Segida-en iturria ikusi

[[Fitxategi:Sin and cos.png|thumb|<math>sin(nx)</math> eta <math>cos(nx)</math> segida bornatuak dira. Ez dira ez segida konbergenteak, ez monotonoak ezta Cauchyrenak ere.]]
Aljebra eta analisi [[Matematika|matematikoan]], '''segidak''' [[aplikazio diskretu]]ak dira, non eremua [[zenbaki arrunt]]en [[multzo]]a den eta [[koeremu]]a beste edozein multzo ([[zenbaki]]ena, [[irudi geometriko]]ena edo [[Funtzio (matematika)|funtzioena)]]. Multzo horietako elementu bakoitzari segidako elementu edo gai deritzo eta, elementu ordenatu kopuruari (batzuetan, [[Infinitu|infinitua)]], segidaren luzera.

Multzoetan ez bezala, segidetan elementuen ordenak garrantzia du, eta gai bat hainbat posiziotan ager daiteke.

Adibidez, (A, B, C) eta (C, A, B) letren segida desberdinak dira eta bakoitzaren luzera 3 da ([[Multzo finitu|finitua]]). Segida [[infinitu]]en kasu bat [[zenbaki positibo]] [[Zenbaki bikoiti|bikoitiek]] osatzen dutena da: 2, 4, 6, 8{{HezkuntzaPrograma|Matematika}}....

== Historia ==
[[Fitxategi:Leonhard Euler.jpg|thumb|Leonhard Euler, XVIII.mendeko matematikari suitzarra.]]
Ezarritako arau bati jarraitzen dioten segidek beti deitu izan diete atentzioa matematikariei. Hala ere, nahiz eta segidak antzinatik ezagunak izan, XVIII. mendean matematikaren garapena heldu zen arte ez ziren sakonki aztertu. Garai hartan, balio batera hurbiltzen ziren segiden kasuak aztertu ziren eta balio horri [[Limite|segidaren limite]] izena eman zitzaion.

[[Leonhard Euler]] izan zen garai hartako matematikari garrantzitsuenetarikoa, batez ere, segiden eta [[Serie (matematika)|serieen]] inguruan egindako ekarpenengatik. Aipatzekoa da [[Leonardo Pisano]] matematikari italiarra ere, berak ekarri baizituen XII. mendean [[Europa]]ra [[Fibonacciren zenbakiak]].

Oro har, segidak elementuen zerrenda ordenatuak adierazteko erabiltzen dira. [[Konputazio]]an eta [[Joko-teoria|jokoen teoria]]<nowiki/>enre oso erabilgarriak dira.

== Orokortasunak ==

=== Notazioa ===
Badira hainbat notazio desberdin, ikasketa alorraren arabera erabiltzen direnak. Normalean,<math>\{a_{n}\}</math> notazioa erabiltzen da, non <math>a_{n}</math>, gai orokor deritzona, segidako n. posizioko elementua den. <math>n\in\mathbb{N}</math> azpiindizeak elementu batek segidan hartzen duen posizioa adierazten du. Zenbaki bikoiti positiboen segida da adibideetako bat:

<math>\{a_{n}\} = 2,4,6,8,10,12,...</math>

Orduan,

<math>a_{1}=2, a_{2}=4, a_{3}=6, a_{4}=8,....</math>

Segidetako elementuek ezarritako arau bati jarraitzen diote, eta segidako elementu oro gai arbitrario baten bidezko formula baten bitartez adieraz daiteke. Aurreko segidaren kasuan, <math>\{a_{n}\}</math> <math>a_n=2n</math> formularen bidez adieraz daiteke edozein elementu.

<math>1
</math> azpiindizetik hasi beharrean <math>0</math> azpiindizetik hasten diren segidak ere badaude; azken horiek [[matematika diskretu]]an eta konputazioan agertu ohi dira. Gai orokorra adierazteko, <math>n</math> ez den beste aldagai bat erabil daiteke, horrela beste aldagai batzuekiko nahasketak saihesteko.

Notazio alternatiboak aurki daitezke literaturan, adibidez:
* <math>(a_{n})=a_{1},a_{2},a_{3},...</math>
* <math>(a_{n})_{k=1}^{m} = a_{1},a_{2},...,a_{m}</math>
* <math>\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}=a_{1},a_{2},...</math>

=== Errekurrentzia bidez definitutako segidak ===
<math>\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}_{0}}
</math>segidaren [[errekurrentzia-erlazio]]a <math>a_n</math> elementuak ezartzen du; azken hori aurreko <math>{\displaystyle a_{0},\;a_{1},\;a_{2},\;...\;,\;a_{n_{0}-1}} 
 </math>gaien araberako [[Funtzio (matematika)|funtzio]] bat da, non <math>n \geq n_{0}
</math>. Segida bera da errekurrentzia-erlazio horren soluzioa, betiere haren elementuek erlazio hori betetzen badute edozein n baliotarako.

[[Algoritmo]] errekurtsiboek soluzioa ematen diote n tamainako problema bati. Fibonacci-ren segida da errekurrentzia bidezko segiden adibide on bat:

<math>a_{n} = a_{n-1}+a_{n-2}</math>.

== Definizio formala eta propietateak ==
Definizio asko daude, eta ikerketa-arlo bakoitzean horietako bat erabiltzen da. Ohikoena eta orokorrena zenbaki-segidaren definizioa da. Praktikan, era intuitiboan erabili ohi dira segidak.

=== Definizio formala ===
'''Zenbaki-segidak''' [[zenbaki arrunt]]etatik X zenbaki multzo batera doan aplikazio baten bitartez definitzen dira:

<math>    {\displaystyle {\begin{matrix}a:&\mathbb {N} &\to &X\\&n&\to &a_{n}.\end{matrix}}}
</math>

<math>X=\mathbb{N}</math> multzoa aukeratuta, Fibonacci-ren segida lor dezakegu. Oro har, zenbaki-segidak <math>X=\mathbb{R}</math> koeremua dute. Edozein kasutan, <math>\{a_{n}\}_{n \in \mathbb{N}}</math> notazio orokorra erabili ohi da, edo azpiindizeak [[zenbaki oso]]ak direla ulertutzat ematen bada, orduan <math>\{a_{n}\}_{n\geq 0}</math> notazioa erabil daiteke.

Askotan, segidari ematen zaion izena aplikazioaren koeremuarekin lotuta dago. Adibidez, <math>a</math> -ren [[Irudi (matematika)|irudia]] [[zenbaki arrazional]]en parte bada, hau da, <math>\dfrac{x}{y}, y\neq0</math> motakoa, zenbaki arrazionalen segida esaten zaio. Gauza bera gertatzen da [[zenbaki irrazional]]ekin, [[Zenbaki arrunt|arruntekin]], [[Zenbaki oso|osoekin]], [[Zenbaki aljebraiko|aljebraikoekin]],eta [[Zenbaki transzendente|transzendentalekin]].

=== Segida finitu eta infinituak ===
<math>\{a_{n}\}
</math> r luzerako '''segida finituak''' irudiak S multzo batean baditu, funtzio hau definitzen da:

<math>f:\{1,2,3,...,r\} \longrightarrow S</math>

eta, kasu horretan, <math>a_n = f(n)</math> berdintza betetzen da. Esaterako, 10 baino txikiagoak diren [[zenbaki lehen]]ek osatzen duten 4 luzerako segida finituari (2,3,5,7) <math>f: \{1,2,3,4\} \longrightarrow \mathbb{P}</math> funtzioa dagokio, non <math>\mathbb{P}</math> zenbaki lehenen multzoa den. f-k honako balioak hartzen ditu:

<math>f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5,f(4)=7.</math>

<math>\{a_{k}\}</math> '''segida infinituak''' irudiak S multzoan hartzen baditu, honako funtzioa definitzen da:

<math>f:\mathbb{N} \longrightarrow S.</math>

Kasu horretan ere, <math>a_{n}=f(n)</math> berdintza betetzen da.

=== Azpisegidak ===
<math>\{a_{n}\}</math> segida baten '''azpisegida''' edo '''segida partziala''' jatorrizko segidaren elementu batzuk ezabatzean sortzen den segida da; betiere ezabatu ez diren elementuen [[posizio erlatibo]]a aldatu gabe. Adibidez, zenbaki positibo bikoitiez osatutako segida (2,4,6...), (1,2,3...) zenbaki arrunten segidaren azpisegida bat da. Elementu batzuen posizioa aldatu egiten da beste batzuk ezabatzen direnean. Hala ere, horien posizio erlatiboa mantendu egiten da.

Formalki, <math>\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}} </math>segida baten azpisegida<math>\{a_{n_{k}}\}_{k \in \mathbb{N}}</math> motakoa da, non <math>\{n_{k}\}_{k\in \mathbb{N}}</math> zenbaki oso positiboen segida hertsiki gorakorra den. Segida bakar baterako hainbat azpisegida ezberdin lor daitezke.<ref>{{Erreferentzia|izena=Watson|abizena=Fulks|izenburua=Calculo Avanzado|abizena2=Wiley|izena2=Limusa|url=https://www.amazon.es/Calculo-Avanzado-Watson-Fulks/dp/B0092ZOPNW|sartze-data=2018-03-22}}</ref>

=== Segida monotonoak ===
'''Segida monotono'''etan, gai baten eta hurrengoaren arteko diferentzia beti da zeinu berekoa. [[Gorakor]]rak edo [[beherakor]]rak izan daitezke.<ref>{{Erreferentzia|abizena=BOUVIER|izenburua=Diccionario Akal de matematicas / Akal Dictionary of Mathematics|argitaletxea=Akal Ediciones|hizkuntza=Espagnol|abizena2=GEORGE|data=May 2006|url=https://www.amazon.fr/Diccionario-Akal-matematicas-Dictionary-Mathematics/dp/8446012545|edizioa=1|isbn=9788446012542|sartze-data=2018-03-22}}</ref>

'''Segida gorakorr'''etan <math>a_{n}\leq a_{n+1}</math> [[Desberdintza (matematika)|desberdintza]] gertatzen da; hau da, elementu bakoitza hurrengoaren berdina edo txikiagoa da. Horien artean, '''segida konstanteak''' ere badaude. <math>a_{n}<a_{n+1}</math> desberdintasun hertsia betetzen denean, aldiz, segida hertsiki gorakorra dela esaten da.

'''Segida beherakor'''rek <math>a_n \geq a_{n+1}</math> desberdintza betetzen dute, eta hertsiki beherakorrak dira <math>a_n > a_{n+1}</math> denean.

=== Segida bornatuak ===
Segida bornatuen artean hiru kasu bereiz daitezke:
* <math>\{a_{n}\}</math> segida '''goitik bornatuta''' egongo da M zenbaki erreal bat existitzen bada <math>\{a_{n}\} \leq M</math> betetzen duena edozein n baliotarako.
* <math>\{a_{n}\}</math> segida '''behetik bornatuta''' egongo da N zenbaki erreal bat existitzen bada <math>\{a_{n}\} \geq N</math> betetzen duena edozein n baliotarako.
* Aurreko bi kasuak aldi berean gertatzen direnean, '''segida bornatua''' da.

== Limiteak eta konbergentzia ==
[[Fitxategi:06 sucesiones 42.gif|thumb|Segida konbergentea 0-rantz.]]
Segidetako propietate garrantzitsu bat da '''konbergentzia'''. Segida batek konbergituz gero, balio partikular baterantz konbergituko du, eta balio horri [[limite]] deritzo. Segida batek limite baterantz konbergitzen badu, orduan, segida hori konbergentea dela esaten da. Konbergitzen ez duen segida, aldiz, segida '''dibergentea''' dela esaten da.

Hizkuntza formala alde batera utzita, segida batek limitea du bere elementuak <math>L</math> balio batera (segidaren limitera) gero eta gehiago hurbildu eta elementu batetik aurrera, gai guztiak <math>L</math> baliotik gertu mantentzen direnean. Hau da, <math>d>0</math> edozein zenbaki erreal emanda, segidako elementu guztiek (kopuru finitu batek izan ezik)<math>L</math>rekiko duten distantzia d baino txikiagoa da.

Esaterako, <math>{\displaystyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}</math> segidak 0-rantz konbergitzen du. Aldiz, <math>{\displaystyle b_{n}=n^{3}} (1,8,27,...) </math> eta <math>{\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}} (-1,1,-1,1,...) </math> segidak dibergenteak dira.

Segida batek konbergitzen badu, konbergitzen dueneko limitea bakarra da. Normalen, <math>\{a_{n}\}</math> segidaren limite hori adierazteko, <math>{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}} </math> notazioa erabiltzen da (logikoki, segida dibergenteetan adierazpen horrek ez du inongo zentzurik).

=== Konbergentziaren definizio formala ===
<math>\{a_{n}\}</math> zenbaki errealen segida batek '''<math>L</math>rantz konbergitzen''' du, baldin eta: <math>\forall\epsilon>0 </math>, <math>N\in\mathbb{N} </math> existitzen da, zeinetarako <math>{\displaystyle |a_{n}-L|<\varepsilon } </math> betetzen den <math>\forall n\geq N </math>rako.<ref name=":0">{{Erreferentzia|izena=Edward D.|abizena=Gaughan|izenburua=Introduction to Analysis|argitaletxea=American Mathematical Society|hizkuntza=English|data=2009-01-13|url=https://www.amazon.com/Introduction-Analysis-Applied-Undergraduate-Texts/dp/0821847872|edizioa=5th Revised edition edition|isbn=9780821847879|sartze-data=2018-03-22}}</ref>

Aldiz, <math>\{a_{n}\}</math> [[zenbaki konplexu]]en segida bada, oraindik ere aurreko definizioa erabil daiteke, eraldaketa txiki batekin. Kasu horretan, <math>|\cdot |  </math> modulu arrunta erabili beharrean, konplexuen [[modulua]] erabili behar da: <math>{\displaystyle |z|={\sqrt {z^{*}z}}} </math> .

<math>\{a_{n}\}</math> [[espazio metriko]] bateko puntuen segida bada, berriz, definizioa berrerabil daiteke. Betiere, <math>{\displaystyle |a_{n}-L|}  </math> adierazpena <math>{\displaystyle {\text{dist}}(a_{n},L)} </math> espresioarekin ordezkatzen bada. Azken horrek <math>a_n </math> eta <math>L</math> balioen arteko [[distantzia]] adierazten du.

=== Aplikazioak ===
<math>\{a_{n}\}</math> eta <math>\{b_{n}\}</math> segidak konbergenteak badira, hurrengo segiden limitea existitzen da, eta honela kalkula daiteke:<ref name=":0" />
* <math>{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}</math>
* <math>{\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}}, \forall c</math>
* <math>{\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}</math>
* <math>{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}, \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0</math> bada
* <math>{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}</math>, <math>\forall p > 0</math>.
Bestalde,
* <math>a_{n}\leq b_{n}</math> bada edozein <math>n\geq N</math>tarako, orduan, <math>\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.</math><ref group="oh">Desberdintza horiek desberdintza hertsiekin ordezkatzen badira, esandakoa orokorrean gezurra da: hala ere, badaude <math>a_n < b_n</math> desberdintza betetzen duten segidak, edozein <math>n</math>-rako, non <math>\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n </math> betetzen den.</ref>
* ([[Squeeze teorema]])
<math>\{c_{n}\}</math> segida batek <math>a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n} </math> betetzen badu <math>n\geq N</math>rako, eta <math>\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L</math> baldin bada, <math>\{c_{n}\}</math> konbergentea da eta <math>\lim _{n\to \infty }c_{n}=L.</math>
* Segida bat bornatua eta monotonoa bada, konbergentea da.
* Segida bat konbergentea da baldin eta soilik baldin haren azpisegida guztiak konbergenteak badira.

=== Cauchyren segidak ===
<math>\{a_{n}\}</math> segida '''Cauchyren segida''' dela esaten da hurrengo baldintza hau betetzen baldin badu: <math>r>0</math> zenbaki erreal positibo bat emanda, eta <math>p,q>n_0\in\mathbb{N}</math> hartuta, <math>|a_p - a_q| < r</math>.<ref>{{Erreferentzia|izena=Elon Lages|abizena=Lima|izenburua=Curso de analisis matematico 1|url=https://www.amazon.es/Curso-analisis-matematico-Elon-Lages/dp/8477470553|isbn=9788477470557|sartze-data=2018-03-22}}</ref>

Zenbaki errealen kasuan, Cauchyren segida orok limite baterantz konbergitzen du. Propietate horrek analisi errealaren emaitza garrantzitsu bat dakar: s''egiden konbergentziarako Cauchyren karakterizazioa''.

==== Definizioa ====
Izan bedia {a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub> zenbaki errealen segida. {a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub> Cauchyren segida dela diogu baldin eta ;

<math>\forall\epsilon > 0 ,  \exists n_0 \in \N : \forall n,m \geq n_0  \left\vert a_n - a_m \right\vert < \epsilon</math>

==== Teorema ====
Izan bedia {a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub>  zenbaki errealen segida.

{a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub> konbergentea  <math>\Longleftrightarrow</math>  {a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub>  Cauchyrena

===== Froga =====
<math>\Longrightarrow</math>) Izan bedi <math>\lim_{n \to \infty} a_n = l </math> eta har dezagun <math>\epsilon > 0</math> edozein. Orduan existitzen da <math>n_0 \in \N</math> non, <math>n \geq n_0 </math> guztietarako <math>\left\vert a_n - l \right\vert < \frac{\epsilon}{2}</math>.

Izan bitez <math>n,m \geq n_0</math>.

<math>\left\vert a_n - a_m  \right\vert = \left\vert a_n -l +l a_m \right\vert \leq \left\vert a_n - l \right\vert + \left\vert a_m - l \right\vert < \tfrac{\epsilon}{2} + \tfrac{\epsilon}{2} = \epsilon</math>

beraz {a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub> Cauchyrena da.


<math>\Longleftarrow</math>) Orain suposatzen dugu {a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub> Cauchyrena dela. Ikus dezagun bornatua dela.

Izan bedi <math>\epsilon = 1</math>. {a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub> Cauchyrena denez, existitzen da <math>n_0 \in \N</math> non <math>n \geq n_0</math> guztietarako,<math>\left\vert a_n-a_{n0+1} \right\vert \leq 1</math> den. Orduan <math>n \geq n_0</math> guztietarako, <math>\left\vert a_n \right\vert \leq \left\vert a_n - a_{n0+1} \right\vert + \left\vert a_{n0+1} \right\vert < 1 + \left\vert a_{n0+1} \right\vert</math>.

<math>K = \max[\left\vert a_1 \right\vert ,\left\vert a_2 \right\vert, ... , \left\vert a_{n0} \right\vert, \left\vert a_{n0+1} \right\vert + 1]</math> {a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub>  segidaren borne bat da, hau da, <math>\left\vert a_n  \right\vert \leq K  </math>  <math>n \in \N</math> guztietarako, beraz {a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub>  bornatua da.

Orain, Bolzano-Weierstrassen teoremaren arabera existitzen da <math>\{a_{nk}\}_{k \in \N} </math> {a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub>  segidaren azpisegida konbergentea. Izan bedi <math>l = \lim_{n \to \infty} a_{nk} </math> eta kontsidera dezagun <math>\epsilon > 0 </math> edozein.

<math>\lim_{n \to \infty} a_{nk} = l \Longleftrightarrow \exist n_0 \in \N : \forall k \geq n_1 \left\vert a_{nk} - l  \right\vert < \tfrac{\epsilon}{2} </math>

{a<sub>n</sub>}<sub>n€N</sub>  Cauchyrena <math>\Longleftrightarrow \exists n_2 \in \N : \forall n,m \geq n_2 \left\vert a_n - a_m \right\vert < \tfrac{\epsilon}{2}  </math>

Izan bedi <math>n_0 = \max \{n_1,n_2\}   </math>. <math>k \geq n_0   </math> guztietarako <math>n_k \geq k   </math> denez

<math>\left\vert a_k -l \right\vert \leq\left\vert a_k - a_{nk} \right\vert + \left\vert a_{nk} - l \right\vert < \tfrac{\epsilon}{2} + \tfrac{\epsilon}{2} = \epsilon  </math>

Beraz, <math>\lim_{n \to \infty} a_n = l  </math> da.

=== Limite infinituak ===
[[Fitxategi:Límite infinito - definición R,M.gif|thumb|Urdinez dagoen funtzio honen limitea n infinitua da infiniturantz doanean. n minus infiniturantz doanean, aldiz, minus infinitu izango da.]]
Kalkuluan badira konbergentziaren definizio esplizitua betetzen ez duten baina arbitrarioki luzatzen diren segidak (noranzko positiboan zein negatiboan). Orduan, bi kasu bereiz daitezke:
* <math>\lim_{n\to\infty}a_n = \infty</math> bada, segidak infiniturantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da. Adibide ona da <math>a_n=n</math> segida.
* <math>\lim_{n\to\infty}a_n = -\infty</math> bada, segidak infinitu negatiborantz konbergitzen duela edo dibergentea dela esaten da.

== Segiden sailkapena ==
Hainbat segida mota bereizten dira:
* <math>\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}</math> ''[[Progresio aritmetiko|segida aritmetikoa]]'' da baldin eta<math>a_n = a_{n-1} + d = a_1 + (n-1)d, \forall \geqslant 2
</math> bada, <math>d \in \mathbb{R}
</math> izanik. d zenbakia segidaren ''diferentzia'' da.
* <math>\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}</math> ''[[Progresio geometriko|segida geometrikoa]]'' da baldin eta <math>a_n = a_{n-1} r = a_1 r^{n-1}, \forall \geq 2</math> bada, <math>r \in \mathbb{R}</math> izanik. r zenbakia segida geometrikoaren ''arrazoia'' da.
* <math>\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}</math> ''[[Segida harmoniko (matematika)|segida harmonikoa]]'' da baldin eta <math>\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{1}{a_{n-1}+d} = \dfrac{1}{a_0 + nd}, \forall \geq 1</math>, <math>d \in \mathbb{R}
</math> izanik.

== Serieak ==
'''Serie'''ak segiden gaien batura dira. <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> edo <math>a_0 + a_1 + a_2 + a_3...</math> moduan idazten dira, non <math>(a_n)</math> [[zenbaki erreal]] edo [[Zenbaki konplexu|konplexuen]] segida bat den.

Baturan infinitua ordez zenbaki finitu bat jarriz, '''seriearen batura partziala''' lortzen da. Adibidez, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> seriearen N. batura partziala <math>S_n = \sum_{n=0}^{N} a_n = a_0 + a_1 + ... + a_{N-1} + a_N</math> zenbakia da. Batura partzial horiek segidak osatzen dituzte, <math>(S_N)_{N \in \mathbb{N}}</math>, eta horiei <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> '''seriearen batura partzialen segidak''' deritze. Seriearen batura partzialen segida konbergentea bada, orduan <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> segida konbergentea dela esaten da, eta seriearen balioa ([[Batuketa|batura]]<nowiki/>ren emaitza) <math>\lim_{N \to \infty} S_N</math> da. Beraz, <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math> = <math>\lim_{N \to \infty} S_N</math>.



== Oharrak ==
<references group="oh" />

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}

== Bibliografia ==
* Fernández Novoa, Jesús (1991). ''Análisis Matemático I (Tomo 1)''. Madrid: UNED. <small><nowiki>ISBN 9788436216684</nowiki></small>.<span title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fes.wikipedia.org%3ASucesi%C3%B3n+matem%C3%A1tica&rft.au=Fern%C3%A1ndez+Novoa%2C+Jes%C3%BAs&rft.aufirst=Jes%C3%BAs&rft.aulast=Fern%C3%A1ndez+Novoa&rft.btitle=An%C3%A1lisis+Matem%C3%A1tico+I+%28Tomo+1%29&rft.date=1991&rft.genre=book&rft.isbn=9788436216684&rft.place=Madrid&rft.pub=UNED&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook" class="Z3988"></span>
* Watson Fulks. "Cálculo avanzado".
* J. Dieudonné. " Fundamentos de análisis moderno".
* Lages Lima. " Curso de análisis matemático
* Banach. " Cálculo".
* Spivak . "Calculus"
* V.F. Butúzov. " Análisis matemático"

== Ikus, gainera ==
* [[Serie (matematika)]]

== Kanpo estekak ==
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Segida eta serie matematikoak| ]]