Hardy-ren desberdintza

Hardy-ren desberdintza desberdintza matematikoa da, izena G.H. Hardy-rengatik duena. desberditza honek hau esaten du: $a_1,a_2,a_3,\dots$ negatiboak ez diren zenbaki errealen segida ez guztiz nulu bat bada, orduan edozein p > 1 zenbaki errealerako hau betetzen da:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)}^p<{\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^p.$

Hardy-ren desberditzaren bertsio integral batek esaten du f funtzio integragarria balio ez-negatiboetarako badela, orduan

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt)}^{p}dx\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x{)}^{p}dx$

non berdintza gertatzen den baldin eta soilik baldin f(x) = 0 ia puntu guztietan bada.