Ukapen-en iturria ikusi

Logikan eta matematikan, '''ukapena''' edo '''ezeztapena''' [[Enuntziatu|enuntziatuen]] arteko operaketa da, <math>P</math> enuntziatu  bat "ez <math>P</math>" enuntziatu batera ( <math>\lnot P</math>,<math>\mathord{\sim} P</math> edo <math>\overline{P}</math><ref>{{Erreferentzia|izenburua=Comprehensive List of Logic Symbols {{!}} Math Vault|hizkuntza=en-US|data=2020-04-06EDT00:04:24-04:00|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/logic-symbols/|sartze-data=2021-10-24}}</ref> irakurtzen dena) eramaten duena. [[Logika klasikoan]] ukapena normalean egiazko funtzioekin erlazionatzen da, zeinak bere balioa egiatik gezurrera aldatzen duen eta alderantziz. Intuitiboki, enuntziatu baten ukapena [[egia]] da baldin eta proposizio hori [[Gezur|gezurra]] bada eta alderantziz<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Logic and Mathematical Statements - Worked Examples|url=https://www.math.toronto.edu/preparing-for-calculus/3_logic/we_3_negation.html|aldizkaria=www.math.toronto.edu|sartze-data=2021-10-24}}</ref>. 

== Definizioa ==
Izatez, ez dago adostasunik ukapena defintzeko garaian, ez bere estatus logikoaren inguruan, ez funtzioan, ezta esanahiean ere.


Logika klasikoan, ukapena [[lokailu logiko]] bat da (orokorrean [[proposizio]] bati aplikatzen zaiona) baldin eta <math>P</math> enuntziatu bat bada, <math>P</math>-ren ukapena edo ezeztapena, beste enuntziatu bat da <math>\lnot P</math> adierazten dena eta "P gezurra da" dioena, eta alderantziz. Hau da, <math>P</math> egia bada, <math>\lnot P</math> gezurra da eta <math> P</math>gezurra bada, <math>\lnot P</math> egia da.

Ukapenaren egia taula honako hau da:
{| class="wikitable sortable"
|<math>P</math>
|<math>\lnot P</math>
|-
|Egia
|Gezurra
|-
|Gezurra
|Egia
|}
Ukapena beste modu batzuetara ere defini daiteke beste lokailu logiko batzuekin. Adibidez, <math>\lnot P</math> ,  <math>{\displaystyle P\rightarrow \bot }</math> bezala defini daiteke (non <math>\rightarrow</math> [[ondorio logiko]]<nowiki/>a den eta <math>\bot</math> gezur absolutua den). Bestalde, <math>\bot</math> definitzeko modu bat <math>P \land\lnot P</math> izango litzateke, <math>P</math> edozein proposizio izanik (eta <math>\land</math>[[Konjuntzio logiko|konjuntzio logikoa]] den). Azken horren oinarria edozein kontraesan gezurra dela da, baina, nahiz eta logika horrek logika klasiko eta [[Logika intuitibo|intuitiboan]] balio, ez du funtzionatzen [[Logika parakontsistente|logika parakontsistentean]], non kontraesanek ez duten zertan gezur izan.

== Propietateak ==

=== Ukapen bikoitza ===
Enuntziatu baten ukapen bikoitza, hau da, enuntziatuaren ukapenaren ukapena, enuntziatu beraren [[Baliokidetasun-erlazio|baliokidea]] da.

<math>\lnot\lnot P\equiv P</math>

=== Banakortasun propietatea ===
[[De Morganen legeak]] [[Disjuntzio logiko|disjuntzio]] eta [[Konjuntzio logiko|konjuntzio]] baten gainean ukapena banatzea ahalbidetzen du:

<math>\neg(P \lor Q) \equiv (\neg P \land \neg Q)</math>   eta 

<math>\neg(P \land Q) \equiv (\neg P \lor \neg Q)</math>

=== Zenbakitzaileen ukapena ===
[[Lehen mailako logika]]<nowiki/>n bi zenbakitzaile daude, zenbakitzaile unibertsala <math>\forall</math> ("edozein" esan nahi duena) eta zenbakitzaile existentziala <math>\exists</math> ("existitzen da" esan nahi duena). Zenbakitzaile unibertsalaren ukapena zenbakitzaile existentzialaren baliokidea da eta alderantziz. Hau da,

<math>\neg \forall xP(x)\equiv\exists x\neg P(x)</math> eta

<math>\neg \exists xP(x)\equiv\forall x\neg P(x)</math>

== Inferentzia arauak ==
Ukapena arautzeko hainbat modu baliokide daude. Ukapen klasikoa formulatzeko modu ohiko bat ondorengo arauak aintzat hartuz da:

* Ukapenaren sarrera (<math>P</math>-k inplikatzen badu <math>Q</math> eta <math>\lnot Q</math>, <math>\lnot P</math> inferitzen da; arau honi ''reductio ad absurdum'' deritzo).
* Ukapenaren ezabapena (<math>P</math> eta <math>\lnot P</math> emanik, <math>Q</math> inferitzen da; arau honi ''ex falso quadiblet'').
* Ukapen bikoitzaren ezabapena (<math>\lnot\lnot P \equiv P</math>).

Ukapen intuizionistarako arauak modu berean lortzen dira, baina ukapen bikoitzaren ezabapenaren araua baztertuz.

Ukapenaren sarrerak ezartzen du <math>P</math> absurdoa bada, <math>P</math>-k ez duela kasua izan behar (<math>P</math> gezurra da (klasikoa) edo gezurtagarria (intuizionista), etab.). Ukapenaren ezabapenak ezartzen du edozer absurdutik ondorioztatzen dela. Batzuetan ukapenaren ezabapena <math>\bot</math> absurdoaren zeinua erabiliz formulatzen da. Kasu horretan arauak dioena da <math>P \land \lnot P</math>-tik absurdoa ondorioztatzen dela.

== Adibideak ==
{| class="wikitable"
|+
!<math>P</math>
!<math>\lnot P</math>
|-
|<math>\forall x\in {\displaystyle  \mathbb  {R}} ,\exists n  </math> non <math>x\leq n</math>
|<math>\exists x\in {\displaystyle  \mathbb  {R}} ,\forall n </math> non <math>x>n</math>
|-
|<math> \forall x\geq0 ,\exist y\in {\displaystyle  \mathbb  {R}} , x=y^2 </math>
|<math> \exists x\geq0 ,\forall y\in {\displaystyle  \mathbb  {R}} , x\neq y^2 </math>
|}

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia_zerrenda}}

== Kanpo estekak ==

{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Semantika]]
[[Kategoria:Operazio bitarrak]]
[[Kategoria:Proposizio logika]]