Minor (aljebra lineala)

Aljebra linealean, minorra matrize batetik errenkada eta zutabe bana kenduta lortzen den matrize karratuaren determinantea da. Formalki, M_ij i-garren errenkada eta j-garren zutabea kenduta sortzen den matrizearen determinantea da.

Definizioa

Izan bedi A matrizea $m\times n$ neurrikoa eta $k$ zenbaki osoa $0<k\le \min \{m,n\}$, $k\times k$ ordenako $A$ ren minorea, $k\times k$ erako matrize baten determinantea da, $A$ri $m-k$ lerro eta $n-k$ zutabe ezabatuz lortua.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})$

era daudenez $k$ lerro hautatzeko, guztira dauden $m$ zutabe horietatik, eta

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

era daudenez $k$ zutabe aukeratzeko $n$ zutabetatik, guztira

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

minore daude $k\times k$ neurrikoak.

Notazioa

$n\times n$ neurriko $A$ matrize karratu baten $(i,j)$ minorea (maiz $M_{ij}$ eran adierazia), $A$ matrizearen $i$garren lerroa eta $j$garren zutabea ezabatuz lortzen den $(n-1)\times (n-1)$ matrizearen determinante gisan definitzen da. $(i,j)$ minoreari $(i,j)$garren minor edo $ij$ minor ere deitu ohi zaio.

$M_{ij}$ $A$ matrizeko $a_{ij}$ elementuari dagozkion indizeak ezabatuz ere lor daiteke, kasu horretan $M_{ij}$ $a_{ij}$ren minorea dela esaten dugu.

$A$ matrize karratuari lerro bakar bat eta zutabe bakar bat ezabatuz eratzen den minoreari lehen minor deritzo, adibidez $M_{ij}$ matrizea. Bi lerro eta bi zutabe ezabatzean lortzen denari, berriz, bigarren minor deritzo.

Adibidea

Matrize hau emanda:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 7\\ 3& 0& 5\\ -1& 9& 11\end{array}\right)$

M₂₃ minorra (2. errenkada eta 3. zutabea kenduta) honela lortzen da:

$\left|\begin{array}{ccc}1& 4& ◻\\ ◻& ◻& ◻\\ -1& 9& ◻\end{array}\right|$ → $\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ -1& 9\end{array}\right|=(9-(-4))=13$

Beraz, M₂₃ = 13 da.