Descartesen folioa

Descartesen flioa x³ + y3–3axy = 0, a = 1.

Descartes-en folioa Descartes-ek 1638an proposatutako kurba aljebraiko bat da, ekuazio inplizituarekin:

$x^3+y^3-3axy=0$

Era berean, esplizituki deskribatu daiteke koordenatu polarretan:

$r(\theta )=\frac{3a\sin \theta \cos \theta }{{\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta }$

Kurbaren ezaugarriak

Tangentearen ekuazioa

Desberdintze inplizituko metodoa erabiliz, aurreko ekuazioa y'-rako ebatz daiteke:

$\frac{dy}{dx}=\frac{ay-x^2}{y^2-ax}$

Lerro baten ekuazioaren puntu-malda forma erabiliz, kurbaren ukitzailerako ekuazio bat aurki daiteke:$(x_1,y_1)$

$y-y_1=\frac{a{y}_1-x_1^2}{y_1^2-a{x}_1}(x-x_1)$

Tangente horizontala eta bertikala

Descartesen folioaren lerro tangentea horizontala da $ay-x^2=0$ denean. Beraz, lerro ukitzailea horizontala da kasu hauetan:

$x^6=2a^3{x}^3$

Descartesen folioaren lerro ukitzailea bertikala da $y^2-ax=0$ denean. Beraz, linea tangentea bertikala da kasu hauetan:

$y^6=2a^3{y}^3$

Kurbaren simetriaren propietate bati esker azal daiteke hori. Grafikoari begira, ikus daiteke kurbak bi ukitzaile horizontal eta bi ukitzaile bertikal dituela. Hala, bada, Descartes-en folioaren kurba simetrikoa da $y=x$-rekiko; beraz, tangente horizontal batek $(x_1,y_1)$-ren koordinatua badu, dagokion tangente bertikala dago, $(y_1,x_1)$.

Asintota

Kurbak asintota bat du:

$x+y+a=0$

Asintotak -1eko gradientea du, eta koordenatu-ardatzak ebakitzen ditu y puntuetan.$(0,-a)$ eta $(-a,0)$.

Descartesen folioaren osagai algebraikoak

$x^3+y^3=3axy$ funtzioaren $y$ ebazten bada, ekuazio hau lortzen da grafikoaren zati baterako, $x<=0$ eta $a\sqrt[3]{4}<=x$ ($a>0$ dela suposatuz)

$y=\sqrt[3]{-\frac{1}{2}{x}^3+\sqrt{\frac{1}{4}{x}^6-a^3{x}^3}}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}{x}^3-\sqrt{\frac{1}{4}{x}^6-a^3{x}^3}}$

eta beste atalerako, forma trigonometrikoko hiru ekuazio, horietako bik folioaren begizta marrazten dute.