Hexagono

Planoko oinarrizko geometrian, hexagonoa sei alde zuzen eta sei erpin dituen poligonoa da. Izena grezieratik dator: εξάγωνον, εξά (sei) eta γωνον (angeluak).

Propietateak

Hexagonoek propietate hauek dituzte:

• 6 alde.
• 9 diagonal.
• Hexagono baten barne-angeluen batura 720 gradu edo 4π radian da.

Hexagono bikoitia

Hexagono bikoitia hexagono mota bat da, zeinak aldeak binaka paraleloak baina binaka luzera desberdinetakoak dituen.

Proposizioa

Izan bedi ABCDEF hexagono irregularra. Lotu bitez A eta C, B eta D, C eta E, D eta F, E eta A, eta F eta B. Sei hiruki sortzen dira: ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. Hiruki horien barizentroak, hurrenez hurren, A', B', C', D', E', F' eran adierazten dira. Ondoz ondoko puntu horiek lotuz, A'B'C'D'E'F' hexagono bikoitia lortzen da.

Hexagono irregularra

Hexagono erregularra

Hexagono erregularra konbexua da, eta sei aldeak eta sei angeluak berdinak ditu.

Hexagono erregularrak ondoko propietateak ditu:

• Barruko angelu guztiak kongruenteak dira eta 120º edo $\frac{2\pi }{3}$ radianeko neurria du bakoitzak.
• Hexagonoaren kanpo-angelu bakoitzak 60º edo $\frac{\pi }{3}$ radianeko neurria du.
• Triangelu aldeberdinekin erlazionatuta dago:
  • Erpinak beren parez pareko erpinekin lotuz gero, hexagonoa sei triangelu aldeberdinetan banatzen da.
  • Izenda bitez erpinak 1etik 6ra erlojuaren noranzkoa errespetatuz. Erpin bakoitiak lotuz gero, triangelu aldeberdin bat lortuko dugu eta, erpin bikoitiak lotuz, beste triangelu aldeberdin bat.

• Triangelu eta lauki aldekideez gain, hexagono erregularrek gainazal lau bat guztiz estal dezakete.
• $z^6-1=0$ ekuazioaren sei erro konplexuak plano konplexuan kokatutako hexagono erregular baten erpinak dira. Horietako lehenengoa (1,0) puntua da.
• Hexagono erregularra zirkunferentzia batean inskriba eta zirkunskriba daiteke. Ondoko berdintzak betetzen ditu:
  • $a=r_i\frac{2}{3}\sqrt{3}$, non $r_i$ inskribatutako zirkunferentziaren erradioa den eta $a$ hexagonoaren aldearen luzera.
  • $a=r_c$, non $r_c$ zirkunskribatutako zirkunferentziaren erradioa den.
  • $r_i=\frac{r_c}{2}\sqrt{3}=\frac{a}{2}\sqrt{3}$.

Hexagonoaren neurriak

• Hexagono erregularrek sei simetria-ardatz dituzte: erpinak beren parekoekin lotzen direnean eratzen diren hiru simetria-ardatz, eta alde baten erdiko puntua kontrako aldearen erdiko puntuarekin lotzen direnean sortzen diren beste hiru simetria-ardatz.

  

  Hexagonoaren simetria-ardatzak

• Poligonoaren erradioak aldearen neurri berdina du.

Perimetroa

Hexagono erregularren perimetroa lortzeko sei aldeen luzerak gehitu behar dira.

$P=n\cdot l_n=6l_6$, non n alde kopurua den eta $l_n$ aldeen luzera.

Azalera

Hexagono erregularraren azalera

Azaleraren adierazpen matematikoa honako hau da:

$A=\frac{perimetroa\cdot apotema}{2}=\frac{6l_6\cdot a_p}{2}=3l_6\cdot a_p$ edo $A=2\sqrt{3}\cdot a_p^2$,

non $l_6$ aldearen luzera den eta $a_p$ apotemaren luzera.

Aldeen luzera besterik ez badugu ezagutzen, hexagonoaren azalera honela kalkula dezakegu:

$A=l_6^2\frac{3\sqrt{3}}{2}$ sei erpin lotu ondoren lortzen diren sei triangelu aldeberdinen azalerari dagokiona.

Eraikuntza geometrikoa

Hexagono erregularrak erregela eta konpasa erabiliz sor daitezke:

1. O edozein puntu emanda, sortu zirkunferentzia bat hexagonoaren aldearen tamainako erradioa duena.
2. Zirkunferentzian A puntu bat aukeratu eta O eta A zeharkatzen dituen diametro bat eraiki. Deitu D diametro horrek mozten duen zirkunferentziaren beste puntuari.
3. A puntuan konpasa jarriz, O zeharkatzen duen arku bat eraiki zirkunferentzia bi puntutan moztuz, eta B eta F izenak eman horiei.
4. D puntuan konpasa jarriz, O zeharkatzen duen arku bat eraiki zirkunferentzia bi puntutan moztuz, eta C eta E izenak eman horiei.

Naturan

Erleen abaraskak hexagono forma dute.

Abaraskek hexagono forma dute.

Irudian ikusten den Saturnoko egitura horri Hexagono deritzo, hain zuzen ere, forma hexagonala duelako.

Saturnoko hexagonoa