Zenbaki konplexu-en iturria ikusi

{{Wikipedia1000}}
[[Fitxategi:-bertsomate- Zenbaki konplexuak.webm|thumb|
<poem>
Baina negatiboek
sortu zuten sua
errorik ez zutela
zekarten kexua
gehitu ta osatu zen
plano KONPLEXUA
</poem>
]]
{{Zenbakiak}}
'''Zenbaki konplexuak''' zenbaki erreal pare batez osatutako [[zenbaki]]ak dira, hurrengo eran idatz daitezkeenak:

<math>a + ib\,</math>, non '''''i''''' [[unitate irudikari]]a <math>i^2=-1</math> propietatea betetzen duena den. <math>z = a + ib\,</math> z zenbaki konplexuaren adierazpen binomikoa da. <math>a</math> eta <math>b</math> bi zenbaki erreal dira, a: z-ren zati erreala eta b: z-ren zati irudikaria direla diogu eta <math>a = Re z </math>, <math>y = Imz</math> idatzi ohi da. 

Adibidez, hau zenbaki konplexua da: <math>z = \sqrt2  + \sqrt3i</math>, non <math>\sqrt2</math> parte erreala eta <math>\sqrt3</math> parte irudikaria den. 

[[Zenbaki erreal|Zenbaki errealen]] multzoa '''zenbaki konplexuen''' parte dira. Zenbaki konplexuen multzoa <math>{\displaystyle \mathbb {C} } 
 </math> ikurarren bidez adieraziko dugu, eta honela definitu: 

<math>{\displaystyle \mathbb {C} } = \{ x + yi : x,y \in \mathbb{R}\}
 
 </math>

Zenbaki errealen hedapen gisa, horien eragiketak betetzen dituzte, eta beste propietate garrantzitsu batzuk ere betetzen dituzte. Adibidez, zenbaki errealetan ez bezala, [[polinomio]] orok ebazpena dauka zenbaki konplexuen [[multzo]]an.

Zenbaki konplexuak, (<math>\mathbb{C}</math>) notazioaren bidez izendatuak, (<math>\mathbb{R}</math>) zenbaki errealen [[Luzapen aljebraiko|luzapen]] bat dira, eta aljebraikoki itxitako gorputz bat osatzen dute<ref>J. V. Uspenski (profesor de la Universidad de Stanford): ''Teoría de ecuaciones'', Limusa grupo Noriega editores. México DF. (1992) ISBN 968-18-2335-4.</ref>. Bi zenbaki-[[Multzo|multzoen]] artean, <math>\mathbb{R}\sub\mathbb{C}</math> betetzen da, hau da: <math>\mathbb{R}</math> hertsiki edukia dago <math>\mathbb{C}</math>-en. Zenbaki konplexuek [[Polinomio|polinomioen]] [[Funtzio baten erroa|erro]] guztiak hartzen dituzte bere baitan, [[Zenbaki erreal|errealek]] ez bezala. Zenbaki konplexu oro [[zenbaki erreal]] baten eta [[zenbaki irudikari]] baten batura gisa adieraz daiteke ([[Unitate irudikari|unitate irudikariaren]] multiplo erreala dela, <math>i</math> letraz adierazten dena, edo forma polarrean).

Zenbaki konplexuak [[Aljebra|aljebraren]] lan-tresna dira, analisia, baita [[Matematika huts|matematika puru]] eta aplikatuen adarrak [[Analisi konplexu|analisi konplexu]] gisa ere, [[Ekuazio diferentzial|ekuazio diferentzialak]]; integralen kalkulua errazten du [[Aerodinamika|aerodinamikan]], [[Hidrodinamika|hidrodinamikan]] eta [[Elektromagnetismo|elektromagnetismoan]], garrantzi handiko beste batzuen artean. Gainera, zenbaki konplexuak nonahi erabiltzen dira [[Matematika|matematikan]], [[Fisika|fisikaren]] arlo askotan ([[Mekanika kuantiko|mekanika kuantikoan]] batez ere) eta [[Ingeniaritza|ingeniaritzan]], bereziki [[Ingeniaritza elektriko|elektrikoan]], [[Ingeniaritza elektroniko|elektronikoan]] eta [[Telekomunikazio ingeniaritza|telekomunikazioetan]] [[Erradiazio elektromagnetikoa|uhin elektromagnetikoak]] eta [[Korronte elektriko|korronte elektrikoa]] irudikatzeko duten erabilgarritasunagatik.

[[Matematika|Matematikan]], zenbaki horiek [[Gorputz (matematika)|gorputz]] bat osatzen dute, eta, oro har, planoaren ([[Plano konplexu|plano konplexuaren]]) puntutzat hartzen dira. Gorputz horrek [[Zenbaki erreal|zenbaki errealak]] eta [[Zenbaki irudikari|irudikari]] puruak dauzka.

==Historia==
[[Hirugarren mailako ekuazio]] baten [[Erroketa|erroen]] emaitzaren formula orokorrak ([[Funtzio trigonometriko|funtzio trigonometrikorik]] erabili gabe) [[zenbaki negatibo]] baten erro karratuak ditu hiru erroak [[Zenbaki erreal|zenbaki errealak]] direnean, [[Faktorizazio|faktorizatuz]] zuzendu ezin den egoera bat erro arrazionalaren teoremaren laguntzaz polinomio kubikoa [[Polinomio laburtezin|laburtezina]] bada (''Kasus irredubilis'' deitutakoa). Enigma horrek eraman zuen [[Girolamo Cardano]] italiar matematikaria zenbaki konplexuak asmatzera 1545 inguruan<ref>{{Erreferentzia|izena=Morris |abizena= Kline|izenburua=A history of mathematical thought, volume 1|orrialdea=253}}</ref>, ulerkuntza oso oinarrizkoa bazen ere.

Azkenean, polinomio orokorren arazoari buruzko lanak [[Aljebraren oinarrizko teorema|aljebraren oinarrizko teoremara]] eraman zuen, zeinak erakusten duen zenbaki konplexuen eremuan emaitza bat dagoela lehen graduko edo goragoko [[polinomio]] ekuazio bakoitzarentzat. Zenbaki konplexuek aljebraikoki itxitako gorputz bat osatzen dute, non edozein ekuazio polinomikok erro bat duen.

Matematikari askok lagundu zuten zenbaki konplexuak garatzen. Zenbaki konplexuen erroak batu, kendu, biderkatu eta ateratzeko arauak [[Rafael Bombelli]] matematikari italiarrak garatu zituen<ref>{{Erreferentzia |abizena1=Katz |izena1=Victor J. |izenburua=A History of Mathematics, Brief Version |section= 9.1.4 |argitaletxea=[[Addison-Wesley]] |isbn=978-0-321-16193-2 |urtea=2004}}</ref>, eta [[William Rowan Hamilton]] matematikari irlandarrak formalismo abstraktuagoa garatu zuen zenbaki konplexuetarako, abstrakzio hori [[Koaternioi|koaternioien]] teoriara hedatuz.

Agian esan daiteke [[Zenbaki negatibo|zenbaki negatiboaren]] [[Erro karratu|erro karratuko]] erreferentzia iheskor goiztiarrena [[Heron Alexandriakoa]] I. mendeko [[matematikari]] [[Greziar|greziarraren]] lanean agertzen dela. Bere ''Stereometrica''n, [[Piramide (arkitektura)|piramide]]-[[Enbor (geometria)|enbor]] baten bolumena, itxuraz akats baten ondorioz, kontuan hartzen du, ezinezkoa den soluzio batekin, Bere kalkuluetan,  <math>\sqrt{81 - 144} = 3i\sqrt{7}</math> amaierara iritsi zen, nahiz eta ez zen kopuru negatiborik sortzen [[Greziar matematika|matematika helenikoan]], eta Heronek balio positibo beragatik (<math>\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}</math>) ordeztu besterik ez zuen egin<ref>{{Erreferentzia |izenburua=An Imaginary Tale: The Story of {{Erro|−1}} |abizena=Nahin |izena=Paul J. |urtea=2007 |argitaletxea=[[Princeton University Press]] |isbn= 978-0-691-12798-9 |url=http://mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=149&threadID=383188&messageID=1181284 |accessdate=20 de abril de 2011}}</ref>.

Zenbaki konplexuak berezko gaitzat aztertzeko interesa XVI. mendean sortu zen lehen aldiz, italiar matematikariek [[polinomio]] [[Hirugarren mailako ekuazio|kubiko]] eta [[Laugarren mailako ekuazio|kuartikoen]] erroetarako irtenbide aljebraikoak aurkitu zituztenean (Ikus [[Niccolò Fontana Tartaglia|Niccolò Fontana Tartaglia]] eta [[Girolamo Cardano]]). Laster ohartu ziren formula horiek (soluzio errealetan bakarrik interesatuta bazeuden ere), batzuetan, zenbaki negatiboen [[Erro karratu|erro karratuak]] manipulatzea eskatzen zutela; adibidez, Tartagliaren formulan, <math>x^3 = px + q</math>{{refn|group="Oh"|Notazio modernoan, Tartagliaren soluzioa bi erro kubikoren baturaren kuboa hedatzean oinarritzen da:
<math>\left(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}\right)^3 = 3 \sqrt[3]{uv} \left(\sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}\right) + u + v</math>. <math>x = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}</math>-rekin, <math>p = 3 \sqrt[3]{uv}</math>, <math>q = u + v</math>, {{mvar|u}} eta {{mvar|v}}. Honela adieraz daitezke {{mvar|p}} eta {{mvar|q}} terminoetan <math>u = q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}</math> y <math>v = q/2 - \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}</math>, hurrenez hurren. Beraz, <math>x = \sqrt[3]{q/2 + \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}} + \sqrt[3]{q/2 - \sqrt{(q/2)^2-(p/3)^3}}</math>. Horrela <math>(q/2)^2-(p/3)^3</math> negatibo denean (''casus irreducibilis''), bigarren erro kubikoa lehenengoaren konjugatu konplexutzat hartu behar da.}} formako ekuazio kubiko baterako, <math>x^3 = x</math> ekuazioari honela ematen dio ebazpena:
: <math>\tfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\left(\sqrt{-1}\right)^{1/3}+\left(\sqrt{-1}\right)^{-1/3}\right).</math>

''A priori'', horrek zentzurik ez duela dirudi. Hala ere, zenbaki konplexuekin egindako kalkulu formalek erakusten dute <math>z^3 = i</math> ekuazioak <math>-i</math>, <math>{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}+{\tfrac{1}{2}}i
</math> eta <math>{\tfrac{-\sqrt{3}}{2}}+{\tfrac{1}{2}}i</math> soluzioak dituela. Tartagliaren formula kubikoan <math>{\sqrt{-1}^{1/3}}</math> jarriz eta sinplifikatuz, <math>0</math>, <math>1</math> eta <math>-1</math> lortzen dira <math>x^3-x = 0</math>-ren emaitza gisa. Jakina, ekuazio hori begi hutsez ebatz daiteke, baina erakusten du ezen, erro errealak dituzten ekuazio kubikoak ebazteko formula orokorrak erabiltzen direnean, zenbaki konplexuak erabiltzea (''casus irreductibilis'') saihestezina dela ondorengo matematikariek zorrotz frogatu zuten moduan. [[Rafael Bombelli]] izan zen ekuazio kubikoen soluzio, itxuraz paradoxiko, horiei esplizituki ekin zien lehena, eta problema hauek ebatzi nahi dituen aritmetika konplexurako arauak garatu zituen.

Kopuru horietarako ''irudikari'' terminoa [[René Descartes|René Descartesek]] asmatu zuen 1637an, eta, hain zuzen ere, bere irudimenezko izaera azpimarratzen saiatu zen<ref>{{Erreferentzia |izenburua=La Géométrie &#124; The Geometry of René Descartes with a facsimile of the first edition |abizena=Descartes |izena=René |authorlink=René Descartes |urtea=1954 |jatorri-urtea=1637 |argitaletxea=[[Dover Publications]] |isbn=978-0-486-60068-0 |orrialdea= |url=https://archive.org/details/geometryofrenede00rend |accessdate=20 de abril de 2011 }}</ref>.
{{Esaera2|[...] batzuetan imajinarioak bakarrik, hau da, beti imajina daiteke ekuazio bakoitzean esan dudan bezainbeste, baina batzuetan ez dago imajinatzen denarekin bat datorren kantitaterik.
''([...] quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.)''}}

Beste nahasmendu-iturri bat izan zen <math>\sqrt{-1}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1</math> ekuazioak <math>\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}</math> identitate aljebraikoarekin bateraezina zirudiela <math>a</math> eta <math>b</math> [[zenbaki erreal]] ez-negatiboetarako balio duena eta <math>a</math> edo <math>b</math> positiboren bat eta beste negatiboren bat duten zenbaki konplexuen kalkuluetan ere erabili zena. Identitate hori (eta horrekin lotutako <math>\tfrac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\tfrac{1}{a}}</math> identitatea) oker erabiltzea, <math>a</math> eta <math>b</math> negatiboak direnean, [[Leonhard Euler|Euler]] bera ere kezkatu zuen. Zailtasun horrek, azkenean, <math>\sqrt{-1}</math> sinboloaren ordez (<math>i</math>) sinbolo berezia erabiltzeko konbentzioa ekarri zuen errore horretatik babesteko. Hala ere, Eulerrek naturaltzat jo zuen ikasleei zenbaki konplexuak gaur egun egiten dena baino askoz lehenago aurkeztea. ''Aljebrako elementuak'' izeneko [[Oinarrizko aljebra|oinarrizko aljebrari]] buruzko bere testuliburuan, ia berehala sartzen zituen zenbaki horiek, eta, gero, modu naturalean erabiltzen zituen.

XVIII. mendean, zenbaki konplexuek erabilera zabalagoa lortu zuten, bada, adierazpen konplexuen manipulazio formala [[Funtzio trigonometriko|funtzio trigonometrikoak]] eskatzen dituzten kalkuluak sinplifikatzeko erabil zitekeela nabaritu baitzen. Adibidez, 1730ean, [[Abraham de Moivre|Abraham de Moivrek]] ikusi zuen ezen angelu baten multiplo oso baten funtzio trigonometrikoak angelu horren funtzio trigonometrikoen potentziekin erlazionatzen dituzten identitate konplexuak berradieraz litezkeela, besterik gabe, haren izena daraman formula ezagun honen bidez, [[De Moivreren formula]]:
: <math>(\cos \theta + i\sen \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sen n \theta. </math>

1748an, [[Leonhard Euler]] harago joan, eta [[Analisi konplexu|analisi konplexuaren]] [[Eulerren formula]] lortu zuen 
: (<math>\cos \theta + i\sen \theta = e ^{i\theta } </math>)
[[Berretura-serie|potentzia konplexuen serieak]] formalki manipulatuz, eta formula hori edozein identitate trigonometriko askoz ere identitate esponentzial sinpleagoetara murrizteko erabil zitekeela ikusi zuen.

Zenbaki konplexu baten ideia, [[Plano konplexu|plano konplexuko]] puntu gisa, [[Caspar Wessel|Caspar Wesselek]] deskribatu zuen lehen aldiz 1799an, nahiz eta, 1685ean, [[John Wallis|John Wallisen]] ''De Algebra tractatus'' lanean aurreratu.

''Wesselen Memoriak'' Danimarkako Arte Ederren Errege Akademiaren aktetan agertu ziren, baina oharkabean pasa ziren. 1806an, [[Jean-Robert Argand|Jean-Robert Argandek]] zenbaki konplexuei buruzko koadernotxo bat egin zuen bere aldetik, eta [[Aljebraren oinarrizko teorema|aljebraren oinarrizko teoremaren]] frogapen zehatza eman zuen. Lehenago, 1797an, [[Carl Friedrich Gauss|Carl Friedrich Gauss-ek]] teoremaren froga, funtsean, [[Topologia|topologiko]] bat argitaratu zuen, baina zalantzak adierazi zituen une horretan «−1-en [[Erro karratu|erro karratuaren]] benetako metafisikari» buruz. 1831. urtera arte ez zituen zalantza horiek gainditu, eta zenbaki konplexuei buruzko tratatua planoko puntu gisa argitaratu zuen, hein handi batean, notazio eta terminologia modernoak ezarriz. XIX. mendearen hasieran, beste matematikari batzuek, modu independentean, zenbaki konplexuen irudikapen geometrikoa aurkitu zuten: Buée, Mourey, [[John Warren (matematikaria)|Warren]], [[Jacques Frédéric Français|Français]] eta bere anaia, [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]]...<ref>{{Erreferentzia |izenburua=Two Cultures |editorea= Kim Williams|abizena1=Caparrini |izena1=Sandro |atala=On the Common Origin of Some of the Works on the Geometrical Interpretation of Complex Numbers|urtea=2000 |argitaletxea=Birkhäuser |isbn= 978-3-7643-7186-9 |orrialdea=139 |chapter-url=https://books.google.com/books?id=voFsJ1EhCnYC}} [https://books.google.com/books?id=voFsJ1EhCnYC&pg=PA139 Extract of page 139]</ref>.

[[Godfrey Harold Hardy]] matematikari ingelesak adierazi zuenez, [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]] izan zen zenbaki konplexuak «modu benetan seguru eta zientifikoan» erabiltzen lehena, nahiz eta [[Niels Henrik Abel]] eta [[Carl Gustav Jakob Jacobi]] gisako matematikariek nahitaez errutinaz erabiltzen zituzten Gaussek 1831ko tratatua argitaratu aurretik<ref>{{Erreferentzia |izenburua=An Introduction to the Theory of Numbers |abizena1=Hardy |izena1=G.H. |abizena2=Wright |izena2=E.M. |urtea=2000 |jatorri-urtea=1938 |argitaletxea=[[Oxford University Press|OUP Oxford]] |isbn= 978-0-19-921986-5 |orrialdea=189 (fourth edition)}}</ref>.

{{Esaera2|Gai hau orain arte okerreko ikuspuntutik kontsideratua izan bada eta, beraz, misterioz bildua eta iluntasunez inguratua, errua terminologia desegokiagatik da, hein handi batean. +1, -1 eta {{erro|−1}}-i unitate positibo, negatibo eta irudikaria (edo are okerrago, ezinezkoa) deitu ordez, unitate zuzen, alderantzizko eta alboko izenak eman izan bazitzaizkien nekez hedatuko zen halako iluntasunik - Gauss<ref>Extracted quotation from "[http://www.math.uri.edu/~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf A Short History of Complex Numbers]", Orlando Merino, University of Rhode Island (January, 2006) <nowiki>http://www.math.uri.edu/~merino/spring06/mth562/ShortHistoryComplexNumbers2006.pdf</nowiki></ref>}}

[[Augustin-Louis Cauchy|Augustin Louis Cauchy-k]] eta [[Bernhard Riemann|Bernhard Riemann-ek]] [[Analisi konplexu|analisi konplexuari]] buruzko oinarrizko ideiak eman zituzten, amaiera-egoera handira igoz, Cauchyren kasuan 1825 inguruan hasita.

Teorian erabiltzen diren termino arruntak bere sortzaileei zor zaizkie batez ere. [[Jean-Robert Argand|Argandek]] <math>\cos \phi + i\sin \phi</math>-ri ''norabide faktorea'' deitu zion, eta ''modulu'', <math>r = \sqrt{a^2+b^2}</math>-ri; [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] (1828) <math>\cos \phi + i\sin \phi</math>-ri "''forma murriztua''" deitu zion (''l'expression réduite''), eta, itxuraz, ''argumentu'' terminoa sartu zuen; [[Carl Friedrich Gauss|Gaussek]] <math>i</math> erabili zuen <math>\sqrt{-1}</math>-rako, «<u> terminoa sartu zuen '''zenbaki konplexu''' </u>» <math>a+bi</math>-rentzat, eta <math>a^2+b^2</math>-ri ''norma'' deitu zion. ''Direkzio koefizientea'' esamoldea, maiz <math>\cos \theta + i\sen \theta</math>-rako erabiltzen dena, [[Hermann Hankel|Hankeli]] (1867) zor zaio, eta, ''moduluarentzat'', balio absolutua [[Karl Weierstraß|Weierstrass]]-ri zor zaio.

Geroago, teoria orokorrari buruzko idazle klasikoen artean daude: [[Richard Dedekind]], [[Otto Hölder]], [[Felix Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Amandus Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] eta beste asko.

Funtzio analitikoei edo [[Analisi konplexu|aldagai konplexuei]] lotutako [[Zenbaki konplexu|zenbaki konplexuek]] kalkuluaren kontzeptua [[Plano konplexu|plano konplexura]] hedatzea ahalbidetu dute. Kalkulu aldagai konplexuak hainbat propietate aipagarri ditu, [[Matematika aplikatuak|matematika aplikatuan]] hainbat emaitza erabilgarria lortzeko erabil daitezkeen propietateak dituztenak<ref>William R. Derrick: ''Variable compleja con aplicaciones''. Grupo Editorial Iberoamérica, impreso en México ISBN 968-7270-35-7</ref>.

== Definizioa eta adierazpenak ==
[[Zenbaki konplexu|Zenbaki konplexuak]] [[zenbaki erreal]] [[bikote ordenatu]] izenez definitzen dira,

<math> z = (x,y)\,</math>

Lehenengo zenbakiari, zati erreala deitzen zaio, eta, bigarrenari, zati irudikaria. Zenbaki errealak zenbaki konplexuen azpimultzo dira; ''a'' zenbaki erreala ''(a,0)'' zenbaki konplexu moduan idatz daiteke. ''(x,0)'' erako zenbakiei, erreal puruak deritze, eta ''(0,y)'' erakoei, irudikari puru. Horrela, ''i'' unitate irudikaria (0,1) zenbakia da.

Beste adierazpen era bat binomikoa da, gehien erabiltzen denetarikoa. Era honetan, bi zenbaki erreal erabiltzen dira ''i'' unitate irudikariarekin zenbaki konplexu bat eratzeko:

<math> z = x + iy\,</math>

=== Adierazpen polarra ===
[[Fitxategi:Complex number.svg|thumb|300px|Zenbaki konplexu baten adierazpen polarra.]]

''(x,y)'' pareak bana-banako korrespondentzia bat du plano bateko puntuekin, [[Plano konplexu|plano konplexua]] deiturikoa. Hau da, ardatz horizontala zati erreal gisa hartuz eta bertikala zati irudikari gisa, bertako puntuak ''(x,y)'' bikoteagatik definituak daude. Horrek ohiko era polarrean idaztea ahalbidetzen du, <math>x = r\cos\theta</math> eta <math>y = r\sin\theta</math> baitira. ''z = (x,y) = x + iy'' idazteko beste era bat, beraz, polarra da:

<math> z = r(\cos\theta + i \sin\theta)\,</math>

''r'' zenbaki konplexuaren modulua da, eta ''θ'', [[Argumentu (analisi konplexua)|argumentua]]:

<math>
\begin{cases}
r = |z| = \sqrt{x^2+ y^2} \\
\theta = \arg (z) = \arctan\frac{y}{x}
\end{cases}
</math>

Zenbakiaren argumentuak infinitu balio du, ''θ'' eta ''θ + 2nπ, n = 0, ±1, …'' balioek planoan [[angelu (argipena)|angelu]] berdina adierazten baitute. Argumentuak balio nagusi bat dauka, ''Arg(z)'' gisa adierazten dena, eta (-π,π] artean dagoen ''arg(z)''ren balio bakarra da. Horrela, ''arg(z) = Arg(z) + 2nπ, n = 0, ±1, …'' da.

=== Adierazpen esponentziala ===
[[Eulerren formula]]k <math>e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta</math> erlazioa definitzen du. Formula horrekin, adierazpen polarra alda daiteke era esponentzialera:

<math> z = r e^{i\theta}\,</math>

== Zenbaki konplexuen arteko eragiketak ==
=== Batuketa ===
Zenbaki konplexuen arteko batura zenbaki errealen arteko baturan dago oinarrituta. Era binomikoan adierazitako zenbaki konplexu bakoitzak bere zati erreala eta zati irudikaria du. Bi zenbaki konplexu batzeko, alde batetik, zati errealak batu behar ditugu, eta, bestetik, zati irudikariak. Hori egitean, beste zenbaki konplexu bat lortuko dugu.  

Hau da, bi zenbaki konplexuren batuketa hurrengo eran definitzen da. Izan bitez <math>z_1 = x_1 + i y_1</math>  eta   <math>z_2 = x_2 + i y_2</math>  bi zenbaki konplexu:  

<math>z_1 + z_2 = (x_1 + x_2,y_1 + y_2) = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2)\,</math> 

'''Adibidez, ,''' <math>z_1 = 3 + 2i  </math> eta <math>z_2 = -8 + 4i </math> zenbaki konplexuak batu nahi baditugu, hau lortuko dugu: 

'''<math>z_1 + z_2  = (3 + 2i) + (-8 + 4i) = (3-8) + (2+4)i = -5 + 6i
 </math>''' 

=== Kenketa ===
Bi zenbaki konplexu kentzeko, alde batetik, zati errealak kenduko ditugu, eta, bestetik, zati irudikariak. Hau da, bi zenbaki konplexuren kenketa hurrengo eran definitzen da. Izan bitez <math>z_1 = x_1 + i y_1</math>  eta   <math>z_2 = x_2 + i y_2</math>  bi zenbaki konplexu: 

<math> z_{1}-z_{2}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})=(x_{1}-x_{2})+i(y_{1}-y_{2})</math>

'''Adibidez, ,''' <math>z_1 = 3 + 2i  </math> eta <math>z_2 = -8 + 4i </math> zenbaki konplexuak kendu nahi baditugu, hau lortuko dugu:

'''<math>z_1 - z_2  = (3 + 2i) - (-8 + 4i) = (3-(-8)) + (2-4)i = 11 - 2i
 </math>'''

=== Biderketa ===
Batuketan adierazitako zenbaki berak erabiliz, biderketaren definizioa hurrengoa da:

<math> z_1 z_2 = (x_1,y_1)(x_2,y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2 , x_1 y_2 + x_ 2 y_1) \,</math>

Definizio horretatik ikus daiteke ''i'' unitate irudikariaren karratua ''-1'' zenbakia dela:

<math> i^2 = ii = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1\,</math>,

baita ''(x,y)'' parearen eta era binomialaren arteko baliokidetasuna ere:

<math> z = x + iy = (x,0) + (0,1)(y,0) = (x,0) + (0,y) = (x,y)\,</math>

Zenbakiak era polarrean edo esponentzialean adierazita badaude, non <math>r_1, \theta_1, r_2, \theta_2</math> bien modulu eta argumentuak diren, biderketak hurrengo itxura hartzen du:

<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)] = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}\,</math>

Era horrek erraztasunak ditu irudikapen grafikoaren orduan, biderkaduraren modulua biderkagaien moduluen biderkadura baita, eta argumentua argumentuen batura. Biderketarekiko elementu neutroa ''(1,0)'' zenbakia da, eta biderketak lege trukakorra, elkarkorra eta batuketarekiko banakorra betetzen ditu:

* <math>z_1 z_2 = z_2 z_1\,</math>
* <math>z_1 (z_2 z_3) = (z_1 z_2) z_3\,</math>
* <math>z_1 (z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3\,</math>

== Propietateak ==
Batuketak eta kenketak honako propietate hauek betetzen dituzte:

* Bi zenbaki konplexu batzean — edo kentzean— , emaitza era zenbaki konplexua izango da.

* [[Propietate el|Elkartze - propietatea]]: 3 zenbaki konplexu batzeko —edo kentzeko—, ez da beharrezko zenbakika modu espezifiko batean taldekatzea. Izan ere, <math>\forall z_1, z_2, z_3 \in {\displaystyle \mathbb {C} }: (z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3) 
 </math>

* [[Trukakortasun|Trukatze-propietatea]]: Zenbakien ordenak ez du emaitza aldatzen. Hau da, <math>\forall z_1, z_2 \in   {\displaystyle \mathbb {C} } : z_1 + z_2 = z_2 + z_1  
 </math>
* Batuketarekiko [[Elementu neutro|elementu neutroa]]: Existitzen da  <math>0_{\displaystyle \mathbb {C} } = (0 + 0i)\in {\displaystyle \mathbb {C} }</math>  non  <math>\forall z_1 \in {\displaystyle \mathbb {C} } : z_1 + 0_{\displaystyle \mathbb {C} } = z_1 </math>.
* Batuketarekiko [[Alderantzizko zenbaki|alderantzizko zenbakia]]: <math>{\displaystyle \mathbb {C} }</math>-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa gehiketarekiko (simetrikoa), hau da:<math>\forall  z_1 = (x + yi) \in {\displaystyle \mathbb {C} }, \exists -z_1 = (-x - yi)\in {\displaystyle \mathbb {C} }: z_1 + (-z_1)=0_{\displaystyle \mathbb {C} } </math>

== Modulua eta konjokatua ==
Izan bedi <math>{\displaystyle z=(x,y)=x+yi\in {\displaystyle \mathbb {C} }} </math>. <math>z </math>-ren [[Konjokatua|'''konjokatua''']], <math>\bar{z}</math> gisa idazten dena, honela definitzen da: 

<math>\bar{z} = x - yi </math>

'''Adibidez''', <math>\overline{3-i} = 3 + i </math> eta <math>\overline{2 + 5i} = 2 - 5i </math>.

'''Konjokatuaren propietateak:''' 

* <math>\bar{\bar{z}}=z </math>
* <math>z + {\bar{z}} = 2Rez </math>, <math>z - {\bar{z}} = 2iImz </math>
* <math>\bar{z}=z \iff Imz = 0 \iff z \in \mathbb{R} </math>
* <math>\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w} </math>
* <math>\overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w} </math>
* <math>\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w} </math> 
* <math>\overline{-z} = -\bar{z}  </math> 
* <math>z \neq 0  \Longrightarrow \overline{z^{-1}} = ({\bar{z}}) ^{-1}

 </math>

<math>z = (x,y) = x + yi \in {\displaystyle \mathbb {C} }</math> zenbaki konplexu baten '''[[Modulu (argipena)|modulua]] ''' edo [[Balio absolutu|'''balio absolutua''']] <math>|z| </math> adierazten dena, <math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}</math> da. 

'''Moduluaren propietateak:'''

* <math>| z | = 0 \iff z = 0 \,</math>
* <math> z\cdot\bar{z} = |z|^2 </math>, beraz, <math>z \neq 0  \Longrightarrow z^{-1} = {\bar{z}}/|z|^2</math>
* <math>|z| = |-z| = |\bar{z}| </math>
* <math>|Re z|\leq|z| </math>, <math>|Im z|\leq|z| </math>, <math>|z|\leq|Re z|+|Im z|</math>
* <math>| z \cdot w | = | z | \cdot | w | \, </math>
* <math>| z + w | \leq | z | + | w | \, </math>
* <math>|| z | - |w|| \leq |z - w| </math><br />

Distantzia ''d''(''z'', ''w'') = |''z'' − ''w''| gisa definituz, zenbaki konplexuen multzoa [[espazio metriko]] bilakatzen da, eta limite eta jarraitasuna azter daiteke.

==Zenbaki konplexuen planoa edo Argand diagrama==
{{Sakontzeko|Plano konplexu}}
[[Fitxategi:Arganddiagram.png|thumb|Arganden diagrama]]
Plano konplexuaren kontzeptuak [[Zenbaki konplexu|zenbaki konplexuak]] [[Geometria|geometrikoki]] interpretatzeko aukera ematen du. Zenbaki konplexuen batuketa [[Bektore (matematika)|bektoreen]] [[Batuketa|batuketarekin]] erlaziona daiteke, eta zenbaki konplexuen [[biderketa]], besterik gabe, [[Koordenatu polar|koordenatu polarrak]] erabiliz adieraz daiteke, non produktuaren magnitudea terminoen magnitudeen emaitza den, eta ardatz errealetik zenbatutako [[Angelu (geometria)|angelua]] da terminoen angeluen batura, zeina ikus daitekeen aldi berean biratzen duen eta tamaina aldatzen duen [[Bektore (matematika)|bektorearen]] transformazio gisa.

Edozein konplexu <math>i</math>-z biderkatzea <math>90</math>°-ren errotazio bati dagokio, erlojuaren orratzen kontrako norabidean. Era berean, <math>(-1)\cdot (-1) = 1</math> balioa, geometrikoki, <math>90</math>°-ren bi errotazioren konbinazio gisa uler daiteke, <math>180</math>° (<math>i^2 = -1</math>)-ren errotazio bat lortuz, zeinu-aldaketa bat eraginez itzuli bat osatzean.

Argand-en diagramak maiz erabiltzen dira plano konplexuan funtzio baten [[Polo (analisi konplexu)|poloen]] eta [[Erro baten funtzio|zeroen]] posizioak erakusteko.

[[Analisi konplexu|Analisi konplexua]], funtzio konplexuen teoria, [[Matematika|matematikaren]] arlo aberatsenetako bat da, eta matematikaren beste arlo askotan erabiltzen da, baita [[Fisika|fisikan]], [[Elektronika|elektronikan]] eta beste arlo askotan ere.

==Propietateak==
===Zenbaki konplexuen multzoa===
Zenbaki konplexuen multzoak gorputz bat definitzen duen axiomatikaren legeak betetzen ditu:
* [[Trukakortasun|Propietate trukakorra]]: <math>z+w = w+z; z\cdot w = w \cdot z</math>
*[[Elkarkortasun|Propietate elkarkorra]]: <math>v+(w+z) = (v+w)+z; v(w \cdot z) = (v \cdot w)z</math>
*[[Banakortasun|Propietate banakorra]]: <math>v(w+z) = v \cdot w + v \cdot z; (w+z)v = w \cdot v + z \cdot v</math>
*[[Identitateen existentzia]]: Batuketa-identitatea, zeroa: <math>z+0 = 0+z = z</math>; biderketa-identitatea, 1a: <math> z\cdot 1 = 1 \cdot z = z </math>
* [[Alderantzikaketa]]: Zenbaki konplexu bakoitzak bere alderantzizko gehigarria du <math>-z</math>, hau da, <math>z+(-z)=0</math>, eta zero ez den zenbaki konplexu bakoitzak bere alderantzizko biderketa du <math>z^{-1}</math>, hau da, <math>z \cdot z^{-1} = 1</math>.<ref> Derryck. Op. cit.</ref>

<math>a</math> [[Zenbaki erreal|zenbaki erreala]] <math>(a,0)</math> [[Zenbaki konplexu|konplexuarekin]] identifikatzen badugu, <math>\mathbb{R}</math> zenbaki errealen multzoa <math>\mathbb{C}</math>-ren azpigorputz gisa agertzen da. Are gehiago, <math>\mathbb{C}</math>-k 2 [[Dimentsio|dimentsioko]] [[Bektore espazio|bektore espazioa]] osatzen du errealen gainean. Konplexuak ezin dira [[Ordenaren teoria|ordenatu]], esaterako, zenbaki errealak; beraz, <math>\mathbb{C}</math> ezin da inola ere multzo ordenatu bihurtu.

===Bektore espazioa===
<math>\mathbb{C}</math> multzoa, zenbaki konplexuak gehituz eta zenbaki errealak [[Eskalar (matematika)|eskalartzat]] hartuz, <math>\mathbb{C}</math> bektore-espazio gisa defini daiteke. Hau da:
# <math>z, w</math> zenbaki konplexuak badira, orduan, <math>z+w</math> zenbaki konplexua da. Barne-eragiketa horrek batuketa-taldearen egitura bat definitzen du.
# <math>r</math> zenbaki erreala bada eta <math>z</math> zenbaki konplexua, orduan <math>r \cdot z</math> ere, <math>z</math>-ren multiplo eskalar deitua, zenbaki konplexua da. Bi eragiketek [[Bektore espazio|bektore-espazio]] edo lineal baten [[Axioma|axiomatikoa]] asetzen dute<ref>Zamansky. ''Introducción al álgebra y análisis moderno''</ref>.

==Aplikazioak==
===Matematiketan===
====Ekuazio polinomikoen ebazpenak====
<math>p</math> [[Polinomio|polinomioaren]] ''erroa'' edo ''zeroa''<ref>Análisis matemático . Volumen I de Haaser, LaSalle y Sullivan  (1977) Trillas, p.483</ref> <math>p(z) = 0</math> moduko <math>z</math> konplexua da. Definizio horren emaitza garrantzitsua da <math>n</math> mailako [[Ekuazio aljebraiko|ekuazio]] polinomiko (aljebraiko) guztiek <math>n</math> emaitza zehatza dutela zenbaki konplexuen multzoan; hau da, <math>p(z) = 0</math> berdintasuna betetzen duten <math>n</math> <math>z</math> konplexuak ditu, dagozkien multiplizitateekin zenbatuta. Honi [[aljebraren oinarrizko teorema]] deritzo, eta konplexuak aljebraikoki itxitako multzo direla frogatzen du; horregatik, matematikariek zenbaki konplexuak zenbaki errealak baino naturalagotzat jotzen dituzte [[Ekuazio|ekuazioak]] ebazterakoan.

Hau ere betetzen da: <math>z</math> koefiziente errealak dituen <math>p</math> polinomio baten erroa bada, orduan, <math>z</math>-ren konplexu konjugatua ere <math>p</math>-ren erroa da.

====Aldagai konplexua edo analisi konplexua====
{{Sakontzeko|Analisi konplexu}}
Aldagai konplexuko funtzioen azterketari [[analisi konplexu]] deritzo. Erabilera ugari ditu [[Matematika aplikatuak|matematika aplikatuen]] tresna gisa, baita [[Matematika|matematikaren]] beste adar batzuetan ere. Analisi konplexuak [[Teorema|teoremak]] frogatzeko tresna garrantzitsu batzuk ematen ditu, baita [[Zenbakien teoria|zenbakien teorian]] ere; aldagai errealeko funtzio errealek, berriz, [[Koordenatu kartesiar|plano kartesiarra]] behar dute adieraziak izateko; aldagai konplexuko funtzioek lau [[Dimentsio|dimentsioko]] espazioa behar dute, eta, horregatik, oso zaila da haiek adieraztea. Hiru dimentsioko espazio batean koloreztatutako ilustrazioak erabili ohi dira laugarren koordenatua iradokitzeko, edo [[Hiru dimentsioko|3Dko]] animazioak laurak irudikatzeko.

====Ekuazio diferentzialak====
[[Ekuazio diferentzial|Ekuazio diferentzialetan]], koefiziente konstanteak dituzten [[Ekuazio diferentzial lineal|ekuazio diferentzial linealen]] emaitzak aztertzen direnean, ohikoa da polinomio karakteristikoaren <math>\lambda\,</math> erroak (oro har, konplexuak) aurkitzea lehenengo, Horri esker, sistemaren emaitza orokorra honela adieraz daiteke oinarrizko funtzioetan: <math>f(x) = e^{\lambda x} \,</math>.

====Fraktalak====
{{Sakontzeko|Fraktal}}
Objektu [[fraktal]] asko, [[Mandelbrot multzo|Mandelbrot multzoa]] kasu, zenbaki konplexuen segida baten konbergentzia-propietateetatik lor daitezke. Konbergentzia-eremuaren azterketak erakusten du [[multzo]] horiek berez antzekoa den konplexutasun handia izan dezaketela.

===Fisika===
Zenbaki konplexuak [[Ingeniaritza elektroniko|ingeniaritza elektronikoan]] eta beste eremu batzuetan erabiltzen dira seinale periodiko aldakorrak behar bezala deskribatzeko (ikus, [[Fourierren analisia|Fourier-en analisia]]). <math>z=r e^{i \phi} \,</math> motako adierazpen batean, <math>r\,</math> [[Anplitude (fisika)|anplitudea]] dela pentsa dezakegu, eta <math> \phi \,</math> [[maiztasun]] jakin bateko uhin [[Sinusoide|sinusoidal]] baten fasea. [[Erresistentzia elektriko|Erresistentziak]], [[Kondentsadore elektriko|kapazitateak]] eta [[Haril|induktoreak]] zuzentzen dituzten formula guztien tratamendua bateratu egin daiteke azken bietarako irudizko erresistentziak sartuz korronte bat edo [[Korronte alterno|korronte alternoko]] [[Tentsio (elektrizitatea)|tentsio]] bat (eta, beraz, portaera sinusoidala duena) <math>f(t)=z e^{i \omega t} \,</math> formako aldagai konplexuko funtzio baten parte erreal gisa irudikatzen dugunean, non <math>w</math>-k [[Abiadura angeluar|maiztasun angeluarra]] adierazten duen eta <math>z</math> zenbaki konplexuak fasea eta anplitudea ematen (ikus, [[sare elektriko]]). [[Ingeniaritza elektriko|Ingeniari elektrikoek]] eta fisikoek <math>j</math> letra erabiltzen dute irudizko unitaterako, eta ez <math>i</math> letra, korrontearen intentsitaterako erabili ohi dena.

Eremu konplexua ere garrantzitsua da [[Mekanika kuantiko|mekanika kuantikoan]], zeinaren azpiko matematikak '''ℂ'''-ren gaineko dimentsio infinituko [[Hilberten espazio|Hilberten espazioak]] erabiltzen dituen{{Erref behar}}.

[[Erlatibitate berezia|Erlatibitate berezian]] eta [[Erlatibitate orokorra|erlatibitate orokorrean]], [[Espazio-denbora|espazio-denboraren]] metrikarako formula batzuk askoz sinpleagoak dira denbora irudizko aldagai gisa hartzen badugu{{Erref behar}}.

==Oharrak==
{{Erreferentzia zerrenda|group=Oh}}
==Erreferentzia zerrenda==
{{Erreferentzia zerrenda|30em}}
==Bibliografia==
*{{Erreferentzia|abizena=Conway |izena=John B.|izenburua=Functions of One Complex Variable I |urtea=1986 |argitaletxea=Springer |isbn=0-387-90328-3}}
*I. M. Yaglom: ''Números complejos y sus aplicaciones a la geometría'''. Editorial URSS Moscú (2009) ISBN 978-5-396-00077-3

== Kanpo estekak ==
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Zenbakiak]]
[[Kategoria:Analisi konplexua]]
[[Kategoria:Oinarrizko matematika]]
[[Kategoria:Zenbaki konplexuak]]