Konjuntzio logiko

Arrazonamendu formalean, bi proposizioen arteko konjuntzio logikoa lokailu logiko bat da, zeinen egia balioa egiazkoa izango da bi proposizioak egiazkoak badira eta faltsua beste kasu guztietan.

A $\wedge$ B ebakiduraren, Venn-en diagrama

“A eta B” egiazkoa izango da, A egiazkoa bada eta B egiazkoa bada bakarrik.

• Hizkuntza naturalean, “eta” hitza erabiltzen da euskaraz konjuntzio logiko bat adierazteko.
• Multzo teorian kontzeptu baliokidea ebaketa edo ebakidura da ($\cap$).
• Aljebra Boolearrean, konjuntzioa bi aldagaien arteko eragile bitar gisa erdiko puntuaren (·) sinboloarekin adireazten da.
• Elektronikan, AND ate logikoa erabiltzen da konjuntzio logikoa ezartzeko.

A$\wedge$B$\wedge$C ebakiduraren, Venn-en diagrama

Notazioa

Eta adierazteko gehien erabiltzen diren ikurrak hurrengoak dira: matematika eta logikan, ∧ edo × ; elektronikan, ⋅ ; eta programazio lengoaietan, &, &&, edo and.

Definizioa

Faltsuak F eta egiazkoak E diren elementuez osatutako multzo unibertsal bat, U,:

$U=\{F,E\}$

eta $(U,\wedge )$ bezala irudikatuko dugun barne ergiketa bitara ∧ konjuntzioa, emanda ,

$\begin{array}{cccc}\wedge :& U\times U& \to & U\\ & (a,b)& \to & c=a\wedge b\end{array}$

(a,b) U x Uko bikote ordenatu bakoitzari Uko c bat bakarra esleituko zaio, c, a eta b ren arteko konjuntzio logikoaren emaitza izango da.

$\mathrm{\forall }(a,b)\in U\times U:\mathrm{\exists }!c\in U/c=a\wedge b$

Konjuntzio logikoaren egia taula:

INPUT		OUTPUT
$A$	$B$	$A\wedge B$
E	E	E
E	F	F
F	E	F
F	F	F

Erabilera

Hizkuntza formala

Hizkuntza formal bateko adierazpenek, egiazkoak edo faltsuak izan daitezkeen proposizioak irudikatzen badituzte, konjuntzio logikoa egiazkoa izango da bi adierazpenak egiazkoak badira bakarrik.

Aljebra boolearra

B={0,1} multzoa emanik, · honela definituko da:

0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1

Propietateak

Konjuntzio logikoak honako propietate hauek ditu:

• Elkartze propietatea:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in U:(a\wedge b)\wedge c=a\wedge (b\wedge c)$

$A$	$\wedge$	$(B\wedge C)$	$\iff$			$(A\wedge B)$	$\wedge$	$C$
	$\wedge$		$\iff$		$\iff$		$\wedge$

• Trukatze propietatea:

$\mathrm{\forall }a,b\in U:a\wedge b=b\wedge a$

$A\wedge B$	$\iff$	$B\wedge A$
	$\iff$

• Banatze propietatea:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in U:a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c)$

$A$	$\wedge$	$(B\vee C)$	$\iff$			$(A\wedge B)$	$\vee$	$(A\wedge C)$
	$\wedge$		$\iff$		$\iff$		$\vee$

• Elementu neutroaren existentzia:

$\mathrm{\forall }a\in U:a\wedge V=a$

• Alderantzizkoa

$\mathrm{\forall }a\in U;\mathrm{\exists }\mathrm{\neg }a\in U:a\wedge \mathrm{\neg }a=F$

• Konjuntzioa ondorioz disjuntzioa

$\mathrm{\forall }a,b\in U:a\wedge b\to a\vee b$

Eragiketak bit-ekin

Konjuntzioa oso erabilia da bit-ekin eragiketak egiteko. Adibidez:

• Zero eta zero:

$0\wedge 0=0⟷\begin{array}{cc}& 0\\ \wedge & 0\\ & 0\end{array}$

• Zero eta bat:

$0\wedge 1=0⟷\begin{array}{cc}& 0\\ \wedge & 1\\ & 0\end{array}$

• Bat eta zero:

$1\wedge 0=0⟷\begin{array}{cc}& 1\\ \wedge & 0\\ & 0\end{array}$

• Bat eta bat:

$1\wedge 1=1⟷\begin{array}{cc}& 1\\ \wedge & 1\\ & 1\end{array}$

• Lau bitetan:

$1010\wedge 1100=1000⟷\begin{array}{ccccc}& 1& 0& 1& 0\\ \wedge & 1& 1& 0& 0\\ & 1& 0& 0& 0\end{array}$

Bibliografia

• Winfried Karl Grassmann, Jean-Paul Tremblay (1995), Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science Perspective, Prentice Hall, Txantiloi:ISBN