Viviani-ren teorema

ℓ + m + n = h (h: garaiera)

Vivianiren teoremak —Vincenzo Vivianiren omenez horrela izendatua— hau dio:

Teorema hau poligono aldeberdinetarako eta poligono angeluberdinetarako ere heda daiteke: Poligono aldeberdinaren edo angeluberdinaren barneko edozein puntutik poligonoaren aldeetarainoko distantzien batura konstantea da.

Froga

Teorema oso erraz froga daiteke triangeluen azalerak alderatuz. Eman dezagun ABC triangelu aldeberdin bat, non h garaiera den eta aldeetako luzera a. Triangeluaren barneko edozein puntu P bada, eta ℓ, m, n distantziak P puntutik aldetarainokoak, ABC triangeluaren azalera hau da:

$Azalera(ABC)=Azalera(ABP)+Azalera(ACP)+Azalera(BCP)$

$\frac{a\cdot h}{2}=\frac{a\cdot \ell }{2}+\frac{a\cdot m}{2}+\frac{a\cdot n}{2}$

$h=\ell +m+n$

frogatu nahi genuen bezala.

Aplikazioak

Metanoaren sukoitasun-diagrama

Vivianiren teoremari esker, triangelu aldeberdinaren aldeekiko zuzen paraleloak koordenatu gisa erabil daitezke diagrama hirutarretarako; adibidez, sukoitasun-diagrametarako. Orokorrean, era berean, hala eraikitako koordenatuak simplex erregular batean ere erabil daitezke.

Kanpo estekak

• Txantiloi:MathWorld
• Txantiloi:En Viviani's Theorem: What is it?, Cut the knot
• Txantiloi:En Viviani's Theorem, Jay Warendorff (Wolfram Demonstrations Project)