Pitagorasen teorema-en iturria ikusi

{{Wikipedia1000}}
{{HezkuntzaPrograma|Matematika}}
[[Fitxategi:Pitagorasen Teorema azalpena.webm|thumb|'''Pitagorasen teorema''' ulertzeko bideoa.{{Jakindun}}]]
[[Fitxategi:Pythagorean.svg|thumb|Triangelu zuzena. Katetoak ''a'' eta ''b'' bezala adierazten dira eta hipotenusa ''c'' bezala. Bakoitzaren karratuak kolore ezberdinez adierazten dira hemen: ''a''<sup>2</sup> (urdina), ''b''<sup>2</sup> (gorria), eta ''c''<sup>2</sup> (morea).]]

[[Matematika|Matematikan]], '''Pitagorasen teorema''' [[Geometria euklidear|geometria euklidiarrean]]  [[Triangelu angeluzuzen|triangelu angeluzuzuen]] baten hiru aldeen arteko funtsezko erlazioa da. Honakoa dio:<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Pitagorasen teorema - Harluxet Hiztegi Entziklopedikoa|url=http://www1.euskadi.net/harluxet/hiztegia1.asp?sarrera=Pitagorasenteorema|aldizkaria=www1.euskadi.net|sartze-data=2023-06-08}}</ref> 
{{Teorema|Triangelu angeluzuzen batean, katetoen karratuen batura hipotenusaren karratuaren berdina da.|izenburua=Pitagorasen teorema|título=}}

Beste modu batera esanik, [[hipotenusa|hipotenusa]] <math>c</math>, aldetzat duen [[karratu|karratuaren]] azalera, triangeluan kontrako angeluzuzena osatzen duten bi aldeen, <math>a</math> eta <math>b</math>, karratuen azaleren batura da. Hau da: 
{{Ekuazio|:<math>a^2 + b^2 = c^2,</math>}}
ekuazio honi batzuetan '''Pitagorasen ekuazioa''' deitzen zaio.<ref>{{Erreferentzia|izena=Judith D.|abizena=Sally|izenburua=Roots to research: a vertical development of mathematical problems|url=https://archive.org/details/rootstoresearchv0000sall|argitaletxea=American Mathematical Society|abizena2=Sally|izena2=Paul|data=2007|isbn=978-0-8218-4403-8|sartze-data=2023-06-04}}</ref>

Teoremak K.a. 570 inguruan jaiotako [[Pitagoras]] filosofo [[Greziar|greziarraren]] izena darama.  Teorema metodo desberdin askoren bidez frogatu izan da —segur aski, edozein teorema matematikok izandako frogatzerik handiena—. Frogak askotarikoak dira, [[Geometria|geometrikoak]] eta [[Aljebra|aljebraikoak]] barne, batzuk duela milaka urtekoak.

[[Euklidear espazio|Espazio euklidearra]] [[Koordenatu kartesiar|koordenatu kartesiarren sistema]] batek irudikatzen duenean [[Geometria analitiko|geometria analitikoan]], [[Distantzia euklidear|distantzia euklidearrak]] erlazio pitagorikoa betetzen du: bi punturen arteko distantzia puntuen arteko koordenatu bakoitzean dagoen aldearen karratuen batura da.

Teorema hainbat modutan [[Orokortze|orokortu]] daiteke: [[dimentsio]] gehiagoko espazioetara, [[Geometria ez-euklidear|euklidearrak ez diren espazioei]], triangelu zuzenak ez diren objektuei, eta triangeluak ez diren objektuei, baizik eta ''n''-dimentsiodun solidoak. Pitagorasen teoremak matematikatik kanpo interesa erakarri du abstrakzio matematikoaren, mistikoaren edo botere intelektualaren sinbolo gisa; erreferentzia herrikoi ugari ditu literaturan, antzerki-lanetan, musikaletan, abestietan, zigiluetan eta karikaturetan.

== Historia ==
Pitagorasen teoremak [[Pitagoras]] ([[K.a. VI. mendea]]) greziar filosofo eta matematikariaren ondoren darama izena, batez ere, haren froga [[Eskola pitagorikoa|eskola pitagorikoari]] zor zaiolako. Dena dela, lehenagoko, [[Mesopotamia]]n eta [[Antzinako Egipto]]n, bazuten zantzuaren aditzea, triangelu zuzenen aldeekin bat zetozen hirukote-balioak ezagutzen baitzituzten, eta triangelu horiei buruzko eragiketak ebazteko erabiltzen ziren, oholtxo eta papiro batzuetan adierazten den moduan<ref name=":0">{{Erreferentzia|izenburua=Pythagorean theorem {{!}} Definition & History {{!}} Britannica|hizkuntza=en|data=2023-04-27|url=https://www.britannica.com/science/Pythagorean-theorem|aldizkaria=www.britannica.com|sartze-data=2023-06-08}}</ref>. Hala ere, ez du luzaroan iraun inolako dokumenturik hori teorikoki erlazionatzen duenik.

Teoremaren historia lau zatitan bana daiteke: hirukote pitagorikoen ezagutza, triangelu zuzen baten aldeen arteko erlazioaren ezagutza, aldameneko angeluen arteko erlazioen ezagutza, eta sistema dedktibo batzuen barruan teoremak frogatzea.

Antzinako Egipton, K.a. 1800. urtean idatziriko papiro batean hirukote pitagorikoa erantzuntzat duen arazo bat biltzen du, nahiz eta triangeluekiko aipamenik ez dagoen. Mesopotamiako tauletan ere, K.a. 1800, [[Larsa|Larsatik]] gertu hirukote pitagorikoekin lotura estua duten sarrera ugari aurkitu dira.<ref>{{erreferentzia|izena=Eleanor|abizena=Robson|urtea=2001|izenburua=Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassesment of Primpton 322.|argitaletxea=Historia Mathematica|orrialdeak=167-206|zenbakia=28 (3)|doi=10.1006/hmat.2001.2317}}</ref> K.a. XXVI. mendeko [[Kefrenen piramidea]], egiptoar triangelu sakratuan oinarriturik eraiki zen lehen piramidea izan zen, 3-4-5 proportzioan.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=La pirámide de Kefren|url=https://www.maravillas-del-mundo.com/Piramides-de-Egipto/Piramide-de-Kefren.php|aldizkaria=www.maravillas-del-mundo.com|sartze-data=2022-11-11}}</ref>

[[India|Indian]], [[Baudhayana Shulba Sutra]]-k, K.a. VIII. eta V. mende bitartean, hirukote pitagorikoen zerrenda eta Pitagorasen teoremaren enuntziatua ditu.<ref>{{erreferentzia|izena=Kim|abizena=Plofker|urtea=2009|izenburua=Mathematics in India|argitaletxea=Princeton University Press|orrialdeak=17-18|ISBN=978-0-691-12067-6}}</ref><ref name=":0" />

Askoz lehenago ezagutzen diren edukiekin, baina K.a. I. mendetik bizirik dauden testuetan, [[Zhoubi Suanjing]] textu txinatarrean (''[[Gnomon|Gnomonen]] Klasiko Aritmetikoa eta Zeruko Bide Zirzularrak'') (3,4,5) triangeluarentzako Pitagorasen teorema bidezko arrazoimena dago. Txinan honi "''Gougu teorema"'' deitzen diote.<ref>{{erreferentzia|izena=Christopher|abizena=Cullen|urtea=2007|izenburua=Astronomy and Mathematics in Ancient China. The 'Zhou Bi Suan Jing'.|argitaletxea=Cambridge University Press|orrialdea=139|ISBN=978-0-521-03537-8}}</ref> [[Han dinastia|Han dinastiaren]] garaian (K.a. 206tik K.o. 220ra), ''[[Matematika-artearen bederatzi kapituluak]]''-en hirukote pitagorikoak agertzen dira, hauei dagozkien triangelu angeluzuzenen aipamenekin bat.<ref>{{erreferentzia|urtea=1999|izenburua=The nine chapters on the mathematical art: companion and commentary|argitaletxea=Oxford University Press|orrialdea=488|ISBN=0-19-853936-3|hizkuntza=en|egileak=Kangshen Shen; John N. Crossley; Anthony Wah-Cheung Lun}}</ref>

Teorema Euklidesen ''Elementuak''en (I. Liburua, 47. Proposizioa) agertzen da, "Arotzaren teorema" izenez, eta bertan katetoen karratuen batura hipotenusaren karratua dela frogatzen du.<ref name=":1" /> Bestalde, Pitagorikoek triangeluen parekotasunaren bitartez frogatu zutela uste da, nahiz eta ez gauden zihur parekotasunaren teoria garai hartan ezaguna al zen.<ref>{{Erreferentzia|izena=Eli|abizena=Maor|izenburua=The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History|argitaletxea=Princeton University Press|orrialdea=25|hizkuntza=en|data=2007|url=https://books.google.nl/books?id=Z5VoBGy3AoAC&pg=PA25&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|isbn=978-0-691-12526-8|sartze-data=2023-06-30}}</ref>

== Frogak ==
[[Fitxategi:Pitagorasen teorema Birantolaketa froga.gif|thumb|Birantolakuntza froga, berdinak diren lau triangelu zuzen erabiliz. Animazioan zati ilun zein argien azalera ez da inoiz aldatzen, ondorioz, ''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup> eta ''c''<sup>2</sup> balio bera dute.]]
Pitagorasen teoremak froga ugari ditu, bakoitza bere metodoarekin. [[:en:Elisha_Scott_Loomis|E.S. Loomis]] matematikari estatubatuarrak adibidez, 1927. urtean, 367 froga batu zituen ''The Pythogorean Proposition'' liburuan.<ref>{{Erreferentzia|izena=Elisha Scott|abizena=Loomis|izenburua=The Pythagorean Proposition: Its Demonstrations Analyzed and Classified, and Bibliography of Sources for Data of the Four Kinds of Proofs|argitaletxea=National Council of Teachers of Mathematics|hizkuntza=en|data=1968|url=https://books.google.com/books?id=V_o-AAAAIAAJ&newbks=0&hl=eu|isbn=978-0-87353-036-1|sartze-data=2023-06-30}}</ref> Liburu horretan, Loomisek ebazpenak lau multzo handitan banatu zituen: '''aljebraikoak''', non triangeluaren aldeak eta segmentuak erlazionatzen diren; '''geometrikoak''', non azaleren konparaketa egiten den; '''dinamikoak''' indarra eta masaren propietateen bidez; eta '''koaternioiak''', bektoreen bidez.

=== Froga algebraikoak ===
Ondorengo froga [[Zhoubi Suanjing]], K.a. 500-300 urteen artean idatzitako lan matematiko txinatarrean agertzen da, baina Pitagorasek obra honen berri izan ez zuelako ustea dago.

Froga honela doa. Demagun triangelu angeluzuzen bat dugula, <math>a</math>, <math>b</math> katetoak (orokortasunik galdu gabe, demagun <math>a\leq b</math>) eta <math>c</math> hipotenusa dituena.

Beheko animazioan ikusten den bezala, <math>c</math> aldedun karratuan hasieran barnean zuen triangeluaz gain, alde bakoitzari <math>a</math> eta <math>b</math> katetodun beste triangelu bat gehitzen badiogu, karratu txikiago bat lortuko dugu erdian. Barneko karratu honen aldeen luzera <math>b-a</math> da (gogoratu <math>a\leq b</math> hipotesiz). Karratu baten azalera aldeen karratua denez, eta triangeluzuzen baten azalera katetoen biderketaren erdia, <math>c</math> aldedun karratuaren azalera lau triangeluren azaleren batura gehi erdiko karratuaren azalera da. Hau da, froga amaituz:

{{Ekuazio|:<math>c^2=4\left(\frac{a\cdot b}{2}\right)+(b-a)^2=b^2+a^2.</math>}}

[[Fitxategi:Pythagoras-2a.gif|thumb|Zhoubiko frogaren animazioa.]]

Antzeko froga bat ere bada hipotenusaren aldeak kanporantz definituriko karratua aztertu beharrean, barrurantz definituriko karratua aztertzen duena.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Pythagorean Theorem and its many proofs|url=http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml#3|aldizkaria=www.cut-the-knot.org|sartze-data=2023-07-13}}</ref> Hau da, <math>c</math> aldedun karratuaren kanpoko alde bakoitzean, lau denera, <math>c</math> hipotenusadun triangeluak jarriz gero, <math>a+b</math> luzeradun aldea duen karratua lortuko dugu. Beraz, <math>(a+b)^2</math> azaleraduna. Lau triangeluek eta <math>c</math> aldedun karratuak karratu haundienaren azalera bera izan behar duenez:

{{Ekuazio|:<math>(a+b)^2=c^2+4\frac{ab}{2}=c^2+2ab,</math>}}

Pitagorasen ekuazioa ondorioztatuz

{{Ekuazio|:<math>c^2=(a+b)^2-2ab=b^2+2ab+a^2-2ab=a^2+b^2.</math>}}


[[Fitxategi:Pythagoras algebraic2.svg|thumb|Pitagorasen teoremaren froga diagramatikoa.]]

=== Froga geometrikoak ===
==== Triangeluen antzekotasuna ====
[[Fitxategi:Teorema_de_Pitágoras.Pitágoras.svg|thumb|Triangeluen parekotasunaren eskema.]]

Froga hasi aurretik, gogoan izan bi triangeluren angeluak kongruenteak badira, [[Antzekotasun (geometria)|antzeko triangeluak]] direla. Kasu honetan, dagozkien aldeen luzerak proportzionalak dira. 

<math>ABC</math> triangelua bi triangeluzuzenetan zatitu daiteke, <math>C</math> angeluan oinarriarekiko zuzena botaz, irudian ikusten den moduan. 

<math>ABC</math>, <math>AHC</math> eta <math>BHC</math> triangelu angeluzuzenek angelu kongruenteak dituzte: <math>C</math> angeluzuzena, <math>\angle{AHC}</math> eta <math>\angle{BHC}</math> angeluzuzenez ordezkatu dugu. Ondorioz, esandako triangeluak antzekoak dira, ondorengo ekuazioak betez

* <math>ABC</math> eta <math>AHC</math>-ren arteko antzekotasuna:

{{Ekuazio|:<math> \frac{b}{b'}=\frac{c}{b},  </math>}}
{{Ekuazio|:<math>\Rightarrow b^2=b'c. </math>}}

* <math>ABC</math> eta <math>BHC</math>-ren arteko antzekotasuna:

{{Ekuazio|:<math> \frac{a}{a'}=\frac{c}{b},  </math>}}
{{Ekuazio|:<math>\Rightarrow a^2=a'c. </math>}}

Aurreko bi ekuazioak batuz gero:
{{Ekuazio|:<math> a^2+b^2=a'c+b'c=c(a'+b'),  </math>}}
baina <math> (a'+b')=c  </math>  denez, azkenik, Pitagorasen ekuazioa lortzen da:
{{Ekuazio|:<math>a^2+b^2=c^2.</math>}}

====Einsteinen froga trigonometrikoa====
[[Fitxategi:Einstein-trigonometric-proof.svg|alt=|thumb|Hipotenusako angeluzuzenaren zatiketa, Einsteinen frogan bezala.]]

Antzeko triangeluen frogaren moduan, [[Albert Einstein|Albert Einstenen]] frogak ere hipotenusako angeluzuzena zatitzen du aurkako aldera perpendikularra sortuz. Triangelu angeluzuzen baten barruko ratioa [[Sinu|sinuaren]] definizioan erabiliz gero:

{{Ekuazio|:<math>\sin(\alpha)=\frac{a}{c},</math>}}
{{Ekuazio|:<math>\sin(\beta)=\frac{b}{c},</math>}}
{{Ekuazio|:<math>c=b\sin(\beta)+a\sin(\alpha)=\frac{b^2}{c}+\frac{a^2}{c},</math>}}
eta beraz
{{Ekuazio|:<math>c^2=a^2+b^2.</math>}}

====Froga grafikoa====

Ezkerreko irudian ikusten den <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> aldedun triangelu angeluzuzen eta katetoei eta hipotenusari dagokien karratuetatik abiatuz, bi karratu ezberdin eraikitzen dira:

* Horietako bat katetoen karratuez eta hasierako triangeluaren berdinak diren beste lau triangelu angeluzuzenez dago osaturik (erdiko irudia).

* Beste karratua aurreko lau triangeluek eta hipotenusaren karratuak osatzen dute (eskuineko irudia).

Hauetako karratu bakoitzari triangeluak kentzen badizkiogu, nabarmena da azalera griseko karratua <math>(c^2)</math>, karratu urdin eta horiaren <math>(b^2+a^2)</math> baliokidea dela. Horrela, Pitagorasen teorema frogatzen da.
[[Fitxategi:Teorema_de_Pitágoras.Pitágoras_b.svg|alt=|erdian|thumb|Zentroko karratuen baturak eta eskuinekoak azalera bera dute.]]

=== Froga analitikoa ===

[[Kalkulu diferentzial|Kalkulu diferentziala]] erabiliz ere lortu dezakegu teoremaren frogarik. Kalkuluko notazioarekin bat egiteko, <math>ABC</math> triangeluaren aldeei izena aldatuko diegu, <math>y:=c</math> deituz hipotenusaren luzerari eta <math>x:=b</math> kateto bertikalari diagraman ikusi daitekeen moduan. <math>AC</math> aldea apur bat luzatuz gero, <math>\mathrm{d}x</math> kopuruz, orduan <math>y</math> ere apur bat haundituko da, <math>ADB</math> triangelua sortuz. <math>C</math> puntutik <math>BE</math> aldearekiko perpendikularra hartuz gero, <math>CDE</math> triangelua sortua dugu, gutxi gorabehera <math>ABC</math> triangeluaren antzekoa. Beraz, triangeluen antzekotasuna erabiliz, aldeen proportzioa berdina izan beharko luke, hau da:

{{Ekuazio|:<math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{x}{y}.</math>}}

Honek [[ekuazio diferentzial|ekuazio diferentzial]] batera garamatza, <math>y\mathrm{d}y=x\mathrm{d}x</math>, zuzenean ebatzi dezakeguna integratuz:

{{Ekuazio|:<math>\int y\mathrm{d}y=\int x\mathrm{d}x,</math>}}

ondorioz

{{Ekuazio|:<math>y^2=x^2+C.</math>}}

Konstantea erraz aurkitu dezakegu <math>x=0</math> eta <math>y=a</math> hartuz, hau da, <math>C=a^2</math>. Froga hau intuitiboa da, baina zehatz egin daiteke limiteak hartuz, erreferentzian ikus daitekeen moduan.<ref>{{erreferentzia|izena=Mike|abizena=Staring|urtea=1996|izenburua=The Pythagorean Proposition: A Proof by Means of Calculus|argitaletxea=Mathematics Magazine|orrialdeak=45-46|hizkuntza=en|url=https://www.tandfonline.com/doi/epdf/10.1080/0025570X.1996.11996380?needAccess=true|zenbakia=69(1)}}</ref>

[[Fitxategi:Pythag differential proof.svg|thumb|Pitagorasen teoremaren froga diferentziala.]]

== Teoremaren alderantzizkoa ==
Pitagorasen teoremaren alderantzizkoa ere egia da. Hau da, <math>a</math>,<math>b</math> eta <math>c</math> luzerako aldeak dituen triangelu bat emanik, <math>a^2+b^2=c^2</math> betetzen bada, orduan <math>a</math> eta <math>b</math> aldeen arteko angelua angelu zuzena da.

Teorema hau Euklidesen ''Elementuak''en (I. Liburua, 48. Proposizioa)<ref name=":1">{{erreferentzia|izena=Patxi|abizena=Angulo Martin|urtea=2005|izenburua=Euklides. Elementuak|argitaletxea=Elhuyar|ISBN=84-95338-26-7|hizkuntza=eu|url=https://www.elhuyar.eus/eu/denda/d/euklides-elementuak}}</ref> ageri da, aldeak definitzen duten karratuei erreferentzia eginez: "Triangelu baten aldeetako bateko karratua triangeluaren gainerako bi aldeetako karratuen batura berdina bada, orduan gainerako bi aldeek duten angelua angelu zuzena da."

Proba kosinuaren teorema erabiliz froga daiteke. <math>ABC</math> triangelu orokor bat emanik, non <math>a</math>, <math>b</math> eta <math>c</math> aldeek pitagorasen erlazioa betetzen duten <math>a^2+b^2=c^2</math>, baina triangeluak ez duelarik nahitaez angelu zuzenik. Bestalde, beti sor dezakegu beste triangelu <math>A'B'C'</math> bat, <math>a'=a</math> eta <math>b'=b</math> aldeak dituena, angelu zuzen bat izanik alde honetan, eta orain pitagorasen teoremaren ondorioz triangelu honen hipotenusak
{{Ekuazio|:<math>c'= \sqrt{a^2+b^2}=c</math>}}
beteko du. Beraz alde berdinak dituzten bi triangelu ditugu, <math>a</math>, <math>b</math> eta <math>c</math>, [[Kosinuaren teorema|kosinuaren teoremaren]] ondorioz, alegia triangeluaren angelu bakoitza hiru aldeek bakarrik zehazten dutenez, <math>ABC</math> triangeluko <math>a</math> eta <math>b</math> aldeen arteko angelua <math>A'B'C'</math> triangeluaren berdina da, hau da, angelu zuzena.

== Erabilera adibideak ==

=== Hirukote pitagorikoak ===

'''Hirukote pitagorikoak'''  hiru [[Zenbaki oso|zenbaki oso]] positiboz <math>a</math>, <math>b</math> eta <math>c</math> osatua dago, non pitagorasen erlazioa betetzen duten <math>a^2+b^2=c^2</math>. Horrelako hirukotea <math>(a,b,c)</math> idatzi ohi da, adibide ezagun bat <math>(3, 4, 5)</math> izanik.

Gainera, hiru zenbakiak <math>a</math>, <math>b</math> eta <math>c</math> [[Zenbaki elkarrekiko lehenak|elkarrekiko lehenak]] badira (hau da, [[Zatitzaile komun handiena|zatitzaile komun handiena]] <math>1</math> da), '''hirukote pitagoriko primitiboa''' deitzen diogu. Adibidez, <math>(3, 4, 5)</math> hirukote pitagoriko primitibo bat da, baina <math>(6, 8, 10)</math> ez.

Hirukote pitagorikoek triangelu zuzen baten hiru alde osoen luzera, hau da, aldearen luzera zenbaki oso bat da, deskribatzen dute. Hala ere, alde osoak ez diren triangelu zuzenek ez dute hirukote pitagorikoa osatzen. Adibidez, <math>a=1=b</math> eta <math>c=\sqrt{2}</math> aldeak dituen triangelua angeluzuzena da, baina ez da hirukote pitagorikoa, <math>\sqrt{2}</math> ez baita zenbaki oso bat.

Soluzio osoak bilatzean, <math>a^2+b^2=c^2</math> [[Ekuazio diofantoar|ekuazio diofantoarra]] da. Beraz, hirukot epitagorikoak ekuazio diofantino ez-lineal baten soluzio zaharrenen artean daude.

=== Zenbaki neurtezinak eraikitzea === 
{{sakontzeko|Zenbaki irrazional}}
Pitagorasen teoremaren ondorioetako klasikoetako bat, [[zenbaki neurtezin|zenbaki neurtezinak]] ([[Zenbaki arrazional|arrazionalak]] ez diren zenbaki [[Zenbaki erreal|errealak]]) zuzen eta konpasa erabiliz eraiki daitezkeela da. Honek [[Eskola pitagorikoa|eskola Pitagorikoaren]] zenbakien kontzueptuarekin talka egiten zuen, hauek proportzioak zenbaki osoen zatiketaz aztertzen baitzituzten (hau da, zenbaki arrazionalak bakarrik onartzen zituzten).<ref>{{erreferentzia|izena=Lavine|abizena=Shaughan|urtea=1994|izenburua=Understanding the infinite|argitaletxea=Harvard University Press|orrialdea=13|ISBN=0=674-92096-1|hizkuntza=en|url=https://books.google.nl/books?id=GvGqRYifGpMC&pg=PA13&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}</ref> Kondairak dio, pitagorikoek [[Hipaso]] (K.a. 500) itsasoan itoarazi zutela, zenbaki irrazionalen existentzia ezagutarazteagatik.<ref>{{erreferentzia|izena=Von Fritz|abizena=Kurt|urtea=1945|izenburua=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum|orrialdeak=242-264|hizkuntza=en|aldizkaria=Annals of Mathematics. Second Series|zenbakia=46 (2)|doi=10.2307/1969021}}</ref>

Zehazki, luzera <math>1</math> duten bi alde izanez gero, <math>a</math> eta <math>b</math>, zenbaki neurtezinak Pitagorasen teorema erabiliz eraiki daitezke, hipotenusa zenbaki irrazional neurtezina baita, <math>c=\sqrt{2}</math>.

=== Zenbaki konplexuak ===
{{sakontzeko|Zenbaki konplexu}}
[[Fitxategi:Complex conjugate picture.svg|thumb|Zenbaki konplexu baten <math>z</math> moduluaren <math>r</math> adierazpen grafikoa.]]
Jakina da zenbaki konplexu baten
{{Ekuazio|:<math>z=x+iy</math>,}}
[[balio absolutu|balio absolutua]], zenbaki konplexuen kasuan modulua ere deitua, parte erreal eta irudikariaren karratuen baturaren erroa dela
{{Ekuazio|:<math>r:=|z|=\sqrt{x^2+y^2}</math>.}}
Beste era batera esanik, zenbaki konplexuen moduluak, parte errealak eta irudikariak hirukote pitagorikoa osatzen dute. Hau da,
{{Ekuazio|:<math>r^2=x^2+y^2</math>.}}
Bada <math>r</math> geometrikoki, ardatz horizontala zati erreal bezala eta bertikala irudikari bezala, <math>(x,y)</math> puntuak onarriarekiko <math>0</math> luzera errepresentatzen du.

=== Geometria euklidearra ===
[[Koordenatu kartesiar|Koordenatu kartesiarretan]] ezarririko bi punturen arteko distantziaren ekuazioa Pitagorasen teoremaren ondorioa da. Plano errealeko bi punturen <math>(x_1,y_x)</math> eta <math>(x_2,y_2)</math> arteko distantzia, batzuetan distantzia Euklidearra deitua, honakoa da
{{Ekuazio|:<math>|(x_1,y_1)-(x_2,y_2)|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}</math>.}}
[[Fitxategi:Distantzia euklidearra.png|thumb|Koordenatu kartesiarretan bi punturen arteko distantzia euklidearraren azalpen geometrikoa.]]
Irudian ikus daitekeen bezala, bi punturen distantzia hauek osatzen duten triangelu angeluzuzenaren hipotenusatzat uler daiteke. Hala interpretatuz gero, triangeluaren bi katetoek <math>|x_1-x_2|</math> eta <math>|y_1-y_2|</math> luzera izango dute hurrenez hurrun. Balio absolutuaren karratuak sinua errespetatzen duenez,
{{Ekuazio|:<math>c^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2.</math>}}

Distantziaren nozio hau <math>n</math>-dimentsiodun espazio Euklidearretara orokortu daiteke. Bertan puntuak <math>n</math> dimentsiodun bektoreak dira, adibidez <math>A=(a_1,\ldots,a_n)</math> eta <mathB=(b_1,\ldots,b_n)</math>. Pitagorasen teoremaren orokortzean, bi bektore hauen arteko distantzia honako ekuazioaz definitzen da:
{{Ekuazio|:<math>\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+\cdots+(a_n-b_n)^2}=\sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i-b_1)^2}.</math>}}

=== Pitagorasen identitate trigonometrikoa ===

Diagraman ikusi daitekeen moduan, triangelu angeluzuzen batean <math>a</math> katekoaren eta <math>c</math> hipotenusaren arteko <math>\theta</math> angeluaren sinua eta kosinua aldeen ratioak definitzen ditu
{{Ekuazio|:<math>\sin\theta=\frac{b}{c},\quad\cos\theta=\frac{a}{c}.</math>}}
Identitate trigonometrikoa beraz Pitagorasen teoremaren ondorioa da<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Funciones circulares (trigonométricas): Razones trigonométricas, seno, coseno y tangente. Aplicaciones de medida|url=http://www.xtec.cat/~jlagares/mates/4eso/trigonometria/Trigonometria/trigonometria/medidas.htm|aldizkaria=www.xtec.cat|sartze-data=2022-11-11}}</ref> zeren
{{Ekuazio|:<math>\sin^2\theta+\cos^2\theta=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=1.</math>}}
Bestalde, antzeko triangeluetan aldeen arteko proportzioek angeluekiko mendekotasuna dute, triangeluen azalera edozein dela ere. Beraz hipotenusaren luzera unitatea duen triangelu angeluzuzen baten katetoek <math>\sin\theta</math> eta <math>\cos\theta</math> luzera dute, irudian ikusi daitekeen moduan.

=== Biderketa bektoriala ===
[[Fitxategi:Cross product parallelogram.svg|right|thumb|Biderketa eskalarra eta bektorialaren arteko erlazioa.]]
Pitagorasen teoremak [[biderketa eskalar|biderketa eskalarra]] eta [[biderketa bektorial|biderketa bektorialaren]] arteko erlazioa dakar:
{{Ekuazio|:<math>\|\textbf{a}\times \textbf{b}\|^2+(\mathbf{a}\dot\mathbf{b})^2=\|\mathbf{a}\|^2\|\mathbf{b}\|^2,</math>}}
<math>\mathbf{a}</math> eta <math>\mathbf{b}</math> bektoreak direlarik. Gogoratu operazio bilinear hauen definizioak honakoak direla
{{Ekuazio|:<math>\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= ab \mathbf{n} \sin{\theta}\\ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= ab \cos{\theta},\end{align}</math>}}
non <math>\mathbf{n}</math> bektore unitarioa, <math>\mathbf{a}</math> eta <math>\mathbf{b}</math> bektoreekiko normala den. Erlazioa beraz Pitagorasen teorema eta identitate trigonometrikoaren ondorioa da
{{Ekuazio|:<math>\|\textbf{a}\times \textbf{b}\|^2+(\mathbf{a}\dot\mathbf{b})^2 = a^2b^2 \mathbf{n}^2 \sin^2{\theta}+a^2b^2  \cos^2{\theta}=a^2b^2=\|a\|^2\|b\|^2.</math>}}

=== Pitagorasen alderantzizko teorema ===
Triangelu angeluzuzen batean, pitagorasen alderantzizko ekuazioak bi katetoak, <math>a</math> eta <math>b</math>, eta altuera <math>d</math> erlazionatzen ditu<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Pythagorean Theorem for the Reciprocals|url=https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PTForReciprocals.shtml|aldizkaria=www.cut-the-knot.org|sartze-data=2023-07-13}}</ref>:
{{Ekuazio|:<math>\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{d^2}.</math>}}

=== Gehiago ===

* Eskailera baten neurria kalkulatzeko; eskuratu nahi den hormaren h altuera eta erpinetik (lurzoru-horma) eskaileraren oinera dagoen p distantziak ezagutzen dira.

:<math>e^2=h^2+p^2</math>

:<math>e=\sqrt{h^2+p^2}</math>

* Geometria analitiko lauan,  <math>C(x_1,y_1)</math>eta <math>D(x_2,y_2)</math>puntuen artean distantzia aurkitzeko.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=La ecuacion de la recta que pasa por dos puntos {{!}} Superprof|hizkuntza=es|url=https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/recta/ecuacion-de-la-recta-que-pasa-por-dos-puntos.html/|aldizkaria=Material Didáctico - Superprof|sartze-data=2022-11-11}}</ref>

:<math>{CD}^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2</math>

* Geometrian, triangelu aldekide baten altuera aldearen menpe kalkulatzeko; ertza erabiliz tetraedro erregular baten altuera lortzeko. Zirkunskribatutako zirkunferentziaren erradioa ezagututa, inskribatutako triangelu aldekide eta hexagono erregular baten apotema aurkitzeko.
* Aljebran, zenbaki oso gaussiar bat lehena den aztertzeko. Adibidez, <math>\alpha=1+4i</math>, haren norma <math>N(\alpha)=1^2+4^2=17 </math> da.
* Arkeologoek Pitagorasen Teorema erabiltzen dute indusketetan. Indusketa bat hasten dutenean, sareta laukizuzen bat jartzen dute induskatu beharreko azaleraren gainean. Sareta zehatz bat izateko, oinarrizko lerroen luzera erabaki ondoren (eje-X eta eje-Y), diagonalaren luzera Pitagorasen Teorema erabiliz kalkulatzen da<ref>{{Erreferentzia|izenburua=DBHko Matematika|hizkuntza=eu|url=https://maitematika.wordpress.com/|aldizkaria=DBHko Matematika|sartze-data=2022-11-11}}</ref>, koadrantea laukizuzena dela eta ez beste paralelogramo bat ziurtatzeko. Gainjarritako sareta  [[Kartesiar koordenatu|Koordenatu Kartesiarren]] sistema gisa erabiltzen dute.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=20801 Koordenatu kartesiarrak|hizkuntza=eu-ES|url=https://www.youtube.com/watch?v=oYtABjqNpyM|sartze-data=2022-11-11}}</ref>

== Orokortzeak ==

=== Kosinuaren teorema ===
{{sakontzeko|Kosinuaren teorema}}
Pitagorasen teorema, edozein triangelutan aldeen luzerak erlazionatzen dituen teorema orokorragoaren kasu berezi bat da, [[kosinuaren teorema|kosinuaren teorema]]. Honakoa dio, <math>a</math>, <math>b</math> eta <math>c</math> aldeak dituen triangelu batean
{{Ekuazio|<math>a^2+b^2-2ab\cos\theta=c^2</math>,}}
non <math>\theta</math>, <math>a</math> eta <math>b</math> aldeen arteko angelua den. Alde hauek ortogonalak direnean, hau da <math>\theta=\pi/2</math> eta ondorioz <math>\cos\theta=0</math>, kosinuaren teorema Pitagorasen teoremara murrizten da.

=== Barne produktudun espazioak ===
Pitagorasen teorema [[barne produktu|barne produktudun]] espazioetara orokortu daiteke, berean barne produktudun espazio ezagunenak [[Hilberten espazio|Hilberten espazioak]] izanik, [[euklidear espazio|espazio euklidearren]] orokortzeak. Adibidez, funtzio bat barne produktudun espazio batean infinitu osagai dituen [[bektore|bektoretzat]] har daiteke, hau da, [[segida|segidatzat]].

Barne produktudun espazioetan aldagai perpendikularren ordez, aldagai [[ortogonal|ortogonalez]] hitz egiten dugu: bi bektore <math>v</math> eta <math>w</math> ortogonalak diogu, haien barne produktua <math>\langle v,w\rangle</math> zero baldin bada. Barne produktua bektoreen [[biderketa eskalar| biderketa eskalarraren]] orokotzea da, hau izanik espazio Euklidearren barne produktu kanonikoa, baina beste batzuk ere defini ditzakegu.<ref>{{erreferentzia|urtea=2010|izenburua=Elementary Linear Algebra: Applications|argitaletxea=Wiley|orrialdea=336|ISBN=978-0-470-43205-1|hizkuntza=en|idazleak=Howard Anton; Chris Rorres|url=https://books.google.nl/books?id=1PJ-WHepeBsC&pg=PA336&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false|edizioa=10}}</ref>

Aldeen luzeraren ordez, barne produktudun espazioetan [[norma|norma]] defini daiteke
{{Ekuazio|<math>\|v\|:=\sqrt{\langle v,v\rangle}</math>.}}

Barne produktudun espazioetan, '''Pitagorasen teoremak''' bi elementu ortogonalen <math>v</math> eta <math>w</math>, non <math>\langle v,w\rangle=0</math> (katetoak liratekenak) baturaren <math>v+w</math> (hipotenusa) karratua, bektore bakoitzaren luzeraren karratuen gehiketa dela dio:
{{Ekuazio|<math>\|v+w\|^2=\|v\|^2+\|w\|^2</math>.}}
Gainera, Pitagorasen ekuazioa bi bektore ortogonal baino gehiagoren baturara heda daiteke. Hau da, <math>v_1,\dots,v_n</math> binakako bektore ortogonalak badira (i.e. <math>\langle v_i,v_j\rangle=0</math> edozein <math>i\not=j</math>), Pitagorasen teoremak ondorengoa dio:
{{Ekuazio|<math>\|\sum_{i=1}^n v_i\|^2=\sum_{i=1}^n\|v_i\|^2</math>.}}

Bektore ez ortogonalentzat ere orokortu daiteke Pitagorasen teorema, norma batek [[paralelogramoaren legea|paralelogramoaren legea]] betetzen diogu edozein bi bektorek ondorengo ekuazioa betetzen badute
{{Ekuazio|<math>2\|v\|^2+2\|w\|^2=\|v+w\|^2+\|v-w\|^2</math>.}}
Ohartu propietate hau bektore espazio normatuaren propietate bat dela. Hau da, paralelogramoaren legea ez dute bektore espazio normatu guztiek betetzen. Gainera, analisi funtzionaleko teorema ezaguna da espazio bektore normatu batek paralelogramoaren legea betetzen badu, norma barne produktu baten eratorria dela.<ref>{{erreferentzia|izena=Karen|abizena=Saxe|urtea=2002|izenburua=Beginning functional analysis|argitaletxea=Springer|orrialdea=7|ISBN=0-387-95224-1|hizkuntza=en|url=https://books.google.nl/books?id=QALoZC64ea0C&pg=PA7&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false}}</ref>

==[[Fitxategi:Jakindun logoa.png|left|24px]] Ariketak ==
<gallery mode="packed" heights="120" style="background-color: #fef6e7; margin-left: 0;" caption="Pitagorasen teorema">
Fitxategi:Pitagoras teorema  azalpena ariketaren bidez.webm|'''Pitagorasen teorema''' azalpena ariketaren bidez.
Fitxategi:Pitagorasen Teorema  ariketa azalpenarekin.webm|'''Pitagorasen teorema''' ariketa azalpenaren bidez.
</gallery>

== Erreferentziak ==
<references responsive="" />

== Kanpo estekak ==
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Geometria]]
[[Kategoria:Teoremak]]
[[Kategoria:Hirukiak]]
[[Kategoria:Azalera]]
[[Kategoria:Geometriaren historia]]
[[Kategoria:Pitagorasen teorema]]