I_{t-p}</math>
| align="center" | <math>S_t=S_{t-1}+T_{t-1}+\alpha e_t</math>

<math>T_t=T_{t-1}+\alpha \gamma e_t</math>

<math>I_t=I_{t-p}+\delta(1-\alpha)e_t</math>
| align="center" | <math>\hat{X}_{t+k}=S_t+kT_t+I_{t-p+k}</math>
|-
|align="center" | AM
| align="center" | <math>S_t=\alpha\Bigg(\frac{X_t}{I_{t-p}}\Bigg)+(1-\alpha)(S_{t-1}+T_{t-1})</math>

<math>T_t=\gamma (S_{t}-S_{t-1})+(1-\gamma)T_{t-1}</math>

<math>I_t=\delta \Bigg(\frac{X_{t}}{S_{t}}\Bigg)+(1-\delta)I_{t-p}</math>
| align="center" | <math>S_t=S_{t-1}+T_{t-1}+\frac{\alpha e_t}{I_{t-p}}</math>

<math>T_t=T_{t-1}+\frac{\alpha \gamma e_t}{I_{t-p}}</math>

<math>I_t=I_{t-p}+\frac{\delta(1-\alpha)e_t}{S_t}</math>
| align="center" | <math>\hat{X}_{t+k}=(S_t+kT_t)I_{t-p+k}</math>
|-
| align="center" | NM
| align="center" | <math>S_t=\alpha(X_t/I_{t-p})+(1-\alpha)S_{t-1}</math>

<math>I_t=\delta (X_{t}/S_{t})+(1-\delta)I_{t-p}</math>
| align="center" | <math>S_t=S_{t-1}+\alpha e_t/I_{t-p}</math>

<math>I_t=I_{t-p}+\delta(1-\alpha)e_t/S_t</math>

| align="center" | <math>\hat{X}_{t+k}=S_tI_{t-p+k}</math>
|-
| align="center" | MA
| align="center" | <math>S_t=\alpha(X_t-I_{t-p})+(1-\alpha)S_{t-1}R_{t-1}</math>

<math>I_t=\delta (X_{t}-S_{t})+(1-\delta)I_{t-p}</math>

<math>R_t=\gamma (S_{t}/S_{t-1})+(1-\gamma)R_{t-1}</math>

| align="center" | <math>S_t=S_{t-1}R_{t-1}+\alpha e_t</math>

<math>I_t=I_{t-p}+\delta(1-\alpha)e_t</math>

<math>R_t=R_{t-1}+\alpha \gamma e_t / S_{t-1}</math>

| align="center" | <math>\hat{X}_{t+k}=S_tR_t^m+I_{t-p+k}</math>
|-
|}

== Erreferentziak ==

{{erreferentzia zerrenda|2}}

== Kanpo estekak ==
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Denbora serieen azterketa]]