Serie (matematika)

Matematikan, seriea batura moduan adierazten den segida matematiko bat da:

$S_n=a_1+a_2+...+a_n=\sum _{k=0}^n{a}_n$

Aurreko segidari, n elementu batzen dituen segidari, seriearen n-garren batura partziala deituko diogu.

Serieen azterketaren helburu nagusia batura kalkulatzea da, bereziki n infiniturantz doan kasuan. Serieak (batura partzialen limiteak zehazkiago), balio jakina hartzen badu, serie konbergentea dela esaten da; bestela, esaterako batura infinitua denean, serie dibergentea dela esaten da.

Serieen izaera

Serieen izaera haren oinarrian dagoen segidaren gaien baturaren nolakotasunak zehazten du. Hiru motako serieak atzeman daitezke: konbergenteak, dibergenteak eta oszilatzaileak.

• Serie bat konbergentea izango da $S_n$ batura partzialen segidaren limitea zenbaki bat bada, hau da, baturaren limitea zenbaki bat bada. Orduan, $\sum _{k=0}^n{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }Sn=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_1+a_2+\dots +a_n)$ izango da.

Adibideak

1. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$ seriea konbergentea da, eta bere emaitza $2$ da.
2. $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$ seriea konbergentea da eta bere emaitza $e=2,7182818284\dots$ zenbakia da.

• Serie bat dibergentea izango da $S_n$ batura partzialen segidaren limitea ez bada zenbaki jakin bat eta $\pm \mathrm{\infty }$ bada. Orduan, $\sum _{k=0}^n{a}_n=\pm \mathrm{\infty }$ izango da.

Adibideak

1. $\sum _{k=1}^{n}a$ seriea dibergentea da. Izan ere, segida honen $n$-garren batura partziala $Sn=(a_1+a_2+\dots +a_n)=na$ izango da. Gainera, kasu konkretu honetan, $a>0$ kasuan batura $+\mathrm{\infty }$ izango da eta $a<0$ kasuan $-\mathrm{\infty }$.
2. Beste adibide bat $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ edo serie armonikoa da, non nahiz eta segidaren limitea 0 izan seriearen batura $+\mathrm{\infty }$ da.

• Serie bat oszilakorra bada bere batura ez da existituko.

Adibidea

1. $\sum _{k=1}^n(-1{)}^n$ seriea oszilakorra da, eta bere emaitza $0$ izango da $n$ bikoitia bada, eta $-1$ $n$ bakoitia bada.

Serieen propietate batzuk

• Serie konbergenteen kasuan, $\sum _n{a}_n$ serie konbergente ororentzat, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$ izango da, baina alderantzizkoak ez du zertan bete, honen adibide izanik lehen ikusitako serie harmonikoa.

• $\sum a_n$ serie baten izaera ez da aldatuko elementu kopuru finitu bat gehitzen bazaio.

• $\sum a_n$ eta $\sum b_n$ bi serie konbergente izanik, non haien baturak $a$ eta $b$ diren hurrenez hurren:

1. $\sum (a_n+b_n)=\sum a_n+\sum b_n=a+b$
2. $\lambda \in ℝ$ izanik, $\sum \lambda a_n=\lambda \sum a_n=\lambda a_n$

Gai positiboko serieetan, batzuetan, serie minorante eta maioranteak erabiltzen dira seriearen izaera zehazteko. $\sum a_n$ eta $\sum b_n$ serieak ditugularik, lehenaren serie minorantea izango da bigarrena baldin bigarrenaren gai guztiak lehenarenak baino txikiagoak badira. Alderantziz, lehen seriearen serie maiorantea izango da bigarrena, baldin bigarrenaren gai guztiak lehenarenak baino handiagoak badira. Hori jakinda, gai positiboko serieen kasuan ondorioztatu daiteke serie konbergente batek serie maiorante konbergente bat badu, serie hori ere konbergentea izango dela. Era berean, gai positiboko serie dibergente batek serie minorante dibergentea badu, serie hori ere dibergentea izango da.

Serieen adibideak

• Serie geometriko bat serie bat da non batugai bakoitza aurrekoa den konstante batengatik biderkatuta. Adibidez:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}=2.$

$\sum z^n$ seriea konbergentea izango da $|z|<1$ baldin bada

• Serie harmonikoa $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ seriea da. Dibergentea da.
  • Honen adibide konkretu bat $1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$ seriea da. Hau Basileako problema bezala ezagutzen da. Leonhard Euler matematikariak aurkitu zuen bere balioa: $\frac{{\pi }^2}{6}$
• Serieen bidez konstante garrantzitsu batzuen balioak aproximatu daitezke, adibideak izanik lehengo basileako problema edo $\sum \frac{1}{n!}$, bere emaitza $e$ izanik.