Zenbaki-en iturria ikusi

{{Wikipedia1000}}
{{HezkuntzaPrograma|Matematika}}
[[Fitxategi:-bertsomate- Zenbaki motak.webm|thumb|Zenbaki mota ezberdinak azaltzen dituen bertso sorta.]]
{{Zenbakiak}}
'''Zenbaki''' bat multzo batek dauzkan unitateen adierazpen matematikoa da.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=EH - Bilaketa - Bilaketa|url=https://www.euskaltzaindia.eus/index.php?&option=com_hiztegianbilatu&task=bilaketa&Itemid=1693&lang=eu&nondik=0&zenbat=100&entryId=46532|aldizkaria=www.euskaltzaindia.eus|sartze-data=2023-07-20}}</ref> Zenbaki ezagunenak [[Zenbaki arrunt|arruntak]] dira (0,1, 2, eta abar), oroar [[Zenbaketa|kontatzeko]], [[Neurketa|neurtzeko]] edo [[:en:Nominal_number|etiketatzeko]] erabiliak. Bestalde, hainbat orokortze ditugu matematikan: [[Zenbaki negatibo|zenbaki negatiboak]], [[Zenbaki arrazional|zenbaki arrazionalak]] (zatiki bidez adieraz daitezkeenak, adibidez <math>1/2</math>), [[Zenbaki erreal|zenbaki errealak]] (adibidez <math>\sqrt{2}</math> edo <math>\pi</math>) eta [[Zenbaki konplexu|zenbaki konplexuak]] (erro <math>-1</math> erroa gehituz errealei, hau da, <math>i</math> [[Unitate irudikari|unitate irudikaria]]). 

Zenbaki indibidualak [[Ikur|sinbolo]] bidez adieraz ditzazkegu, ''zifrak'' deituak<ref>{{Erreferentzia|izenburua=EH - Bilaketa - Bilaketa|url=https://www.euskaltzaindia.eus/index.php?option=com_hiztegianbilatu&task=bilaketa&Itemid=1693&lang=eu&nondik=0&zenbat=100&non=osagaiakHasi&query=zifra&subcMota=&pos=&usgDomain=&usgGeo=&usgBeste=&usgReg=|aldizkaria=www.euskaltzaindia.eus|sartze-data=2023-07-24}}</ref>; adibidez, "2" [[bi]] zenbakia adierazten duen zifra da, baina askotan ''zenbaki'' hitza berau erabiltzen da kontzeptua eta sinboloa biak adierazteko. Gainera, sinbolo kopuru finitu bat gogora dezakegunez, gizakiak zifra basikoak ordezkatzeko [[Zenbaki-sistema|zenbaki-sistemak]] ditu. Zenbaki-sistema erabiliena [[Zenbaki-sistema hamartar|Hindu-Arabiko zenbaki-sistema hamartarra]] da, non edozein zenbaki 10 zenbaki sinboloren konbinaziez adieraz daitekeen.

Zenbakiak ikertzen dituen matematikaren adarra [[Zenbakien teoria|zenbaki-teoria]] da , ariketa [[Aritmetika|aritmetikoetatik]] at ([[Gehiketa|batuketa]], [[kenketa]], [[biderketa]], [[Zatiketa (matematika)|zatiketa]], eta [[berreketa]]) zenbakien teoria modernoak matematikako hainbat adar batzen ditu; hala nola, [[Analisi matematiko|analisia]], [[aljebra]] edo [[geometria]]. Zenbaki-sistema hamartarra baino egitura aljebraiko orokorragoen adibide berezi garrantzitsutat hartzen dira, [[Eraztun (matematika)|eraztunak]] eta [[Gorputz (matematika)|gorputzak]] adibidez, eta "''zenbaki''" hitzak ez du funtsezko esanahirik bertan.

Erabilera aritmetikoaz gain, zenbakiak askotan errepresentazio ikur moduan erabiltzen dira (mugikor zenbakien kasuan bezala), ordenatzeko (serie-zenbakien kasua online erosketetan), edo kodigo identifikatzaileetan ([[International Standard Book Number|ISBN]] liburuentzat). Gainera, zenbait zenbakik garrantzi eta esanahi handia dute munduan zehar; adibidez, [[Hamahiru|13]] zoritxarreko zenbakia dela uste da mendebaldeko hainbat kulturatan. Gaur egun pseudozientziatzat hartzen den arren, zenbakien esanahi mistikoaren sinesmena, [[numerologia]] deitua, ohikoa zen mendebaldeko kulturetan. Kondairak dio [[Eskola pitagorikoa|Pitagorasen jarraitzaileek]] [[Hipaso]] greziaz filosofoa hitoarazi zutela erro bi (<math>\sqrt{2}</math>) zenbaki irrazionalaren existentzia defendatzeagatik.<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Hippasus of Metapontum {{!}} Greek philosopher {{!}} Britannica|hizkuntza=en|url=https://www.britannica.com/biography/Hippasus-of-Metapontum|aldizkaria=www.britannica.com|sartze-data=2023-07-20}}</ref>

== Zenbaki kontzeptuaren historia ==

=== Kontatzeko lehen siboloak ===
Zenbakien sorkuntza historiaurrean kokatzen dela uste da; lehen gizakiaren garaiko objektu fisikoetan (hala nola harriak, hezurrak edo enborrak) hainbat marka aurkitu ditugu, kontatzeko erabiliak seguruenik. Horren lekuko dira [[Lebombo]]<nowiki/>n aurkitu zuten 37.000 urteko antzinatasuna duen babuino-[[hezur landua]], 29 hortz markarekin, edo [[Txekoslovakia]]<nowiki/>n aurkitutako otso-hezurra, 5 multzotan banatutako 57 hozkekin.
[[Fitxategi:Huesos_de_ishango.jpg|thumb|267x267px|Ishango-ko hezurra, duela 20.000 urte egindako aztarnak dituena.]] Marka horien erabilerak denboraren jarraipenarekin zerikusirik izan dezakeela iradoki da, adibidez, egunen jarraipena edo kantitateak kontatzeko. Dena dela, markek ez dute posizio-balioaren kontzepturik (egungo zenbaki hamartar sistemak duen bezala); eta honek marken erabilera mugatzen du, zaildu egiten bai du zenbaki handiak irudikatzea.

Ezagutzen den lehen posizio-baliodun zenbaki sistema [[Mesopotamia|Mesopotamiarra]] zen, 60 oinarrikoa. Marken ordez, sinboloak erabiltzen hasi ziren, zerga- eta jabetza-erregistroak zenbatzeko. Aurkikuntzak Mesopotamian egin ziren, K.a. 8.000. urtean. Hasieran, erregistro horiek zenbatzeko, buztinezko fitxak erabiltzen ziren, baina denbora pasa ahala, buztinezko oholtxoetan hasi ziren idazten zenbakiak, sinbolo desberdinak erabiliz. Hala ere, metodo horiek merkatal edo kontabilitate gaietan bakarrik erabili ziren, nahiz eta lur-neurketan eta astronomian ere oso erabilgarriak izan, esate baterako, mugimendu planetarioak erregistratzeko.<ref>{{Erreferentzia|izena=|abizena=Stewart, Ian, 1945-|urtea=|izenburua=Historia de las Matemáticas : en los ́ultimos 10.000 años|argitaletxea=Crítica|orrialdea=|orrialdeak=or. 13-14|ISBN=|hizkuntza=|data=2008|url=https://www.worldcat.org/oclc/407170807|isbn=978-84-7423-841-9|pmc=407170807|sartze-data=2020-11-13}}</ref>

Duela 5.000 urte hasi ziren erabiltzen gaur egun ezagutzen ditugun zenbaki-sinboloak, 10 oinarridunak, [[Egipto|Egipton]].

=== Zeroaren sorkuntza ===
{{sakontzeko|Zero}}
Zeroaren erabilera posizionala bere zifra baliotik ezberdindu behar da, bigarrena kontzeptu gisa zenbaki sistema osoa baino berriagoa izanik. Esate baterako, [[Antzinako greziar filosofia|Greziako filosofoek]] K.a III. mendean, zeroaren egoerarekiko ziurtasun eza adierazi zuten "nola izan daiteke 'ezereza' zerbait?". Hutsunea, ezereza, edo zeroaren izaerak eztabaida filososiko eta erlijioso asko ekarri zituen [[Erdi Aroa|Erdi Aroan]] zehar.

Amerikan, hogei oinarriko zenbaki sistemen lehenengo adierazpena K.a III. mendekoa da. [[Olmeka]], [[Mexiko]] hegoaldeko zibilizazioko biztanleria, hilarri batean zeroaren eta ordenaren kontzeptuak ageri dira. [[Maien zibilizazioa|Maiek]] (K.a. IV. mendea), aldiz, zeroa adierazteko lau ikur asmatu zituzten. Garrantzitsuenak bi dira: batetik, zero matematikoa adierazteko, barraskilo baten oskolaren ebaketa erabiltzen zen, eta bestetik, egutegiko zeroa adierazteko, lore bat erabiltzen zuten. Dena dela, ez da uste zero honek mundu zaharreko zenbaki-sisteman eraginik izan zuenik.

Egiazko zero bat zen 525. urteko zenbaki erromatarren tauletan aurkitua ere ([[Dionysius Eziguus]]en eskutik), hitz gisa, ''nulla'', 'ezereza' esan nahi duelarik, ez sinbolo moduan. Zatiketa baten zero hondarra ematen bazuen, ''nihil'' erabiltzen zen, 'ezer ez' esan nahi du.

Zeroaren lehen erabilera aritmetikoa [[Brahmagupta]] indiar [[matematikari]] eta [[astronomo|astronomoari]] dagokio, 628. urtean. Zero zenbaki gisa tratatu eta parte hartzen zuen eragiketak eztabaidatu zituen, zatiketa barne. Garaiko dokumentuek argi adierazten dute kontzeptuak azkar hartu zuela indarra, eta gerora [[Txina|Txinara]] eta [[:en:Muslim_world|mundu islamiarrera]] zabaldu zela.

=== Zenbaki negatiboak ===
Zenbaki negatiboen kontzeptu abstraktua K.a. 100 - K.a. 50 urteen artean sortu zen. [[Matematika-artearen bederatzi kapituluak]] (Jiu-Zhang Suanshu) obra matematiko txinatarrak figuren azalerak neurtzeko metodoak biltzen ditu, bertan zenbaki negatiboen ahintzindaria landuz; koefiziente positiboak adierazteko barra gorriak erabiltzen dira, eta koefiziente negatiboak adierazteko beltzak.

600. hamarkadan, Indian zenbaki negatiboak ohikoak ziren zorrak adierazteko. [[Brahmagupta|Brahmaguptak]], [[bigarren mailako ekuazio|bigarren mailako ekuazioen]] soluzioetan bi erroak hartu zituen kontuan, nahiz eta horietako bat negatiboa edo irrazionala izan zitekeen. Brahma-Sphuta-Siddhanta (628. urtea) obran, agertu ziren lehenengoz zenbaki positiboen, negatiboen eta zeroaren (+, -, *, /, berreketak eta erroak) [[aritmetika]] sistematizatuta. Zenbaki negatiboak, entitate isolatu bezala ere erabili zituen, [[geometria]] aipatu gabe.

Mendebaldeko lan batean zenbaki negatiboen lehen erreferentzia K.o. III. mendean Grezian datza. [[Diofanto Alexandriakoa|Diofanto Alexandriakoak]] honako ekuazioa
{{Ekuazio|:<math>4x+20=0</math>,}}
aipatu zuen [[Aritmetika]] lanean, ekuazio honek emaitza absurdoa emanen zuela esanez.

Europako matematikari gehienek ez zituzten zenbaki negatiboak onartu XVII. menderarte. Nahiz eta [[Leonardo Pisano| Leonardo Fibonaccik]] zor gisa interpreta zitezkeen finantza-arazoei irtenbide negatiboak onartu (Liber Abaci-ren 13. kapitulua, 1202), [[Nicolas Chuquet]], XV. mendea Frantzian, izan zen lehena zenbaki negatiboak erabiltzen. Bere lanean berretzailetzat agertu izan ziren zenbaki negatiboak, baina emaitza hauek zenbaki absurdotzat jo zituen. XVIII. mendean ere, [[Leonhard Euler]] matematikari suizar ezagunak zenbaki negatiboak infinitua baino handiagoak zirela uste zuen, eta ohikoa zen ekuazioren batek emaniko emaitza negatiboa izanez gero hau alde batera uztea, esanguratsuak ez zirelakoan, hau egin izan ohi zuen [[René  Deskartes|René Descartesek]] ere [[koordenatu kartesiar|koordenatu sistema kartesiarreko]] emaitza negatiboekin.

=== Zatikiak ===

1858an [[Henry Rhind]]-ek [[Egipto|Egipton]], zatikiei buruzko informazioa zeukan papiro bat aurkitu zuen. Papiro hori, K.a. 2.000. eta K.a. 1.800. urteen artekoa da. Hala ere, zatiki unitarioak soilik hartzen zituzten kontuan, hau da, zenbaki naturalen alderantzizkoak zirenak, <math>1/n</math>, eta obalo batekin adierazten zituzten. Bazeuden beste sinbolo bereziekin adierazten zituzten frakzioak, hala nola 
{{Ekuazio|:<math>\frac{2}{n}</math> \textrm{ edo }<math>\frac{n}{n} + 1 </math>,}} itxurakoak. Papiro honetan, <math>2/n</math> motako zenbakien deskonposizio-taulak zeuden, adibidez, {{Ekuazio|:<math>\frac{2}{5} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15}</math> \textrm{ edo } <math>\frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28}</math>.}} Taula hauetan agertzen ziren frakzioetan erabili zuten <math>n</math> zenbakia 1etik 101era bitartekoa zen.

Zatiki hamartarren kontzeptua oso erlazionatuta dago leku-balio hamartarra duen notazioarekin; biak paraleloan garatu zela dirudi. Adibidez, [[Jainismo|Jain]] erlijio indiarreko [[sutra]] matematikoan (K.a. III. mendea), ohikoa zen [[pi]] edo erro bi (<math>\sqrt{2}</math>)-ren hurbilketak kalkulatzea zatiki hamartar bidez. Garai berdintsuan, Babiloniako textu matematikoetan ere 60 oinarriko zenbaki-sistemako zatikiak oso ohikoak ziren. Greziar matematikarietan zatikien analisi zehatzena [[Euklides|Euklidesen]] ''Elementuak'' liteke.

=== Zenbaki konplexuak ===
Zenbaki konplexuak XVI. mendean agertu ziren matematikari italiarren eskutik, bi eta hirugarren graduko ekuazioak aztertzean. Dena dela, gutxitan onartzen ziren ekuazio hauen soluzio gisa eta ia inoiz ez koefiziente modura, garai hartan zenbaki nebatiboak ere ez baitzeuden oso onartuak. [[René Descartes|René Descartesek]] zenbaki hauei 'irudikari' izena mespretxuz eman zien, interpretazio errealik ez omen zutelako. 

[[Girolamo Cardano|Girolamo Cardanok]] (1501-1576) ''10 zenbakia bi zatitan zatitu, haien biderkadurak 40 balio dezan'' (<math>x^2-10x+40=0</math> problema ebaztean, soluzio hauek lortu zituen: <math>5+\sqrt{-15}</math> eta <math>5-\sqrt{-15}</math>. Ekuazio kubikoak Cardano-Tartaglia formularen bidez ebaztean, nahiz eta emaitzak errealak izan, zenbaki negatiboen erroak ageri dira tarteko urratsetan. Egoera horretan, [[Rafael bombelli|Rafael Bombellik]] (1526-1573) bere ''Aljebra'' liburuan 'ideia ero' zeritzona izan zuela dio, hau da, errotzaileek errokizunen erlazio bera izan eta haiekin lan egin zezaketen, beranduago, desagerrarazten saiatuz gero.

Beste nahasmen iturrietako bat zenbaki konplexuen erabilera aljebraikoak sorturiko arazoak ziren. Adibidez,
{{Ekuazio|:<math>(\sqrt{-1})^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1,</math>}}
ez zetorren bat zenbaki positiboen identitate aljebraikoarekin
{{Ekuazio|:<math>\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}</math>.}}
Gaur egun badakigu ekuazio hau ez dela betetzen zenbaki konplexuentzako, eta zailtasun hau izan zen [[Leonhard Euler|Leonhard Euler]] zenbaki irudikarientzako sinbolo berri bat sortzera eraman zuena <math>i=\sqrt{-1}</math>.

Zenbaki konplexuen irudikapen grafikoa [[Caspar Wessel|Caspar Wesselek]] (1745-1818) egin zuen, baina oharkabean igaro zen. Horregaitik deitzen zaio zenbaki konplexuen planoari ''Gaussen planoa'', [[Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gaussi]] (1777-1855) esleitzen baitzaio. [[Girard|Girarden]] garaitik (XVII. mendearen erditik) ezagutzen da zenbaki errealak zuzen baten puntuekin bat egiten dutela, beraz hauek ardatz bertikalean kokatuz gero, zenbaki konplexuak bi dimentsioko plano batean irudika ditzakegu, non irudikariak ardatz bertikalean kokatzen diren. <math>a+bi</math> motako zenbaki konplexuekin ere lan egin zuen, <math>a</math> eta <math>b</math> zenbaki osoak izanik, eta <math>i</math> Eulerren zenbaki irudikarien ikurra. Gaussek zabaldu zuen honen erabilera ''Disquisitiones arithmeticae'' obran (1801).

[[Fitxategi:A plus bi.svg|thumb|upright=1.15|Zenbaki konplexuak <math>z=a+ib</math> bi dimentsioko planu konplexuko bikote moduan adieraz daitezke <math>(a,b)</math>. ''Re'' ardatz horizontal erreala da eta ''Im'' ardatz bertikal irudikaria, non <math>i^2=-1</math>.]]

=== Indukzio matematikoaren printzipioa ===
Indukzio matematikoaren aurrekaria indukzio osoa izeneko frogapen metodoa da. [[Pascal]]<nowiki/>ek (1623-1662) indukzio matematikoaren metodoa erabili zuen, gaur egun ezagutzen dugun moduan, bere izena daraman zenbaki triangeluari dagozkion propietateak frogatzeko. Indukzioaren bidezko frogapenek bi zati dituzte beti: oinarrizko urratsa eta indukziozko urratsa. Ondoren, notazio gaurkotuan deskribatzen dira:

<math>S</math> zenbaki arrunten azpimultzoa bada (<math>\aleph</math> moduan ezaguna) eta <math>n</math> elementu bakoitzak <math>P(n)</math> propietatea betetzen badu non:

# <math>0</math> <math>S</math> azpimultzoan dago.
# <math>n</math> <math>S</math> -n badago, orduan <math>n+1</math> ere <math>S</math> -n dago.

Beraz, <math>S</math>=<math>\aleph</math>, hau da, edozein <math>n</math> zenbaki arruntak <math>P(n)</math> propietatea betetzen du.

Intuizioz, indukzioa domino efektu gisa ulertzen da. Domino fitxen errenkada infinitua dugula suposatuz, oinarrizko urratsa lehenengo fitxa jaurtitzean datza; bestalde, urrats induktiboak frogatzen du fitxaren bat erortzen bada, hurrengo fitxa ere eroriko dela. Horren ondorioa errenkada horretako fitxa guztiak bota daitezkeela da.

=== Multzoen-teoria ===
Multzoen teoriak zenbaki arruntak eta zenbaki errealak zenbaki konplexuek zenbaki errealen multzora hedatzen zituzten modu ezberdinez zabaltzeko modu asko eta askotarikoak iradoki zituen. Multzoaren ideia elementu-kopuru ez finitu batekin atzemateko saiakerak zenbaki transfinituen aritmetikara eraman zuen, zenbaki naturalak orokortzen baitituzte, baina ez zenbaki osoak. Zenbaki transfinituak [[Georg Cantor]]<nowiki/>rek sartu zituen 1873 inguruan.

Analisi ez-estandarrean erabilitako zenbaki hipererrealek zenbaki errealak orokortzen dituzte, baina ez zenbaki konplexuak (nahiz eta konplexutasun bat onartzen duten, zenbaki konplexuak ere orokortuko lituzkeena). Zenbaki hipererrealak dirudien arren, ez dute emaitza matematiko interesgarririk ematen analisi errealean lor daitezkeenetatik haratago doazenik, frogapen eta froga matematiko batzuek sinpleagoak dirudite zenbaki hipererrealen formalismoan, eta, beraz, ez daude garrantzi praktikotik salbuetsita.

=== Irrazionalen teoriak ===
XIX. mendearen erdialdera arte matematikariak zenbakien ulermen intuitiboarekin konformatzen ziren eta euren propietate sinpleak ez ziren logikoki XIX. mendera arte ezarriak izan. Azterketan zorroztasuna sartzeak agerian utzi zuen zenbaki errealen sistemaren argitasunik eza eta zehaztasunik eza, eta oinarri aritmetikoen gainean egituratze logikoa eskatzen zuen.

[[Bernard Bolzano|Bolzano]]<nowiki/>k zenbaki errealak zenbaki arrazionalen segidetan oinarrituta eraikitzeko saiakera bat egin zuen, baina bere teoria oharkabean igaro zen eta 1962ra arte ez zen argitaratu. [[William Rowan Hamilton|Hamiltonek]] saiakera bat egin zuen, denbora magnitudeari erreferentzia eginez, zenbaki arrazionalen banaketetatik abiatuta:

: baldin eta <math> a = \cfrac{n_1}{m_1} 
</math>,  <math> b = \cfrac{n_1^2}{m_1^2} 
</math> denean eta baldin eta <math> a = \cfrac{n_2}{m_2} 
</math>, <math> b = \cfrac{n_2^2}{m_2^2} 
</math> denean <math> \quad \longrightarrow \quad a= \sqrt{b} 
</math>          
: Baina ez zuen bere teoria gehiago garatu.
: Baina 1872an bertan bost matematikarik, frantses batek eta lau alemanek, zenbaki errealen aritmetizazioari buruzko beren lanak argitaratu zituzten

* [[Charles Merayk]] (1835-1911) Nouveau précis d 'analyse infinitesimale lanean zenbaki irrazionala zenbaki arrazionalen segiden limite gisa definitzen du, kontuan hartu gabe limitearen existentziak berak zenbaki errealaren definizioa suposatzen duela.

* Hermann Heinek (1821-1881), Journal de Crelle egunkarian, 1872an, «Funtzioen teoriaren elementuak» izeneko artikulua argitaratu zuen, non [[Cantor]]<nowiki/>ren antzeko ideiak proposatzen zituen, gaur egun «[[Teorema de Heine-Cantor|Heine-Cantorren teorema]]» deitzen dena.

* [[Richard Dedekind|Richard Dedekindek]] (1831-1916) [[Stetigkeit und irrationale zahlen]] argitaratu zuen. Bere ideia zuzen errealaren jarraitutasunean eta zenbaki arrazionalak bakarrik kontuan hartuz dauden "zuloetan" oinarritzen da. «R domeinua» izeneko atalean, zuzenaren jarraitutasuna ezartzen duen axioma bat adierazten du: «Zuzenaren puntu bakoitzak zuzenaren puntuak bi motatan banatzen ditu, hots, lehenengoaren puntu bakoitza bigarren motako puntu bakoitzaren ezkerraldean dago; orduan, zatiketa hori eragiten duen puntu bakarra dago». Ideia hori bera erabiltzen du «zenbaki irrazionalen sorrera» atalean, «Ebakidura» kontzeptua sartzeko. [[Bertrand Russell]]<nowiki/>ek gero esango luke klase batekin nahikoa dela, honek bestea definitzen baitu.

* [[Georg Cantor]] (1845-1918). Oinarrizko segida, segida elementala eta oinarrizko segidaren limite kontzeptuak definitzen ditu, eta horietatik abiatuz zenbaki erreala definitzen du.

* [[Karl Weierstrass]] (1815-1897). Ez zuen bere lana argitaratu, Bolzano, Abel eta Cauchykoen jarraipena, baina Berlingo Unibertsitatean ikasi zuelako izan zen ezaguna. «Tarte ahokatuetan» oinarritutako karakterizazioa, zenbaki arrazional bati kontrajar dakizkiokeenak baina ez derrigorrez egiten dutenak, ez da aurrekoak bezain orokorgarria, baina zenbaki errealen irudikapen hamartarrerako sarbide erraza ematen du.

=== Aljebra hiperkonplexuak ===
Zenbaki errealetatik zenbaki konplexuak lortzeko eraikuntzak eta horiek planoko antzeko transformazioen multzoarekin duten loturak [[Números hipercomplejos|zenbaki hiperkonplexuak]] izenez ezagutzen diren antzeko beste orokortze batzuk iradoki zizkien matematikari batzuei. Orokortze horietan guztietan zenbaki konplexuak zenbaki-sistema berri horien azpimultzo bat dira, nahiz eta orokortze horiek aljebra-egitura matematikoa izan gorputz baten gainean, baina haietan biderkatze-eragiketa ez da kommutatiboa.

== Zenbakien sailkapena ==
=== Zenbaki arruntak ===
{{sakontzeko|Zenbaki arrunt}}
[[Fitxategi:-bertsomate- Zenbaki arruntak.webm|thumb|ezkerrera|0,1,2,3,4 / ta osteko denak / izenak dion gisan / dira ARRUNTenak / duguna zenbatzeko / balio dutenak.]]
Zenbaki motarik ezagunenan [[zenbaki arrunt]]ak dira, askotan '''zenbaki oso''' ere deituak: [[bat|1]], [[bi|2]], [[hiru|3]] eta ondoren doazen guztiak. Tradizionalki zerrenda hau 1 zenbakiarekin hasi da, [[zero|0]] ez baitzen kontsideratzen zenbaki bat [[Antzinako Grezia]]n. Hala ere, [[XIX. mende]]tik aurrera [[multzo-teoria]]ren garatzaileek eta matematikariek 0 gehitzen hasi ziren zenbaki arrunte barnean. Gaur egun, matematikariek bi multzoak izendatzeko erabiltzen dute zenbaki arruntak, 0 barnebildu edo ez<ref>{{Erreferentzia|izena=Weisstein, Eric|abizena=W.|izenburua=Natural Number|hizkuntza=en|url=http://mathworld.wolfram.com/NaturalNumber.html|sartze-data=2018-01-26}}</ref>. Matematikan zenbaki hauek izendatzeko erabiltzen den sinboloa '''N''' da, baita <math>\mathbb{N}</math> idatzia, eta batzuetan <math>\mathbb{N}_0</math> edo <math>\mathbb{N}_1</math> beharrezkoa denean adieraztea 0 edo 1 zenbakitik hasten diren.

[[Zenbaki sistema hamartar]]rean, gaur egun operazio matematikoetan ia unibertsalki erabiltzen dena, zenbaki naturalak hamar [[digitu]] erabiltzen idazten dira: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, eta 9. [[Zenbaki-sistemaren oinarri]]a zenbaki-sistema batek zenbakiak errepresentatzeko erabiltzen duen digito ezberdinen kopurua da. Zenbaki sistema hamartarrean 10 da<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Base system {{!}} ChalkStreet Aptipedia|hizkuntza=en|url=https://www.chalkstreet.com/aptipedia/knowledgebase/base-system/|aldizkaria=ChalkStreet|sartze-data=2018-01-26}}</ref>. Sistema honetan, eskuman idazten den sistemak 1-eko leku-balioa du, eta beste edozein digitok bere eskubian dagoen digitoaren 10 aldiz balio handiagoa izango du. Adibidez, 34 zenbakian ''4'' digitoak <math>4 \times 1</math> balioa izango du eta ''3'' digitoak <math>3 \times 10</math>.

=== Zenbaki osoak ===
{{sakontzeko|Zenbaki oso}}
[[Fitxategi:-bertsomate- Zenbaki osoak.webm|thumb|Jasotzeko adina / dugunez kentzeko / minus-a beharrezko zen / hori azaltzeko / negatiboak / gehitu / ziren OSOtzeko]]
[[Fitxategi:Zenbaki osoak Azalpena 1 DBH.webm|thumb|'''Zenbaki osoak''' ulertzeko bideoa.{{Jakindun}}]]
[[Zenbaki oso]]en multzoan [[zenbaki arrunt]]ak biltzen dira (0,1,2,...), beren aurkakoekin batera (-0,-1,-2,...). -0 eta 0 berdintzat jotzen dira. Zenbaki osoen multzoa Z hizkiaz izendatu ohi da (''Zahlen'' germanierazko hitzetik). Zenbaki osoak batu, kendu eta biderkatu egin daitezke: emaitza beti izango da zenbaki oso bat.

x+a=b motako ekuazioen soluzioa, non a eta b zenbaki osoak diren, zenbaki osoa izango da. [[Zenbaki arrunt]]en kasuan ez da esaterako gauza bera gertatzen. Zorrotzago, zenbaki osoen multzoak, batuketa eta biderketa eragiketak definitu ondoren, [[eraztun trukakorra]] osatzen duela esan behar da.


=== Zenbaki arrazionalak ===
{{sakontzeko|Zenbaki arrazional}}
[[Fitxategi:-bertsomate- zenbaki arrazionalak.webm|thumb|Ta elkarbanatzea / denez naturala / pizza bat zein pastel bat / zatitu bezala / osoen zatidura / da ARRAZIONALA<nowiki></poem></nowiki>]]
[[Zenbaki arrazional]] bat [[zatiki]] moduan espresa daitekeen edozein zenbaki da, [[zenbakitzaile]]a [[zenbaki oso]] bat baldin bada eta [[izendatzaile]]a zenbaki oso positibo bat. Izendatzaile negatiboak baimentzen dira, baina normalki ez dira erabiltzen, edozein zenbaki arrazional izendatzaile positibo bat duen zatiki baten berdina delako. Zatikiak bi zenbaki osorekin osatzen dira, zenbakitzailea eta izendatzailea, barra bat jarrita zatitzen euren erdia. Adibidez <math>\tfrac{m}{n}</math> zatikiak ''m'' zatitzen du ''n'' atal berdinetan. Bi zatiki egon daitezke zenbaki arrazional berdinari dagokionak, adibidez <math>\tfrac{1}{2}</math> eta <math>\tfrac{2}{4}</math> berdinak dira, hau da,
: <math>{1 \over 2} = {2 \over 4}.</math>

Oorkorrean
:<math>{a \over b} = {c \over d}</math> baldin eta bakarrik <math>{ a \times d} = {c \times b}.</math>

''m''ren [[balio absolutu]]a ''n''rena baino handiagoa bada (positiboak direla pentsatuz), orduan zatikiaren balio absolutua 1 baino handiago izango da. Zatikiak izna daitezke 1 baino handiago, txikiago edo berdin, eta izan daitezke positibo, negatibo edo 0. Zenbaki arrazional guztien multzoak zenbaki oso guztiak barnean hartzen ditu, edozein zenbaki oso idatzi daitekeelako izendatzailearen zatiki gisa. Adibidez, -7 idatzi daiteke <math>\tfrac{-7}{1}</math> gisa. Zenbaki arrazionalen ikurra '''Q''' da (''quotient'' hitzetik), eta horrela ere idatzi daiteke: <math>\mathbb{Q}</math>.

=== Zenbaki arrunt bereziak ===
Zenbakien ezaugarrien ikerketari esker, bitxiak diren zenbakiak aurkitu dira, matematikoki balio berezirik izan ez arren:

* '''Sheldon,''' adibidez, 73 zenbakia. 21. zenbaki lehena da, eta 7 · 3 = 21 betetzen da. Digituak trukatzean, 37 zenbakia lortzen da, eta hau, 12. zenbaki lehena da.
* '''Nartzisista,''' n digituko zenbakia da, haren digituak n. mailara berretzean eta batzean, zenbaki bera ematen dute. Adibidez, 153 = 1<sup>3</sup> + 5<sup>3</sup> + 3<sup>3</sup>.
* '''Omirp,''' zenbaki lehen baten digituak trukatzean, beste zenbaki lehen bat ematen dute. Adibidez, 1597 eta 7951.
* '''Banpiro,''' bere digituetatik lortutako bi zenbakiren biderkadurak, beste zenbaki lehen bat ematen du.

=== Beste zenbaki batzuk ===
Erreal diren zenbakien artean, ekuazio aljebraikoen soluzio ez direnak [[Zenbaki transzendente|transzendenteak]] deritzegu; adibidez, [[Pi (zenbakia)|Pi]] eta [[E (zenbakia)|e]]. Bi zenbaki hauek [[Eulerren identitate]]aren bidez erlazionatuak daude.

=== Beste zenbaki batzuk ===
* [[Koaternioi]]
* [[Zenbaki aljebraiko]]
** [[Zenbaki defektibo]]
** [[Zenbaki kardinal]]
** [[Zenbaki konposatu]]
** [[Zenbaki lehen]]
** [[Zenbaki oparo]]
** [[Zenbaki ordinal]]
** [[Zenbaki perfektu]]
**[[Zenbaki alai]]
** [[Zero]]
* [[Zenbaki erreal]]
* [[Zenbaki infinitu]]
* [[Zenbaki irrazional]]
* [[Zenbaki konplexu]]

** [[Zenbaki bakoiti]]
** [[Zenbaki bikoiti]]
* [[Zenbaki-sistema]]k
** [[Zenbaki-sistema bitar]]ra
** [[Zenbaki-sistema hamartar]]ra
** [[Zenbaki-sistema hamaseitar]]ra
** [[Zenbaki-sistema zortzitar]]ra
* [[Zenbaki transfinitu]]
* [[Zenbaki transzendente]]: [[Pi (zenbakia)|Π]], [[E (zenbakia)|e]]

* [[Taxicab zenbakia]]k

== Zenbakien adierazpen sistema ==

=== Zifra, digitu eta zenbakizko ===
Zenbakiak letraz adierazteko modu ohikoenetako bat ''sinboloen multzo finitu'' bat edo digitu bat da, eta modu egokian konbinatuz, zenbaki gisa funtzionatzen duten zifrak eratzea ahalbidetzen du. Zeinu-sekuentzia jakin bat zenbaki bat irudikatzeko erabiltzen denean, zenbakizkoa deitzen zaio.

=== Zenbakizko oinarria ===
Hizkuntza naturalek eta zifren bidez idazten diren zenbakiek arazoak izan ohi dituzte kopuru handiak adierazteko. Hori konpontzeko, matematika arloan oinarri aritmetiko bezala ezagutzen dena erabiltzen hasi zen, hau da, edozein zenbaki beste baten batuketaren edo biderketaren bidez adierazi zen. Adibidez, 13568 zenbaki arabiarra horrela banakatzen da:

8ak, azken zifra denez, [[Unitate (argipena)|unitate]]<nowiki/>ak adierazten ditu; 6ak, [[hamarreko]]<nowiki/>ak; 5ak, [[ehuneko]]<nowiki/>ak; 3ak, [[Milakoa|milako]]<nowiki/>ak; eta 1ak, hamar milakoak. Hau da:

1 · 10<sup>4</sup> + 3 · 10<sup>3</sup> + 4 · 10<sup>2</sup> + 6 · 10<sup>1</sup> + 8 · 10<sup>0</sup> = 13568

Hizkuntza askok oinarri hamartarra erabiltzen dute, sistema arabiarrak bezala, beste hainbat hizkuntzatan, aldiz, ohikoa da hogei oinarriko sistemak erabiltzea.

=== Zenbakiak hizkuntza naturaletan ===
[[Hizkuntza natural]]<nowiki/>ek izenak erabiltzen dituzte hatz bidezko zenbaketan oinarritutako zenbakietarako. Horregatik, hizkuntza gehienek 10 oinarriko (eskuetako hatzak) edo 20 oinarriko (esku eta oinetako hatzak) zenbaki-sistemak erabiltzen dituzte.

==[[Fitxategi:Jakindun logoa.png|left|24px]] Ariketak ==
<gallery mode="packed" heights="120" style="background-color: #fef6e7; margin-left: 0;" caption="Zenbakiak">
Fitxategi:Zenbaki osoak  Ariketa 2  1 DBH.webm|'''Zenbaki osoak''' lantzeko ariketa.
Fitxategi:Zenbaki osoak  Ariketa  1 DBH.webm|'''Zenbaki osoak''' lantzeko ariketa II.
</gallery>
== Erreferentziak ==
{{erreferentzia zerrenda}}

== Ikus, gainera ==
* [[Matematika]]
* [[Oinarri konstanteko zenbaki-sistema]]
* [[Zenbakizko kognizioa]]
* [[Erromatar zenbakera]]

== Kanpo estekak ==
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Zenbakiak|*]]
[[Kategoria:Objektu matematikoak]]