Logaritmo natural-en iturria ikusi

:'''''Logaritmo natural''' eta '''[[logaritmo nepertar]]''' terminoak sinonimo bezala erabili arren, izatez bi kontzeptu ezberdin dira. Informazio gehiago eskuratzeko, ikusi [[logaritmo nepertar]].''
[[Fitxategi:Log.svg|alt=|thumb|300x300px|Logaritmo arruntaren grafikoa.]]

[[Matematika]]n, '''logaritmo natural''' edo '''logaritmo nepertar''' (modu informalean) deitzen zaie oinarri gisa [[E (zenbakia)|e zenbakia]] duten [[logaritmo]]ei (e [[zenbaki irrazional]] bat da, gutxi gorabehera balio honetakoa: 2,7182818284590452353602874713527). Logaritmo naturala <math>\log_ex</math> edo <math>\ln x</math> notazioaren bidez adierazten da.

Beraz, ''x'' zenbaki baten logaritmo arrunta hura lortzeko ''e'' [[Berreketa|berretu]] behar duen ''a'' zenbakia da; hau da, ln(x)=a eta ''e''<sup>a</sup>=''x'' ekuazioak baliokideak dira. Adibidez, 7,38905... zenbakiaren logaritmo naturala 2 da, ''e''<sup>2</sup>=7,38905... baita; eta ln(''e'')=1 da, ''e''<sup>1</sup>=''e'' da-eta.

Ikuspuntu [[Analisi matematiko|analitikotik]], edozein zenbaki x>0 positiboren logaritmo arrunta y=1/t kurbaren 0 eta ''x'' arteko [[azalera]] bezala defini daiteke. Definizio hain sinple honek ematen dio logaritmo mota honi "natural" izendapena.<ref>[[Pietro Mengoli]] eta [[Nikolaus Mercator|Nicholas Mercator]]<nowiki/>ek [[Kalkulu (matematikaren adarra)|kalkulutik]] kanpoko arrazoiengatik eman zioten izendapen hau. Ikusi {{Erreferentzia|izena=Pat|abizena=Ballew|urtea=|izenburua=Math Words, and Some Other Words, of Interest|argitaletxea=|orrialdea=|orrialdeak=|ISBN=|hizkuntza=ingelesa|url=http://www.pballew.net/arithme1.html#ln|sartze-data=8 de abril de 2011}} </ref>

Logaritmo naturala zenbaki erreal positiboez osatutako [[definizio-eremu]]ko funtzio erreala da:

: <math>\text{ln}:\mathbb R^{+}\to\mathbb R</math>

eta [[funtzio esponentzial]] naturalaren [[alderantzizko funtzio]]a da:

: <math>e^{\text{ln}\,x}=x\text{, }x>0\text{ osorako}</math>
: <math>\text{ln}(e^x)=x\! </math>
: Logaritmo arruntaren alderantzizkoa funtzio esponentziala da.

== Historia ==

Logaritmo arrunta [[Nikolaus Mercator]]ren ''Logarithmotechnia''-n aipatu zen lehen aldiz (1668an argitaratua)<ref>{{Web erref|hizkuntza=ingelesa|izenburua=The number e|urtea=|abizena=O'Connor|izena=J. J.|orrialdeak=|orrialdea=|argitaletxea=The MacTutor History of Mathematics archive|ISBN=|url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/e.html|sartze-data=2009ko otsailak 2|izena2=E. F.|abizena2=Robertson}}</ref>, nahiz eta John Speidell matematika irakasleak jadanik logaritmo naturalaren balio taula bat eratu izan 1619an.<ref>{{Liburu erref|izenburua=A History of Mathematics, 5th ed|urtea=1991|abizena=Cajori|orrialdea=152|argitaletxea=AMS Bookstore|ISBN=0821821024|idazlea=Florian Cajori|url=http://books.google.com/?id=mGJRjIC9fZgC&dq=%22Cajori%22+%22A+History+of+Mathematics%22+|hizkuntza=ingelesa|izena=|orrialdeak=}}</ref> Formalki logaritmo hiperboliko deitu ohi zen,<ref>{{Web erref|hizkuntza=ingelesa|izenburua=Estimating Integrals using Polynomials|abizena=Flashman|izena=Martin|url=http://www.humboldt.edu/~mef2/Presentations/Estimations.html|sartze-data=23 de marzo de 2008}}</ref> haren balioak hiperbola baten azpiko azalerarenak baitira. Batzuetan logaritmo "natural" eta "[[Logaritmo nepertar|nepertar]]" izendapenak sinonimo gisa erabiltzen dira, jatorrizko esanahiak pixka bat ezberdinak izan arren.

== Logaritmo natural terminoaren jatorria ==

Hasiera batean, [[Zenbaki-sistema hamartar|sistema hamartarra]] zenbaki-sistema arruntena bihurtu zenetik, 10 oinarria e oinarria baino "naturalagoa" irudi dezake; baina matematika arloan, 10a ez da ezertarako zenbaki berezia. Bere erabilpen hedatua (zenbakitze-sistema gisa) ziur aski gizakion hatz kopurutik dator, errazagoa baita hamarnaka zenbatzea.<ref>{{Liburu erref|hizkuntza=ingelesa|izenburua=A History of Mathematics|urtea=1968|abizena=Boyers|izena=Carl|argitaletxea=John Wiley & Sons|orrialdeak=|orrialdea=|ISBN=}}</ref> Historian zehar kultura batzuk beste oinarritako [[zenbaki-sistema]]k erabili zituzten, hala nola [[Zenbaki-sistema bostar|5]], [[Zenbaki-sistema zortzitar|8]], [[Zenbaki-sistema hamabitar|12]], [[Zenbaki-sistema hogeitar|20]] edo [[Hirurogeitar|60]].<ref>{{Erreferentzia|izena=John|abizena=Harris|urtea=1987|izenburua=Australian Aboriginal and Islander mathematics|argitaletxea=|orrialdea=|orrialdeak=29–37|ISBN=|hizkuntza=ingelesa|url=http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf|artxibo-url=https://web.archive.org/web/20070831203123/http://www1.aiatsis.gov.au/exhibitions/e_access/serial/m0005975_v_a.pdf|argitaratze-lekua=Australian Aboriginal Studies|formatua=PDF|sartze-data=12 de febrero de 2008|artxibo-data=31 de agosto de 2007|volume=2}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=J.J.|abizena=Large|urtea=1902|izenburua=The vigesimal system of enumeration|argitaletxea=|orrialdea=|orrialdeak=260–261|ISBN=|hizkuntza=ingelesa|url=http://www.jps.auckland.ac.nz/document/?wid=636|zenbakia=4|argitaratze-lekua=Journal of the Polynesian Society|sartze-data=30 de marzo de 2011|volume=11}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Florian|abizena=Cajori|urtea=1922|izenburua=Sexagesimal fractions among the Babylonians|argitaletxea=|orrialdea=|orrialdeak=8–10|ISBN=|hizkuntza=ingelesa|egilea=Florian Cajori|url=https://www.jstor.org/stable/2972914?Search=yes&resultItemClick=true&searchText=Sexagesimal&searchText=fractions&searchText=among&searchText=the&searchText=Babylonians&searchUri=%2Faction%2FdoBasicSearch%3FQuery%3DSexagesimal%2Bfractions%2Bamong%2Bthe%2BBabylonians&ab_segments=0%2Fdefault-1%2Frelevance_config_with_defaults&refreqid=search%3Ad228e114b4b597fc812a0dbebc517e37&seq=1#metadata_info_tab_contents|zenbakia=1|argitaratze-lekua=American Mathematical Monthly|doi=10.2307/2972914|volume=29}}</ref>

log<sub>''e''</sub> da logaritmo "arrunta" matematiketan gehiagotan agertzen baita. Gainera, operazio batzuetan berez agertzen da logaritmo hau; funtzio logaritmikoa [[Deribatu|deribatzean]] adibidez:<ref>{{Liburu erref|hizkuntza=ingelesa|izenburua=Calculus: An Applied Approach|urtea=2007|abizena=Larson|izena=Ron|orrialdeak=|orrialdea=331|argitaletxea=Cengage Learning|ISBN=0-618-95825-8|edizioa=8va|url=http://books.google.com/books?id=rbDG7V0OV34C}}, [http://books.google.com/books?id=rbDG7V0OV34C&pg=PA331 Section 4.5, page 331]
</ref>

: <math>\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\ln(b)} \ln{x} \right) = \frac{1}{\ln(b)} \frac{d}{dx} \ln{x} = \frac{1}{x\ln(b)} </math>

Gainera, ''b'' oinarria ''e'' zenbakia bada, orduan deribatua 1/x da. Bestalde, e oinarriko logaritmoa "naturalena" izateko beste arrazoi bat, integral baten edo [[Taylor serie|Taylorren serie]] baten bidez erraz definitu daitekeela da, eta hau ez litzake hain erraza izango beste oinarri batekin.

[[Kalkulu (matematikaren adarra)|Kalkulutik]] kanpo badaude beste arrazoi pare bat hura "natural" izenaz ezagutzeko. Hala nola, badaude serie arrunt batzuk logaritmo arruntarekin erlazionatuak. Gainera, [[Pietro Mengoli]] eta [[Nikolaus Mercator|Nicholas Mercatorrek]] ''logarithmus naturalis'' deitu zuten [[Isaac Newton|Newton]] eta [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnizek]] kalkulua garatu baino hamarkada batzuk lehenago.<ref>{{Web erref|hizkuntza=ingelesa|izenburua=Math Words, and Some Other Words, of Interest|urtea=|abizena=Ballew|izena=Pat|orrialdeak=|orrialdea=|argitaletxea=|ISBN=|sartze-data=2007-9-16|url=http://www.pballew.net/arithme1.html#ln}}</ref>

== Definizioa ==
[[Fitxategi:Log-def.svg|thumb|300x300px|Normalean ln(''x'')-ren balioa ''f''(''t'') = 1/''t'' kurbaren (1,''x'') tarteko azalera bezala irudikatzen da. ''x''<1 bada, (''x'',1) tarteko azaleraren zeinua aldatzen da.]]

ln(x) funtzioa balio [[Zenbaki erreal|erreal]] positiboetarako dago definituta, 1/t funtzioaren 1 eta x arteko azalera bezala. Azalera hau [[integral]] baten emaitza da:

ln: '''R'''<sup>+</sup>→'''R''' honela definitzen da:

: <math>\ln (x)=\int_1^x \frac{dt}{t}\,</math>

Definizio honen bidez berehala ikus daiteke funtzio hau [[logaritmo]]en funtzezko propietatea betetzen duela:

: <math>\ln(x\cdot y)=\ln(x)+\ln(y)</math>
{{Froga|1=Bi zenbaki positiboen logaritmoa:
:<math>\ln(x\cdot y)=\int_1^{x\cdot y}\frac{dt}{t}</math>
Orain bitan deskonposatu daiteke eta [[Kalkuluaren oinarrizko teorema#Bigarren oinarrizko teorema|kalkuloaren bigarren oinarrizko teorema]] erabili:
:<math>\ln(x\cdot y)=\int_1^{x}\frac{dt}{t}+\int_x^{x\cdot y}\frac{dt}{t}</math>
Eta bigarren integralan ''s''=''t''/''x'' aldagai aldaketaren bidez emaitza lortzen da:
:<math>\ln(x\cdot y)=\int_1^{x}\frac{dt}{t}+\int_1^{y}\frac{ds}{s}=\ln(x)+\ln(y)</math>}}

Gainera, [[E (zenbakia)|''e'' zenbakia]] erabiliz funtzioak 1 balio du. Beraz, ln logaritmoa ''e'' oinarriko logaritmoa da, hau da, ''e<sup>x</sup>'' funtzioaren [[Alderantzizko funtzio|alderantzizkoa]].

== Propietateak ==

Logaritmo naturalak [[Logaritmo|logaritmoen propietate orokorrak]] betetzen ditu, baita [[identitate logaritmikoak]] ere. Propietate orokorretaz gain hurrengo propietateak aipagarriak dira:

* <math>\ln(1) = 0\,</math>

* <math>\ln(-1) = i \pi \quad \,</math>(ikusi [[logaritmo konplexu]]a)

* <math>\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm para}\quad 0 < x < y\;</math>

* <math>\frac{h}{1+h} \leq \ln(1+h) \leq h \quad{\rm para}\quad h > -1\;</math>

* <math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1.\,</math>

== Deribatua, Taylorren seriea ==
[[Fitxategi:LogTay.svg|eskuinera|thumb|300x300px|ln(1&nbsp;+&nbsp;''x'') funtziorako [[Taylor serie|Taylorren polinomioak]] bakarrik −1&nbsp;&#x3C;&nbsp;''x''&nbsp;≤&nbsp;1 tartean egiten dituzte hurbilketa zehatzak. Ikus daiteke ''x''&nbsp;&#x3E;&nbsp;1 denean maila handiko Taylorren polinomioen hurbilketak oso txarrak direla.]]
Logaritmo naturalaren [[deribatu]]a honako hau da:

: <math>\frac{d}{dx} \ln(x) = \frac{1}{x}.\,</math>

Logaritmo naturala haren [[definizio-eremu]]ko puntu baten zentratutako [[Taylor serie|Taylorren serie]] baten bidez adierazi daiteke. x=0 puntuan deribatua existitzen ez denez, haren Taylor seriea batean zentratzen da orokorrean, gero aldagai aldaketa baten bidez zeron zentratzeko. Horrela logaritmo naturalaren Taylorren seriea lortzen da:

: <math>\ln(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n \text{ para } -1<x\le1 </math>

Serie hau [[Mercator seriea|Mercatorren seriea]] deitzen da.

Funtzio identitatea erabiliz

: <math>\ln x =\operatorname {artanh} \, \left( \frac{x^2-1}{x^2+1} \right)    \text{ , } x > 0 \text{ denean} </math>

eta <math>\frac{x^2-1}{x^2+1}</math> [[Funtzio hiperboliko|arkutangente hiperbolikoaren]] Taylorren seriean ordezkatuz hurrengo seriea lortzen da, [[Serie konbergente|konbergentzia]] azkarragokoa:

: <math>\ln x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac1{2n+1} \left(\frac{x^2-1}{x^2+1}\right)^{2n+1}    \text{ , } x > 0 \text{ denerako} </math>

Taylor serieari [[transformazio binomiko]] bat aplikatuz bigarren serie hau lortzen da, |''x''|>1 denerako:

: <math>\ln{x \over {x-1}} = \sum_{n=1}^\infty {1 \over {n x^n}} = {1 \over x}+ {1 \over {2x^2}} + {1 \over {3x^3}} + \cdots</math>

Ikusi daiteke <math> x \over {x-1} </math> bere buruaren alderantzizkoa da, eta ondorioz ''y'' zenbaki baten logaritmo naturala lortzeko nahiko da <math> y \over {y-1} </math> jartzea ''x''-ren truke.

== Integrala ==

Logaritmo naturalari esker ''g''(''x'') = ''f'''(''x'')/''f''(''x'') erako funtzioak erraz [[Integral|integratu]] daitezke, [[katearen erregela]] eta hurrengo berdintza direla eta:

: <math>\ {d \over dx}\left( \ln \left| x \right| \right) = {1 \over x}.</math>

Beste era batera esanda,

: <math>\int { 1 \over x} dx = \ln|x| + C</math>

Honela ere bai adierazi daiteke,

: <math>\int { \frac{f'(x)}{f(x)}\, dx} = \ln |f(x)| + C.</math>

Adibidez, ikusi ''g''(''x'') = tan(''x'') funtzioaren integrazioa:

: <math>\int \tan (x) \,dx = \int {\sin (x) \over \cos (x)} \,dx</math>
: <math>\int \tan (x) \,dx = \int {-{d \over dx} \cos (x) \over {\cos (x)}} \,dx.</math>

''f''(''x'') = cos(''x'') eta ''f'''(''x'')= – sin(''x'') hartuz:

: <math>\int \tan (x) \,dx = -\ln{\left| \cos (x) \right|} + C</math>
: <math>\int \tan (x) \,dx = \ln{\left| \sec (x) \right|} + C</math>

non ''C'' integralaren konstante bat den.

Logaritmo naturala zatikako integrazioaren bidez integratu daiteke:

: <math>\int \ln (x) \,dx = x \ln (x)  - x + C.</math>

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia_zerrenda|30em}}

== Bibliografia ==
* "Cálculus" (Volume I). Tom M. Apostol. Bigarren edizioa, 1991. Editorial Reverté, S.A. {{ISBN|84-291-5002-1}}

== Ikus, gainera ==
* [[Logaritmo]]
* [[Logaritmo konplexu]]
* [[Logaritmo nepertar]]
* [[E (zenbakia)|''e'' zenbakia]]
* [[Funtzio esponentzial]]

== Kanpo estekak ==
* {{MathWorld|NaturalLogarithm|Natural Logarithm}}
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Logaritmoak]]
[[Kategoria:Funtzioak]]