Jaiotza-heriotza prozesu

Jaiotza-heriotza prozesuak denbora jarraituko Markov kateen kasu berezi bat dira, non egoera trantsizioak bakarrik bi motakoak izan daitezkeen: jaiotzea, egoera aldagaiari bata gehitzen diona, eta heriotza, egoera batean gutxitzen duena. Ereduaren izena aplikazio arrunt batetik dator: populazioaren uneko tamaina adierazteko ereduetan erabiliak dira, non trantsizioak literalki jaiotzak eta heriotzak diren. Jaiotza-heriotza prozesuek aplikazio asko dituzte demografian, ilara-teorian, errendimendu ingeniaritzan, epidemiologian edo biologian. Adibidez, bakterioen eboluzioa, populazioko zenbat pertsonak duten gaixotasun bat edo supermerkatu bateko ilaran zenbat erosle egongo diren aztertzeko.  

Jaiotze bat ematen denean prozesua $n$ egoeratik $n+1$ egoerara pasatzen da. Heriotza gertatzean berriz, prozesua $n$ egoeratik $n-1$ egoerara pasatzen da. Prozesua $\{{\lambda }_i\}i=0,\dots ,\mathrm{\infty }$ jaiotza tasa eta $\{{\mu }_i{\}}_{}i=1,\dots ,\mathrm{\infty }$ heriotza tasekin zehazten da.

Sarrera

Jaiotza-heriotza prozesuen egoera diagrama

Jaiotza-heriotza prozesu bat jaiotza prozesu purua da baldin eta ${\mu }_i=0$ $i\ge 0$ guztietarako.

Jaiotza-heriotza prozesu bat heriotza prozesu purua izango da baldin eta ${\lambda }_i=0$ $i\ge 0$  guztietarako.

Poisson prozesu bat jaiotza prozesu purua izango da ${\lambda }_i=\lambda$ denean $i\ge 0$ guztietarako.

M/M/1 eta M/M/C ereduak, biak ilara-teorian erabiliak, ilara infinitu bateko bezeroak deskribatzeko jaiotza-heriotza prozesuak dira.

$\mathrm{\Delta }t$ denbora tarte txikian, hiru motako trantsizioak bakarrik dira posible: heriotza bat, jaiotza bat edo ez jaiotza ez heriotzarik. Jaiotza tasa (denbora unitatean) $\lambda$ bada eta heriotza tasa $\mu$, orduan trantsizio horien probabilitateak hauek dira, hurrenez hurren: $\lambda \mathrm{\Delta }t$, $\mu \mathrm{\Delta }t$, eta $1-(\lambda +\mu )\mathrm{\Delta }t$.

Erabilera Ilara-teorian

Ilara-teorian jaiotza-heriotza prozesua da ilara ereduaren oinarrizko adibidea, M/M/C/K/∞/FIFO ilara Kendallen notazioan. Honek adierazten du ilararen etorrerak Poisson prozesuaren araberakoak direla, populazio infinitu batetik, bere zerbitzu denborek banaketa esponentziala jarraitzen duten C zerbitzari eta K toki daudela ilaran. Nahiz eta populazio infinitua izango dela onartu, eredu hau ona da telekomunikazio sistema hainbatentzat. Banaketa esponentzialean kopuruen arteko independentzia dagoenean, denborak infinituraino askeak izango dira trantsizioei buruz.

M/M/1 ilara

M/M/1 ilara sistema

Zerbitzari bakarra egongo da tamaina infinituko bufferrarekin. Ausazkoa ez den ingurunean jaiotza-heriotza prozesuak ilara ereduan batezbeste epe luzekoak dira, beraz batezbesteko etorrera tasa $\lambda$ moduan ematen da eta batezbesteko zerbitzu denbora $1/\mu$ bezala. Jaiotze-heriotza prozesu bat M/M/1 ilara da baldin eta,

${\lambda }_i=\lambda \text{ eta }{\mu }_i=\mu i\text{ guztietarako}.$

Sistema t denboran k egoeran izateko probabilitatearen funtzio errekurtsiboa hau da:

$p_0^{\prime }(t)={\mu }_1{p}_1(t)-{\lambda }_0{p}_0(t)$

$p_k^{\prime }(t)={\lambda }_{k-1}{p}_{k-1}(t)+{\mu }_{k+1}{p}_{k+1}(t)-({\lambda }_k+{\mu }_k)p_k(t)$

M/M/C ilara

M/M/C ilara sistema

Zerbitzari anitzeko ilarak buffer infinitua du C zerbitzariekin. M/M/1 ilararekin alderatuz, desberdintza bakarra zerbitzu denbora da orain honelakoa izanik

${\mu }_i=i\mu 0<i<C\text{ izanik }$

eta

${\mu }_i=C\mu i\ge C\text{ izanik }$

non

${\lambda }_i=\lambda i\text{ guztietarako}.$

M/M/1/K ilara

Zerbitzari bakarra eta K tamainako bufferra (finitua) duen ilara da. Ilara mota hau telekomunikazioetan erabiltzen da, baita ere biologian populazioaren tamaina mugatuta dagoenean. Telekomunikazioetan berriro ere erabiltzen dira M/M/1 ilararen parametroak

${\lambda }_i=\lambda \text{ baldin }0\le i<K$

${\lambda }_i=0\text{ baldin }i\ge K$

${\mu }_i=\mu \text{ non }1\le i\le K.$

Biologian, batez ere bakterioen hazkundearen analisian, populazioa zero denean ez dagoenez hazteko gaitasuna,

${\lambda }_0=0.$

Gainera, K-k populazioaren limitea adierazten badu, non hortik aurrera bakterioen populazioaren soberakina hil egiten den

${\mu }_K=0.$

Probabilitatearen funtzio errekurtsiboa sistema k egoeran izateko t unean

$p_0^{\prime }(t)={\mu }_1{p}_1(t)-{\lambda }_0{p}_0(t)$

$p_k^{\prime }(t)={\lambda }_{k-1}{p}_{k-1}(t)+{\mu }_{k+1}{p}_{k+1}(t)-({\lambda }_k+{\mu }_k)p_k(t)\text{ baldin }k\le K$

$p_k^{\prime }(t)=0\text{ baldin }k>K$

Oreka

Ilara bat orekan dagoela esaten da baldin eta $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_k(t)$ existitzen bada. Horretarako $p{\text{'}}_k(t)=0$ izan behar da.

M/M/1 ilara adibide moduan erabiliz, egoera egonkorraren ekuazioak hauek dira:

${\lambda }_0{p}_0(t)={\mu }_1{p}_1(t)$

$({\lambda }_k+{\mu }_k)p_k(t)={\lambda }_{k-1}{p}_{k-1}(t)+{\mu }_{k+1}{p}_{k+1}(t)$

${\lambda }_k=\lambda$ eta ${\mu }_k=\mu$ baldin badira $k$ guztietarako orduan ekuazioen kasu homogeneoan gaude eta honela laburtu daitezke:

$\lambda p_k(t)=\mu p_{k+1}(t)\text{ non }k\ge 0.$

Ikus, gainera

• Ilara-teoria
• Markov kate
• Prozesu estokastiko

Bibliografia

• R. Jain. The Art Of Computer Systems Perfomance Analysis. 1. edizioa. 31. kapitulua: Analysis of a Single Queue; WILEY, 1991.
• G. Latouche, V. Ramaswami. Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling, 1. edizioa. 1. kapitulua: Quasi-Birth-and-Death Processes; ASA SIAM, 1999.
• M. A. Nowak. Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life, Harvard University Press, 2006.
• K. S. Trivedi. Probability and Statistics with Reliability, Queuing and Computer Science Applications, 2. edizioa. 8. kapitulua: Continuous-Time Markov Chains; WILEY, 2002.
• J. Virtamo,"Birth-death processes"[1], 38.3143 Queueing Theory.