Multzo-teoria-en iturria ikusi

{{Wikipedia1000}}
::<small>Artikulu hau multzoen teoria matematikoari eta bere axiomatizazioari buruzkoa da. Multzoak era didaktiko eta sinpleago batez jakiteko ikus: [[Multzo]].</small>

[[Fitxategi:Venn 001.svg|thumb|eskuinera|300px|[[Vennen diagrama|Vennen diagramek]] '''multzo-teoria''' arloko hastapenak ikasleei azaltzen laguntzen dute, elementuen eta multzoen arteko erlazioak eta eragiketak irudikatuz: <math>A=\{a\},\ B=\{a,b,c\}\,</math> badira, <math>A \subseteq B</math> (A Bren barnean dago), <math>b \in B</math> (b elementua Bren baitan dago) eta <math>d,e \notin B</math> (d eta e ez daude Bren baitan). Multzo-teoria [[axioma]]tikoa, ordea, sistema formal konplexua da eta [[matematika]]ren eta [[logika]]ren tresna zorrotzak baliatzen ditu.]]

'''Multzo-teoria''' multzoen propietateak eta erlazioak aztertzen dituen [[logika]] matematikoaren adar bat da. Objektuen bilduma abstraktuak objektu moduan hartzen ditu. [[Multzo]]ak eta haien arteko eragiketak edozein teoria matematikoren oinarrizko tresna dira<ref>{{Erreferentzia|izena=Devlin, Keith|abizena=J.|izenburua=Sets, functions, and logic : an introduction to abstract mathematics|argitaletxea=Chapman & Hall/CRC|data=2004|url=https://www.worldcat.org/oclc/52813791|edizioa=3rd ed|isbn=1584884495|pmc=52813791|sartze-data=2018-11-29}}</ref>.

Multzo-teoria aberatsa da matematikaren gainerako objektuak eta egiturak eraikitzeko: [[zenbaki]]ak, [[Funtzio (matematika)|funtzioak]], [[irudi geometriko]]ak... Logikaren tresnei esker, haien oinarriak aztertzea ahalbidetzen du. Gaur egun, Zermelo-Fraenkelen teoriaren [[axioma]] multzoa matematika osoa garatzeko nahikoa dela onartua dago.

Multzo-teoriaren lehenengo ikerketa formala [[Georg Cantor]] matematikariak egin zuen [[XIX. mendea]]n. Egun, [[Multzo|multzo-teoria eskolako matematiketan]] irakasten den gaia da, [[zenbaketa]] irakasteko adibidez, baina ebatzi gabeko problema eta [[paradoxa]] anitz aztertzeko tresna ere bada. Horrela, ohikoa da ''multzo teoria naive'' edo sinplea (eskolan irakasten dena) eta ''multzo-teoria axiomatikoa'' (matematika puruaren arloan formalki konplexutasun handikoa eta paradoxak ebazteko sortu zena) bereiztea.

==Historia==
[[Fitxategi:Georg Cantor 1894.jpg|thumb|160px|[[Georg Cantor]].]]
Matematika-gaiak ikertzaile askoren arteko elkarrekintzen bidez sortu eta garatu ohi dira. Hala ere, multzoen teoria [[Georg Cantor|Georg Cantor-en]] artikulu bakar batek sortu zuen 1874an: ''Zenbaki aljebraiko erreal guztien bildumako propietate bati buruz''<ref name="cantor1874">{{Erreferentzia|izenburua=Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen|hizkuntza=de|abizena=Cantor|izena=Georg|author-link=|url=http://www. digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583|journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|alea=77|liburukia=1874|orrialdeak=258-262|doi=10.1515/crll.1874.77.258|urtea=1874|s2cid=199545885}}</ref><ref>{{Erreferentzia |izena=Philip |abizena=Johnson |urtea=1972 |izenburua=Una historia de la teoría de conjuntos |argitaletxea=Prindle, Weber & Schmidt |isbn=0-87150-154-6 |url-access= |url=https://archive.org/details/mathematicalcirc0000eves_x3z6 }}</ref>.

K.a. V. mendez geroztik, Mendebaldean, [[Zenon Eleakoa|Zenon Eleakoa]] matematikari greziarretik eta, Ekialdean, lehen matematikari indiarretik hasita, matematikariak [[Infinitu|infinituaren]] kontzeptuarekin borrokatu ziren. Bereziki nabarmena da [[Bernard Bolzano|Bernard Bolzanoren]] lana XIX. mendearen lehen erdian<ref>{{Erreferentzia|abizena=Bolzano|izena=Bernard|author-link=Bernard Bolzano|editor-last=|editorea=Jan|izenburua=Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre|orrialdea=152|seriea=Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, editado por Eduard Winter et al. |liburukia=Vol. II, A, 7|argitaletxea=Friedrich Frommann Verlag|lekua=Stuttgart, Bad Cannstatt|isbn=3-7728-0466-7|urtea=1975}}</ref>. Infinituaren ulermen modernoa 1870-1874an hasi zen, eta Cantorrek [[Analisi erreal|analisi errealean]] egindako lanak eragin zuen<ref>{{Erreferentzia|abizena=Dauben|izena=Joseph|author-link=Joseph Dauben|izenburua=Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite|url=https://archive.org/details/georgcantorhisma0000daub_k6x7|argitaletxea=Harvard University Press|urtea=1979|isbn=0-674-34871-0|orrialdeak=[https://archive.org/details/georgcantorhisma0000daub_k6x7/page/n49 30]-54}}.</ref>. 1872an, Cantor eta [[Richard Dedekind|Richard Dedekinden]] arteko topaketa batek eragina izan zuen Cantorren pentsamenduan, eta horrek Cantorren 1874ko artikulua ekarri zuen.

Cantorren lanak bere garaiko matematikariak polarizatu zituen hasieran. [[Karl Weierstrass|Karl Weierstrassek]] eta Dedekindek Cantorren alde egin zuten, [[Leopold Kronecker|Leopold Kroneckerrek]], orain [[Konstruktibismo (matematika)|konstruktibismo matematikoaren]] sortzailetzat jotzen denak, berriz, ez. Azkenean, multzoen teoria cantoriarra orokortu egin zen kontzeptu cantoriarren erabilgarritasunari esker, hala nola multzoen arteko [[Bijekzio|banan-banako korrespondentzia]], [[Zenbaki erreal|zenbaki errealak]] osoak baino gehiago direla frogatzea eta potentzien operazio bateratuaren ondoriozko «infinituaren amaigabetasuna» (Cantorren paradisua). Multzoen teoriaren erabilgarritasun horrek, 1898an, eraman zuen [[Arthur Schönflies]] ''Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen''eri (Klein-en Entziklopedia) emandako «Mengenlehre» artikulura.

Multzoen teoriaren hurrengo berotasun-bolada 1900. urte inguruan gertatu zen, Cantorrren multzoen teoriaren zenbait interpretaziok kontraesan batzuk ([[Antinomismo|antinomiak]] edo [[Paradoxa|paradoxak]] deiturikoak) sortzen zituztela aurkitu zenean. [[Bertrand Russell|Bertrand Russellek]] eta [[Ernst Zermelo|Ernst Zermelok]] paradoxarik sinpleena eta ezagunena aurkitu zuten modu independentean, gaur egun [[Russellen paradoxa|Russellen paradoxa]] deritzona: hartu «norberaren kide ez diren multzo guztien multzoa», eta horrek kontraesana sortzen du; bada, norberaren kide izan behar baitu, eta ez norberaren kide. 1899an, Cantorrek berak galdera hau egin zuen: «Zein da multzo guztien [[Zenbaki kardinal|zenbaki kardinala]]?», eta horri lotutako paradoxa bat lortu zuen. Russellek bere paradoxa erabili zuen gai gisa 1903ko matematika kontinentalen berrikuspenean ''Principia Mathematica'' (Matematikaren printzipioak) lanean.

1906an, irakurle ingelesek ''Theory of Sets of Points'' (Puntuen Multzo Teoria)<ref>{{Erreferentzia|url=https://archive. org/stream/theoryofsetsofpo00youniala#page/n3/mode/2up|izenburua=Teoría de conjuntos de puntos|abizena1=Young|izena1=William|abizena2=Young|izena2=Grace Chisholm|argitaletxea=Cambridge University Press|urtea=1906|author-link=|author-link2=Grace Chisholm Young}}</ref> liburua eskuratu zuten [[William Henry Young]] eta [[Grace Chisholm Young]] senar-emazteek, ''Cambridge University Press''ek argitaratua.

Multzoen teoriaren bultzada hain izan zen handia, ezen paradoxei buruzko eztabaida ez zen baztertu. Zermelok 1908an eta [[Abraham Fraenkel|Abraham Fraenkelek]] eta [[Thoralf Skolem|Thoralf Skolemek]] 1922an egindako lanek [[Zermelo-Fraenkelen axiomak|ZFC axiomen]] multzoa ekarri zuten, multzoen teoriarako gehien erabiltzen den axiomen multzoa bihurtu zena. [[Analisi erreal|Analisten]] lanak, hala nola [[Henri Léon Lebesgue|Henri Lebesguerenak]], multzoen teoriaren baliagarritasun matematiko handia erakutsi zuen, geroztik matematika modernoaren ehun bihurtu dena. Multzoen teoria, eskuarki, sortze-sistema gisa erabiltzen da, nahiz eta zenbait arlotan uste den kategorien teoria oinarri hobea dela, hala nola [[Geometria aljebraiko|geometria aljebraikoan]] eta [[Topologia aljebraiko|topologia aljebraikoan]].

== Multzoen teoria intuitiboa ==
=== George Cantor ===
Cantorren hasierako definizioa guztiz intuitiboa da: «Multzo bat osotasun batean bilduta dauden objektu jakinen C bilduma bat da, gure pertzepziotik edo gure pentsamendutik (C elementuak deitzen direnak) oso ezberdinak direnak».

Ideia sinple eta begiesgarri hori, inozoa ere bada, kontraesan izugarriak sortzen baititu berehala, [[Russellen paradoxa]], adibidez.

Erakutsi ahal izateko, teoria intuitibo hori formalizatzen hasi behar dugu; izan ere, multzoetarako sinboloez eta haien elementuez gain (x, C, eta abar), pertenentzia ''<math>\in</math>'' eta berdintasun ''='' sinboloak izango ditu.

x C multzoko elementu bat dela honela adieraziko da: x''<math>\in</math>''C edo "x barne C" eta x C multzoko elementua ez dela honela: x<math>\not\in</math> C edo "x ez dago C-n"

Kontuan izango dugu ez dela beharrezkoa beti multzoak maiuskulaz eta haien elementuei letra xehez adieraztea; izan ere, multzo bat aldi berean beste multzo bateko elementua izan daiteke, eta gure teorian ez dago multzoak ez diren objekturik.

Ezaguna da multzoko elementuak giltzen artean giltzapetzeko notazioa.

'''Adibidea:''' A = {a, b, c}.

== Sarrera ==
{{Sakontzeko|Multzo}}
Funtsezko multzo-teoria lengoaia matematikoaren oinarrizko tresna da. [[Zenbaki]]ak eta [[poligono]]ak, adibidez, objektu matematikoak dira, eta objektuen multzo moduan ikus daitezke. Elementu horietako bakoitza multzo baten barruan dago. [[Multzo]]ak beste multzo batzuen elementu izan daitezke.

Multzo baten [[Elementu (multzo-teoria)|partaide]] izatearen kontzeptua <math>\in</math> ikurraz adierazten da. Horrela, <math>a</math> [[Elementu (multzo-teoria)|elementua]] <math>A</math> multzoaren barruan dagoela edo multzoaren partaide dela <math>a \in A</math> notazioaz adierazten da.

Partaide izatearen kontzeptutik lortzen da multzoen arteko partekotasun-erlazioa. <math>A</math> multzo jakin baten barruan dagoen <math>B</math> azpi-bilduma <math>A</math>-ren [[azpimultzo]] bat da. <math>A</math> eta <math>B</math> multzoen arteko erlazio hori horrela adierazten da: <math>B \subseteq A</math>. <math>B</math> multzoa <math>A</math>-ren parte dela esaten da.<ref>{{Erreferentzia|izena=Herstein, I.|abizena=N.|izenburua=Algebra abstracta|argitaletxea=Grupo Editorial Iberoamérica|data=1988|url=https://www.worldcat.org/oclc/21887461|isbn=968727042X|pmc=21887461|sartze-data=2018-11-29}}</ref>.

Multzoen artean aurki ditzakegu [[multzo finitu]]a, [[multzo infinitu]]a, [[multzo huts]]a, [[Multzo ez zenbakigarri|multzo ez-zenbakigarriak]], [[multzo zenbakigarri]]ak, etab.

====Adibideak====
* Hauek dira matematikan erabiltzen diren [[Zenbaki|zenbaki-multzoak]]: {{math|'''N'''}} [[Zenbaki arrunt|zenbaki arrunten]] multzoa, {{math|'''Z'''}} [[Zenbaki oso|zenbaki osoena]], {{math|'''Q'''}} [[Zenbaki arrazional|zenbaki arrazionalena]], {{math|'''R'''}} [[Zenbaki erreal|zenbaki errealena]] eta {{math|'''C'''}} [[Zenbaki konplexu|zenbaki konplexuena]]. Bakoitza hurrengoaren azpimultzoa da:
{{ekuazio|<math>\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math>}}
* <math>E_3</math> [[Hiru dimentsioko|hiru dimentsioko espazioa]] <math>p, p \in E_3</math> ''puntu'' izeneko oinarrizko objektuen multzoa da. <math>r</math> [[Zuzen (geometria)|zuzenak]] eta <math>\alpha</math> [[Plano|planoak]], aldi berean, puntu-multzoak dira, eta, bereziki, <math>E_3</math>, <math>r \subseteq E_3</math> eta <math> \alpha \subseteq E_3</math>-ren azpimultzoak.

===Multzoen aljebra===
{{Sakontzeko|Multzoen arteko aljebra|Booleren aljebra}}
Oinarrizko [[Eragiketa bitar|eragiketa]] batzuek [[Aritmetika#Oinarrizko eragiketak|eragiketa aritmetikoen]] antzeko multzoak eta elementuak manipulatzeko aukera ematen dute, eta multzoen aljebra osatzen dute.
* [[Bilketa (multzo-teoria)|Bildura]]: <math>A</math> eta <math>B</math> multzoen bildura, <math>A</math>-renak edota <math>B</math>-renak diren elementuek osatzen duten multzoa da. <math>A\cup B</math> notazioaz adierazten da.
[[Fitxategi:Union entre conjuntos.svg|ezkerrera|frameless]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
* [[Ebaketa (multzo-teoria)|Ebakidura]]: <math>A</math> eta <math>B</math> multzoen ebakidura aldi berean <math>A</math>-renak eta <math>B</math>-renak diren elementuek osatzen duten multzoa da. <math>A\cap B</math> notazioaz adierazten da.
[[Fitxategi:Intersección entre conjuntos.svg|ezkerrera|frameless]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
* [[Kenketa (multzo-teoria)|Diferentzia]]: <math>A</math> eta <math>B</math> multzoen arteko diferentzia <math>B</math>-ren barruan ez dauden <math>A</math> multzoaren elementu guztiak dituen multzoa da. <math>A\setminus B</math> notazioaz adierazten da.

[[Fitxategi:Diferencia entre conjuntos.svg|ezkerrera|frameless]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

* [[Osagarri (multzo-teoria)|Osagarria]]: <math>A</math> multzoaren osagarria <math>A</math> multzoak ez dituen gainerako elementu guztiak dituen multzoa da. <math>A^C</math> notazioaz adierazten da.

[[Fitxategi:COMPLEMENTO ejemplo.svg|ezkerrera|frameless]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

* '''Diferentzia simetrikoa'''. '''{{math|''A''}}''' eta '''{{math|''B''}}''' bi multzoren arteko diferentzia simetrikoa '''{{math|''A'' Δ ''B''}}''' multzoa da, '''{{math|''A''}}''', edo '''{{math|''B''}}'''-renak diren elementu guztiak dituena, baina ez bienak batera:

[[Fitxategi:Diferencia simetrica entre conjuntos.svg|ezkerrera|frameless]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

* [[Biderketa kartesiar|Biderkadura kartesiarra]]: <math>A</math> eta <math>B</math> multzoen arteko biderkadura kartesiarra <math>A\times B</math> notazioaz adierazten da eta <math>a</math> eta <math>b</math> elementuek osatzen dituzten (<math>a</math>, <math>b</math>) [[bikote ordenatu]]en multzoa da, non <math>a\in A</math> eta <math>b\in B</math>.

[[Fitxategi:Produc.cartesiano-t_conjunto.svg|ezkerrera|frameless]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
* [[Multzo disjuntu]]ak: <math>A</math> eta <math>B</math> multzoek elementu komunik ez badute disjuntuak direla esaten da,  <math>A\cap B=\{ \}=\emptyset</math>.
[[Fitxategi:DisjointPolygonsSets.svg|160px|ezkerrera|frameless]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
* [[Potentzia-multzo]]a: <math>A</math> multzoaren potentzia-multzoa <math>A</math>-ren [[azpimultzo]] guztiek osatzen duten multzoa da eta <math>\mathcal{P}(A)</math> notazioaz adierazten da.
[[Fitxategi:Hasse diagram of powerset of 3.svg|160px|ezkerrera|frameless]]<br /><br /><br /><br /><br /><br />
* [[Partiketa (matematika)|Partizioa]]: <math>A</math> multzoaren partizioa <math>A</math>-ren azpimultzo-familia bat da, non azpimultzoak haien artean disjuntuak diren eta guztien bildura <math>A</math> multzoa den.
[[Fitxategi:Set partition.svg|ezkerrera|160px|frameless]]<br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />

Multzoak eta multzoen arteko eragiketak [[Venn diagrama|Venn-en diagramen]] bidez irudika daitezke<ref>{{Erreferentzia|izena=Rojo, Armando|abizena=O.|izenburua=Álgebra|argitaletxea=El Ateneo|data=1999|url=https://www.worldcat.org/oclc/51097553|edizioa=19a ed|isbn=950025204X|pmc=51097553|sartze-data=2018-11-29}}</ref>.

=== Zenbakizko multzo ezagunak ===
Matematikan badira oso ezagunak eta erabiliak diren hainbat zenbakizko multzo: <math>\mathbb{N}</math> [[zenbaki arrunt]]en multzoa da, <math>\mathbb{Z}</math> [[zenbaki oso]]en multzoa, <math>\mathbb{Q}</math> [[zenbaki arrazional]]en multzoa, <math>\mathbb{R}</math> [[zenbaki erreal]]en multzoa eta <math>\mathbb{C}</math> [[zenbaki konplexu]]en multzoa. Zera betetzen da: <math>\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math>

== Aplikazioak ==
Multzo-teoriaren bidez, kontzeptu matematiko ugari defini daitezke zehaztasun handiz. [[Grafo (argipena)|Grafoak]], [[Eraztun (matematika)|eraztunak]] eta [[Bektore espazio|espazio bektorialak]], adibidez, multzo-teoriaren propietate axiomatikoetan oinarrituz deskribatuak izan daitezkeen egitura matematikoak dira. [[Baliokidetasun-erlazio|Baliokidetasun erlazioa]] eta bestelako erlazio matematikoak ere, hau da, [[Erlazio bitar|erlazioen]] teoria multzo-teoriaren bidez deskriba daiteke.

Izan ere, multzo-teoria matematikaren arlo desberdin askoen oinarria da. ''Principia of Mathematica'' -ren lehen atala argitaratu zenetik, matematikako teorema guztiak edo gehienak multzo-teoriako [[axioma]]k erabiliz ondoriozta daitezkeela onartu da. [[Zenbaki arrunt]]en eta [[Zenbaki erreal|errealen]] propietateak, adibidez, multzo-teoriatik abiatuz lor daitezke.

[[Analisi matematiko]]aren, [[topologia]]ren, [[Aljebra abstraktu|algebra abstraktuaren]] eta [[matematika diskretu]]aren oinarria multzo-teoria dela ezin daiteke uka; matematikariek onartu dute arlo horietako teoremak, multzo-teoriako axiometatik eta definizioetatik abiatuz lor daitezkeela. Metamath egiaztatze-proiektuak multzo-teoriako, lehen ordenako logikako eta [[logika proposizional]]eko 12.000 teorema baino gehiagoren egiaztapenak ditu, gizakiak idatzitako eta konputagailuak egiaztatutakoak guztiak.

== Multzo-teoria axiomatikoa ==
Oinarrizko [[Multzo|multzo-teoria]] modu informalean eta intuizioa erabiliz azter daiteke. Halaxe irakasten da eskoletan, [[Vennen diagrama]]k erabiliz. Modu intuitiboan, multzoa baldintza jakin bat betetzen duten objektuek osatutako klasetik osa daitekeela esaten da. Baina, definizio horrek hainbat [[paradoxa]]rako bidea ematen du. Ezagunenak [[Bertrand Russell]] matematikariak aurkitutako [[Russell-en paradoxa]], [[Burali-Forti-ren paradoxa]] eta [[Cantor-en paradoxa]] dira. Paradoxa horiek hasiera batean [[Georg Cantor]] eta [[Gottlob Frege]] matematikariek garatutako multzoen teoria kontraesankorra dela frogatu zuten.

Matematika azaltzeko oinarrizko tresna multzo-teoria izanik, paradoxa horiek saihestea beharrezkoa bihurtu zen. Lehen-mailako [[logika]] erabiliz eta multzo-teoria ondo eraikitzeko helburuarekin [[multzo-teoria axiomatikoa]] garatu zen, Zermelo-Fraenkel-en axiomak, adibidez. Hala ere, kasu askotan multzo-teoriaren oinarrizko formulazioa erabiltzea nahikoa izaten da.

==Ikasketa eremuak==
Multzoen teoria da matematikako ikerketa-arlo nagusietako bat, eta elkarrekin lotutako azpi-esparru asko ditu.
===Multzoen teoria konbinatorioa===
Multzoen teoria konbinatorioa [[Konbinatoria|konbinazio finitutik]] multzo infinituetara egiten diren luzapenei dagokie. Honek barne hartzen ditu [[Zenbaki kardinal|aritmetika kardinalaren]] azterketa eta [[Ramseyren teorema|Ramseyren teoremaren]] hedaduren azterketa, hala nola Erdos-Ko-Radoren teorema.

===Multzoen teoria deskribatzailea===
Multzoen teoria deskribatzailea [[Zuzen erreal|zuzen errealaren]] azpimultzoen azterketa da, eta, gehienetan, poloniar espazioen azpimultzoena. [[Borelen hierarkia|Borelen hierarkiako]] «puntu motak» aztertzearekin hasten da, hierarkia konplexuagoetara zabaltzen da, hala nola [[hierarkia proiektibo]] eta [[Wadgeren hierarkia|Wadgeren hierarkiara]]. Borelen multzoen propietate asko ZFCn ([[Zermelo-Fraenkel-en axiomak]]) ezar daitezke, baina propietate horiek multzo konplexuagoetan mantentzen direla frogatzeko, determinazioarekin eta kardinal handiekin lotutako axioma gehigarriak behar dira.

Multzoen teoria deskribatzaile eraginkorraren eremua multzoen teoriaren eta [[Konputagarritasunaren teoria|errekurtsioaren teoriaren]] artean dago. Puntu arinen klaseen azterketa barne hartzen du, eta teoria hiperaritmetikoarekin estuki lotuta dago. Kasu askotan, multzoen teoria deskribatzaile klasikoaren emaitzek bertsio eraginkorrak dituzte; beste batzuetan, emaitza berriak lortzeko, lehenik bertsio eraginkorra frogatu behar da, eta, gero, bertsio hori hedatu (erlatibizatuz), zabalago aplika ahal izateko.

Duela gutxi, Borelen baliokidetasun-erlazioak eta baliokidetasun-erlazio definigarri konplexuagoak aztertzen hasi dira. Horrek, matematikaren arlo askotan, aplikazio garrantzitsuak ditu aldaezinen ikasketan.

===Multzo lausoen teoria===
Multzoen teorian, [[Georg Cantor|Cantorrek]] definitu eta Zermelok eta Fraenkelek axiomatizatu zuten moduan, objektu bat multzo bateko kide da, edo ez da. Multzo zehaztugabeen teorian, baldintza hori [[Lotfi A. Zadeh|Lotfi A. Zadeh-k]] erlaxatu zuen, esanez objektu batek multzo baten parte izateko maila bat duela, 0 eta 1en arteko zenbaki bat. Adibidez, pertsona bat «pertsona altuen» multzokoa izatea malguagoa da baiezko edo ezezko erantzun soil bat baino, eta 0,75 gisako zenbaki erreal bat izan daiteke.

===Barne ereduaren teoria===
Zermelo-Fraenkelen (ZF) multzoen teoriaren ''barne-eredu'' bat da ordinal guztiak barne hartzen dituen eta ZFren axioma guztiak betetzen dituen klase iragankor bat. Adibide kanonikoa Gödel-ek garatutako '''''L''''' unibertso eraikigarria da. Barne-ereduen azterketa interesgarria izatearen arrazoietako bat da trinkotasun-emaitzak frogatzeko erabil daitekeela. Adibidez, froga daiteke jatorrizko ereduaren barruan eraikitako '''''L''''' barne-ereduak bai continuum orokortuaren hipotesia bai hautapen-axioma asebeteko dituela ZFren '''''V''''' eredu batek jarraituaren hipotesia edo [[Hautapenaren axioma]] betetzen baditu ere. Hala, ZF tinkoa delako hipotesiak (gutxienez eredu bat badu) esan nahi du ZF, bi printzipio horiekin batera, tinkoa dela.

Barne-ereduen azterketa ohikoa da determinazioaren eta kardinal handien azterketan, bereziki, hautapenaren axiomaren aurkako determinazio-axiomatzat hartzen direnean. Multzoen teoriaren eredu finko batek hautapenaren axioma asetzen badu ere, baliteke barne-eredu batek hautapenaren axioma ez asetzea. Adibidez, kardinalak behar bezain handiak izateak esan nahi du determinazio-axioma betetzen duen barne-eredu bat dagoela (eta, beraz, ez du betetzen hautapenaren axioma)<ref>{{Erreferentzia |abizena1=Jech | izena1=Thomas | author1-link=Thomas Jech | izenburua=Set Theory |url=https://archive.org/details/settheory0000jech_f7i4 | edizioa= Third Millennium | argitaletxea=Springer-Verlag | lekua=Berlín, Nueva York | serie=Springer Monographs in Mathematics | isbn=978-3-540-44085-7 | urtea=2003 | zbl=1007.03002 | página=642 }}</ref>.

===Kardinal handiak===
Kardinal handi bat da propietate gehigarri bat duen [[zenbaki kardinal]] bat. Mota horretako propietate asko aztertzen dira, kardinal eskuraezinak, kardinal neurgarriak eta beste asko barne. Propietate horiek, eskuarki, zenbaki kardinalak oso handia izan behar duela esan nahi dute, eta [[Zermelo-Fraenkelen axiomak|Zermelo-Fraenkelen]] multzoen teorian frogatu ezin den propietate espezifikatuko kardinal bat izan behar duela.

===Zehaztapena===
Zehaztapenak esan nahi du, hipotesi egokien pean, informazio perfektua duten bi jokalariren zenbait jokok hasieratik adierazten dutela jokalari batek estrategia irabazlea izan behar duela. Estrategia horiek egoteak ondorio garrantzitsuak ditu multzoen teoria deskribatzailean, Izan ere, joko-mota zabalago bat zehazturik dagoela suposatzeak maiz esan nahi du multzo-mota zabalago batek propietate topologiko bat izango duela. Zehaztapen-axioma (ZA) aztergai garrantzitsua da; aukerako axiomarekin bateraezina den arren, ZAk esan nahi du [[Zuzen erreal|zuzen errealeko]] azpimultzo guztiek ondo jokatzen dutela (partikularki, neurgarriak eta multzo perfektuaren propietatearekin). ZA erabil daiteke Wadges-en graduek egitura dotorea dutela erakusteko.

===Behartze===
[[Paul Cohen|Paul Cohenek]] behartze-metodoa asmatu zuen jarraituaren hipotesiak huts egingo zuen [[Zermelo-Fraenkelen axiomak|ZFC]] eredu bat edo [[Hautapenaren axioma|hautapenaren axiomak]] huts egingo zuen ZF eredu bat bilatzen ari zelarik. Behartzeak multzo gehigarrien teoriaren eredu jakin batera darama erantsitako jatorrizko eraikuntzak eta ereduak zehaztutako propietateak (hau da, ''behartuak'') dituen eredu handiago bat sortzeko. Adibidez, Cohenen eraikuntzak [[Zenbaki arrunt|zenbaki arrunten]] azpimultzo gehigarriak lotzen ditu jatorrizko ereduko [[Zenbaki kardinal|zenbaki kardinaletako]] bat bera ere aldatu gabe. Behartzea da, halaber, trinkotasun erlatiboa frogatzeko metodoetako bat bukaera duten metodoen bidez, beste metodoa da eredu boolear baliozkotua.

===Aldaezin kardinalak===
Aldaezin kardinala zenbaki kardinal batek neurtutako lerro errealaren propietate bat da. Adibidez, ondo aztertutako aldaezin bat da [[Zenbaki erreal|zenbaki errealen]] multzo txiki baten kardinaletasun txikiena, zeinaren lotura [[zuzen erreal]] osoa den. Aldaezinak dira zentzu honetan: multzoen teoriaren bi eredu isomorfikok kardinal bera eman behar dute aldaezin bakoitzarentzat. Aldaezin kardinal asko aztertu dira, eta haien arteko erlazioak konplexuak dira askotan, eta multzoen teoriaren axiomekin lotuta daude.

===Multzoen topologia===
Multzoen topologia teorikoak [[Topologia orokor|topologia orokorreko]] gaiak aztertzen ditu multzoen izaera teorikokoak direnak edo multzoen teoriaren metodo aurreratuak behar dituztenak ebazteko. Teorema horietako asko ZFCrekiko independenteak dira, frogatzeko axioma indartsuagoak eskatuz. Arazo ospetsu bat da Mooreren espazio normala, sakon ikertu zen topologia orokorreko gai bat. Azkenik, Mooreren espazio normalaren auziaren erantzuna ZFCrekiko independentea dela frogatu zen.

==Multzoen teoriari eragozpenak==
Multzoen teoriaren hastapenetatik, matematikari batzuek eragozpenak jarri dituzte matematikaren oinarritzat hartzeko. Multzoen teoriari buruzko eragozpenik ohikoena (multzoen teoriaren lehen urteetan adierazitako Kronecker bat), matematika konputazioarekin nolabait lotuta dagoela dioen ikuspegi konstruktibistatik abiatzen da. Ikuspuntu hori onartzen bada, orduan, multzo infinituen tratamendua, bai [[Multzoen teoria informal|multzoen teoria informalean]], bai multzoen teoria axiomatikoan, konputagarriak ez diren, ezta printzipioz ere, metodoak eta objektuak sartzen ditu matematikan. Konstruktibismoaren bideragarritasuna matematikaren ordezko oinarri gisa nabarmen handitu zen [[Errett Bishop|Errett Bishop-en]] ''Foundations of Constructive Analysis'' liburu eragingarriarekin<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Foundations of Constructive Analysis|abizena=Bishop|izena=Errett|argitaletxea=Academic Press|urtea=1967|isbn=4-87187-714-0|lekua=New York|author-link=Errett Bishop}}</ref>.

[[Henri Poincaré|Henri Poincarék]] beste eragozpen bat jarri zuen: espezifikazio- eta ordezkapen-eskema axiomatikoen bidez eta potentzia multzoaren axiomaren bidez multzoak definitzean, inpredikatibitatea sartzen da (zirkularitate mota bat) matematika-objektuen definizioetan. Prediktibitatean oinarritutako matematikaren helmena, onartutako Zermelo-Fraenkelen teoria baino txikiagoa den arren, matematika konstruktibokoa baino askoz handiagoa da, hainbesteraino, ezen [[Solomon Feferman|Solomon Fefermanek]] esan baitu zientifikoki aplika daitekeen analisi guztia garatu daitekeela metodo predikatiboak erabiliz<ref>{{Erreferentzia|izenburua=In the Light of Logic|abizena=Feferman|izena=Solomon|argitaletxea=Oxford University Press|urtea=1998|isbn=0195080300|lekua=New York|orrialdeak=280-283, 293-294|author-link=}}</ref>.

[[Ludwig Wittgenstein|Ludwig Wittgensteinek]] filosofikoki gaitzetsi zuen multzoen teoria, platonismo matematikoaren konnotazioengatik<ref>{{SEP|url-id=wittgenstein-matemáticas|abizena=Rodych|izena=Victor|date=31 de enero de 2018|izenburua=Filosofía de las Matemáticas de Wittgenstein|edizioa=Primavera 2018|ref={{harvid|Rodych|2018}}}}</ref>. Idatzi zuen: «multzoen teoria okerra da, fikziozko sinbolismoaren zentzugabekerian oinarritzen baita; mugimendu kaltegarriak ditu, eta zenbaki guztiez hitz egiteak ez du zentzurik»<ref>{{Erreferentzia |abizena=Wittgenstein |izena=Ludwig |urtea=1975 |izenburua=Philosophical Remarks, §129, §174 |argitaletxea=Oxford: Basil Blackwell |isbn=0631191305 }}</ref>. Wittgensteinek giza dedukzio algoritmikoarekin identifikatu zuen matematika{{Sfn|Rodych|2018|loc=§2.1|ps= ''Teorema bat frogatzen dugunean edo proposizio bat erabakitzen dugunean, modu formal, sintaktiko hutsean jarduten dugu. Matematika egitean, ez genuen aurkitu aurretik existitzen zen egiarik, norberak jakin gabe hor baitzeuden'' (PG 481) -''matematika pixkanaka asmatu genuen. Kontuan izan, hala ere, Wittgensteinek ez duela dedukzio hori logika filosofikoarekin identifikatzen''; c.f. Rodych §1, párrs. 7-12.}}; matematikarako oinarri seguruaren beharra zentzugabekeria iruditzen zitzaion{{Sfn|Rodych|2018|loc=§3.4|ps=: ''Matematika proba-tekniken «motley» bat denez'' (RFM III, §46), ''ez du oinarririk behar'' (RFM VII, §16) ''eta ezin zaio oinarri autonabaria eman'' (PR §160; WVC 34 & 62; RFM IV, §3). ''Multzoen teoria matematikari oinarri bat emateko asmatu zenez, ez da beharrezkoa''.}}. Gainera, giza ahalegina mugatua denez, Wittgensteinen filosofiak konpromiso [[Ontologia|ontologikoa]] eskatzen zuen konstruktibismo erradikalarekin eta [[Finitismo|finitismoarekin]]. Enuntziatu meta-matematikoak ―zeinak Wittgensteinen aburuz domeinu infinituei buruzko edozein enuntziatu sartzen zuten, eta, beraz, multzoen teoria moderno ia osoa― ez dira matematika{{Sfn|Rodych|2018|loc=§2.2|ps=: ''Eremu infinitu bati buruz kuantifikatzen duen adierazpena ez da inoiz zentzudun proposizioa, ezta frogatu dugunean ere, adibidez, ''n'' zenbaki partikular batek propietate partikular bat duela''}}. Filosofo moderno gutxik bereganatu dituzte Wittgensteinen ikuspuntuak, ''Matematikaren oinarriei buruzko oharrak'' artikuluarekin hanka-sartze ikusgarri bat egin ondoren: Wittgenstein saiatu zen [[Gödelen ez-osotasunaren teoremak]] ezeztatzen laburpena bakarrik irakurri ondoren. [[Georg Kreisel|Kreisel]], [[Paul Bernays|Bernays]], [[Michael Dummett|Dummett]] eta [[R.L Goodstein|Goodstein]] berrikusleek adierazi zutenez, bere kritika asko ez zitzaizkion artikulu osoari aplikatzen. Azken aldian, filosofo batzuk, hala nola Crispin Wright, hasi dira Wittgensteinen argudioak berritzen{{Sfn|Rodych|2018|loc=§3.6}}.

Kategoriaren teorialariek topoen teoria proposatu dute ohiko multzoen teoria axiomatikoaren alternatiba gisa. Topoen teoriak teoria horren zenbait alternatiba interpreta ditzake, hala nola konstruktibismoa, multzo finituen teoria eta [[Turingen makina|konputagarriaren]] multzoen teoria<ref>{{Erreferentzia|abizena1=Ferro|izena1=Alfredo|abizena2=Omodeo|izena2=Eugenio G.|abizena3=Schwartz|izena3=Jacob T.|date=September 1980|izenburua=Procedimientos de decisión para sublenguajes elementales de la teoría de conjuntos. I. Silogismo multinivel y algunas extensiones|journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]]|liburukia=33|alea=5|orrialdeak=599-608|doi=10.1002/cpa.3160330503 }}</ref><ref>{{Erreferentzia|url=https://archive.org/details/computablesetthe00cant/page/|izenburua=Teoría de Conjuntos Computables|abizena1=Cantone|izena1=Domenico|abizena2=Ferro|izena2=Alfredo|abizena3=Omodeo|izena3=Eugenio G. |argitaletxea=[[Clarendon Press]]|urtea=1989|isbn=0-19-853807-3|series=Serie Internacional de Monografías sobre Ciencias de la Computación, Oxford Science Publications|lekua=Oxford, UK|orrialdeak=[https://archive. org/details/computablesetthe00cant/page/ xii, 347]}}</ref>. Topoek ere marko natural bat ematen dute ZFren hautaketaren independentzia behartu eta eztabaidatzeko, zentzurik gabeko topologiarako markoa eta Stone-ren espazioa emateaz gain<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory|abizena1=Mac Lane|izena1=Saunders|abizena2=Moerdijk|izena2=leke|argitaletxea=Springer-Verlag|urtea=1992|isbn=9780387977102|author-link=Saunders Mac Lane}}</ref>.

Ikerketa aktiboko arlo bat oinarri unibalenteena da, eta horrekin lotuta dago [[Moten teoria homotopiko|Moten teoria homotopikoa]]. Mota teoria homotopikoaren multzo bat homotopiaren 0 motatzat har daiteke, goiko mota induktiboen propietate induktibo eta errekurtsiboetatik sortzen diren multzoen «propietate unibertsalak» dituena. [[Hautapenaren axioma]] eta kanpoan utzitako [[Hirugarrena baztertzearen printzipio|hirugarrenaren printzipioa]] formula daitezke formulazio klasikoari dagokion modu batean multzoen teorian edo, agian, moten teoriarekin bat ez datozen forma desberdinen espektro batean. Printzipio horietako batzuk beste printzipio batzuen ondorioz froga daitezke. Printzipio axiomatiko horien formulazioak askotarikoak direnez, zehatz-mehatz azter daitezke behar diren formulazioak zenbait emaitza matematiko ondorioztatzeko<ref>[http://homotopytypetheory.org/book/ ''Homotopy Type Theory: Fundamentos Univalentes de las Matemáticas'']. Programa de Fundamentos Univalentes. [[Instituto de Estudios Avanzados]].</ref>.

== Ikus, gainera ==
* [[Multzo]]
* [[Venn diagrama]]
* [[Multzoen arteko aljebra]]
* [[Multzoen teoria informal]]

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda|30em}}
=== Bibliografia ===
*{{Erreferentzia|abizena=Ivorra|izena=Carlos|izenburua=Lógica y teoría de conjuntos|url=http://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf|fechaacceso=18 de octubre de 2010}}.
*{{Erreferentzia|url=http://stanford.library.usyd.edu.au/entries/set-theory/|fechaacceso=16 de diciembre de 2011|egilea=Jech, Thomas|izenburua=Set Theory|lana=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] (Fall 2011 edition)|hizkuntza=en}}
*{{Erreferentzia|abizena=Devlin|izena=Keith|author-link=Keith Devlin|edizioa=2nd|isbn=0-387-94094-4|argitaletxea=Springer Verlag|izenburua=The Joy of Sets|urtea=1993}}
*{{Erreferentzia|abizena=Ferreirós|izena=Jose|isbn=978-3-7643-8349-7|lekua=Basel|argitaletxea=Birkhäuser|izenburua=Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics|urtea=2007}}
*{{Erreferentzia|abizena=Johnson|izena=Philip|isbn=0-87150-154-6|argitaletxea=Prindle, Weber & Schmidt|izenburua=A History of Set Theory|urtea=1972|url-access=registration|url=https://archive.org/details/mathematicalcirc0000eves_x3z6}}
*{{Erreferentzia|abizena=Kunen|izena=Kenneth|author-link=Kenneth Kunen|isbn=0-444-85401-0|argitaletxea=North-Holland|izenburua=[[Set Theory: An Introduction to Independence Proofs]]|urtea=1980}}
*{{Erreferentzia|abizena=Potter|izena=Michael|argitaletxea=[[Oxford University Press]]|izenburua=Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction|urtea=2004}}
*{{Erreferentzia|abizena=Tiles|izena=Mary|author-link=Mary Tiles|isbn=978-0-486-43520-6|argitaletxea=[[Dover Publications]]|izenburua=The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise|urtea=2004}}
*{{Erreferentzia|abizena1=Smullyan|izena1=Raymond M.|author-link=Raymond Smullyan|abizena2=Fitting|izena2=Melvin|isbn=978-0-486-47484-7|argitaletxea=[[Dover Publications]]|izenburua=Set Theory And The Continuum Problem|url=https://archive.org/details/settheorycontinu0000smul|urtea=2010}}
*{{Erreferentzia|abizena=Monk|izena=J. Donald|isbn=978-0898740066|argitaletxea=McGraw-Hill Book Company|izenburua=Introduction to Set Theory|url=https://archive.org/details/introductiontose0000monk|urtea=1969}}

== Kanpo estekak ==
* {{en}} https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_set_identities_and_relations List of set identities and relations (Wikipedia)
* {{en}} Weisstein, Eric W. https://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html "Set Theory." From ''MathWorld''--A Wolfram Web Resource,  
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Multzo-teoria]]
[[Kategoria:Programazio hizkuntzen gaiak]]