Limite-en iturria ikusi

[[Matematika]]n, '''limitea''' kontzeptu bat da [[Segida (matematika)|segida]] edo [[funtzio (argipena)|funtzio]] baten ''joera'' adierazten duena, segida edo funtzio horren parametroak balio jakin batera hurbiltzen direnean. [[Kalkulu matematiko|Kalkuluan]] (bereziki [[analisi erreal]]ean eta [[analisi matematiko|matematikoan]]) kontzeptu horrek erabiltzen da honako funtsezko kontzeptuak definitzeko: [[Konbergentzia (matematika)|konbergentzia]], [[funtzio jarraitu|jarraitutasuna]], [[Deribatu|deribazioa]] eta [[integral|integrazioa]], besteak beste.

'''Limitea''' [[funtzio (argipena)|funtzio]] baten aldagai independenteari baldintzaren bat jarri ondoren, funtzioa hurbiltzen den balioa da, beraz:

<math> \lim_{x\to c} \, \, f(x) = L</math>

== Funtzio baten limitea ==
[[Fitxategi:Límite 01.svg|thumb|250px|Limitearen definizioan erabilitako parametroak.]]

=== Definizio zehatza ===
Informalki, diogu '''f(''x'') funtzioaren limitea ''L'' dela, ''x'' ''c''-rantz doanean''', eta honela idazten da:
: <math> \lim_{x\to c} \, \, f(x) = L</math>

okasio bakoitzerako, ''x'' aurkitzen badugu ''c''-tik aski hurbil, non f(''x'') balioa baita L-tik nahi bezain hurbil. Formalki, termino [[logika|logiko-matematikoak]] erabiliz:

:<math>
   \begin{array}{l}
      \underset {x\to c}{\lim} \, \, f(x) = L \iff  \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \ \delta > 0 /     \\
      \forall x / 0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon
   \end{array}
</math>

Definizio honi limitearen '''[[epsilon (hizkia)|epsilon]]-[[delta (hizkia)|delta]] definizioa''' deritzogu, eta honela irakurtzen da:

{{aipu|"Limite e''f''e i''x''a,  i''x''a  ''c'' zerantz doanean, berdin ''L'' ele da; baldin eta soilik ''ε'' epsilon zenbaki erreal positibo bakoitzerako existitzen bada ''δ'' delta zenbaki erreal positibo bat, non i''x''a guztietarako, ezen i''x''aren eta ''c'' zearen arteko distantzia ''δ'' baino txikiagoa den, orduan i''x''aren irudiaren eta ''L'' eleren arteko distantzia ''ε'' epsilon unitate baino txikiagoa da".}}

=== Limite aipagarriak ===

'''Limite aipagarriak''' bezala honako hauek ditugu:

* <math> {\lim_{x \to \infty} \left (1+ \frac {1}{x} \right )^x } =\, e </math> &nbsp; &nbsp; ([[E (zenbakia)|e zenbakia]])
* <math> {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\operatorname{sen\,} x}{x} \right )} =\, 1 </math>
* <math> {\lim_{x \to 0} \left (\frac {\tan x}{x} \right )} =\, 1 </math>

== Segida baten limitea ==
[[Fitxategi:Sucesión 001.svg|eskuinera|250px|thumb|<math> a_{n} = \begin{cases} 16 & \mbox{; } n = 0 \\ \cfrac{a_{n-1}}{2} & \mbox{; } n > 0 \end{cases} </math>]]

[[Segida (matematika)|Segida]] baten limitearen definizioa eta funtzio baten limitearen definizioa, <math>x</math> <math>\infty</math>-rantz doanean, oso antzekoa dira. <math>a_n</math> segida '''<math>a</math> limitera doala''', edo '''jotzen duela''' esaten da, eta honela adierazten da:
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n = a</math>

<math>N</math> zenbaki arrunt bat aurkitu ahal badugu, non segidaren gai guztiak <math>n</math> handitzen denean <math>a</math>-tik oso hurbil dauden. [[Sinbolo matematikoen taula|Formalki]]:
: <math>a_n \to a \Leftrightarrow</math> <math>\forall\epsilon>0, \exists N>0 : \forall n\ge N, |a_n - a|<\epsilon</math>

== Limiteen propietateak ==
=== Orokorrak ===

Limiteek honako propietate hauek betetzen dituzte:

* <math> \lim_{x \to a} x = \, a \, </math>
* Eskalar bat duen limitea.
:<math> \lim_{x \to a} kf(x) =\, k\lim_{x \to a} f(x)\, </math> non ''k'' [[Eskalar (matematika)|eskalar]] biderkatzailea den.

* Batuketaren limitea.
:<math> \lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\, </math>

* Kenketaren limitea.
:<math> \lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)\, </math>

* Biderketaren limitea.
:<math> \lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) =\, \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)\, </math>

* Zatiketaren limitea.
: <math>
   \underset {x \to a} {\lim} \; \frac {f(x)}{g(x)} =
   \frac 
      {\underset {x \to a} {\lim} \; f(x)}
      {\underset {x \to a} {\lim} \; g(x)}
   \quad
   \mathrm{si}\ \lim_{x \to a} g(x) \ne 0
</math>

=== Indeterminazioak ===

Badaude zenbait limite zuzenean ebaluatuz gero, honako adierazpenen bat lortzen dugun:
: <math>
   \infty - \infty , \quad
   \frac{\infty}{\infty} , \quad
   \infty \cdot 0 , \quad
   \frac{0}{0} , \quad
   \infty ^0 , \quad
   1^\infty , \quad
   0^0
</math>

Adierazpen hauei '''indeterminazioak''' deritzegu, zeren, lehen begiratuan, ez baitago argi zein izan liteke limitea (existitzen baldin bada). Esaterako, bigarrena ekuazioan, limitea 0, 1 edo infinitu izan liteke. Batzuetan, adierazpena sinplifikatuz edo hasierako adierazpenaren beste baliokide bat lortuz, [[Arrazionalizazio (matematika)|arrazionalizazioaren]] edo [[faktorizazio]]aren bidez, indeterminazioa ebatz daiteke eta limitea kalkulatu. Beste batzuetan, ahalmen handiagoko beste tresnez baliatu behar dugu, esaterako desberdintzak edo [[L'Hôpitalen erregela|L'Hopitalen erregela]].
 
<math>\textstyle \frac{0}{0}</math> motako indeterminazioaren adibideak dira honako hiru kasuetan agertzen direnak, eta kasu bakoitzean (sinplifikatu ondoren), limite desberdina lortzen da:

<center>

<math>\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t^2}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{sinplifikatuz}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0}\frac{1}{t} = \infty</math>
 
<math>\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{sinplifikatuz}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} 1 =1</math>

<math>\lim_{t\rightarrow 0}\frac{t^2}{t}=\frac{0}{0} \quad \xrightarrow[\mathrm{sinplifikatuz}]{}  \quad  \lim_{t\rightarrow 0} {t} = 0</math>

</center>

== Kanpo estekak ==
* {{eu}} [http://batxiler.wordpress.com/2008/02/11/funtzioen-limiteak-jarraitasuna/ Funtzioen limiteak eta jarraitasuna]{{Apurtutako esteka|date=martxoa 2021 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{eu}} [https://web.archive.org/web/20160304130910/http://www.orixe.net/adim/index.php?q=node%2F56 Funtzioen limiteak Orixe webgunean]
{{autoritate kontrola}}

{{matematika zirriborroa}}

[[Kategoria:Analisi matematikoa]]
[[Kategoria:Analisi erreala]]
[[Kategoria:Konbergentzia (matematika)]]