Tangentearen teorema

1. irudia - triangelu bat.

Trigonometrian, tangentearen teorema formula bat da, triangeluaren aldeen luzerak eta angeluen tangenteak erlazionatzen dituena.

1, irudian, a, b, eta c triangeluaren hiru aldeen luzerak dira, eta α, β eta γ hiru alde horien aurkako angeluak, hurrenez hurren. Tangentearen teoremak hau dio:

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan [\frac{1}{2}(\alpha -\beta )]}{\tan [\frac{1}{2}(\alpha +\beta )]}.$

Tangentearen teorema sinuaren teorema edo kosinuaren teorema bezain ezaguna ez den arren, horiek bezain erabilgarria da, eta erabil daiteke hainbat kasutan non bi aldeak eta angelu bat ezagunak diren, edo bi angelu eta alde bat ezagutzen direnean.

Frogapena

Tangentearen teorema frogatzeko sinuaren teoremarekin has gaitezke:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }$

Zatidura horri "q" deituz gero, hau lortzen da: $a=q\sin \alpha$, $b=q\sin \beta$, hortaz

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{q\sin \alpha -q\sin \beta }{q\sin \alpha +q\sin \beta }=\frac{\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }.$

Simpsonen formula erabiliz:

$\sin (x)+\sin (y)=2\sin \left(\frac{x+y}{2}\right)\cos \left(\frac{x-y}{2}\right)$

non $x=\alpha$ eta $y=\pm \beta$ diren, hau lortuko duguː

$\frac{a-b}{a+b}=\frac{2\sin \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)}{2\sin \left(\frac{\alpha +\beta }{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha -\beta }{2}\right)}=\frac{\tan \frac{\alpha -\beta }{2}}{\tan \frac{\alpha +\beta }{2}}.$

Ikus, gainera

• Sinuaren teorema
• Kosinuaren teorema