Ireki-oinarri

Matematikako topologia alorrean erabilitzen den termino bat da. Espazio topologiko bateko ireki oinarria familia bat da espazioko edozein ireki ez-huts bertako elementuen bildura gisa adierazteko aukera ematen diguna.

Ireki-oinarriak $\tau$ topologia sortzen duela esango dugu, eta bertako elementuei oinarriko ireki deituko diegu. Oinarriak oso erabilgarriak dira, izan ere, topologien propietate asko, topologia sortzen duen oinarriari buruzko baieztapenetara laburbil daitezke. Horrez gain, hainbat topologia askoz errazago definitzen dira ireki-oinarriak emanda, topologia osoa emanda baino.

Definizioa

$(X,\tau )$ espazio topologikoan, topologia ezagun batekin lanean gabiltzanean, $\beta \subseteq \tau$ ireki-oinarri bat ote den jakiteko ondorengo baliokidetasuna erabili daiteke:$$\beta \tau -renirekioinarria\iff \mathrm{\forall }U\in \tau ,\mathrm{\forall }x\in U,\mathrm{\exists }B\in \beta :x\in B\subseteq U$$edo aipatu dugun bezala eta baliokidea dena:$$\beta \tau -renirekioinarria\iff \mathrm{\forall }U\in \tau (U\ne \mathrm{\varnothing }),U=\bigcup _{i\in I}{B}_{i}eranadierazdaiteke(B_i\in \beta ,\mathrm{\forall }i\in I)$$Hau da, $\beta$ $\tau$ topologiaren ireki-oinarria izango da baldin eta soilik baldin $U$ ireki bateko edozein puntu hartuz, existitzen bada $\beta$ oinarriko elementu bat, puntu hori barruan duena $U$ irekitik atera gabe.

Adibideak

$(ℝ,{\tau }_u)$ espazio topologikoan $\beta =\{(a,b):a<b,a,b\in ℝ\}$ ohiko topologiaren,${\tau }_u$, ireki-oinarria da.

$({ℝ}^n,{\tau }_u)$ espazioan, bola irekiek ${\tau }_u$-ren ireki-oinarria osatzen dute.

$(X,{\tau }_{dis})$ topologia diskretuan, espazioko irekiak $X$multzoko azpimultzo guztiak direla, $\beta =\{\{x\}:x\in X\}$familia ${\tau }_{dis}$-ren ireki oinarria da.

Ohartu ireki-oinarriak ez direla bakarrak. Are gehiago, $\beta \tau$-ren ireki oinarria bada, eta $\beta \subseteq {\beta }^{\prime }\subseteq \tau$, orduan ${\beta }^{\prime }$ ere, ireki-oinarria da.

Oinarri batek sortutako topologia

Orokorrean, azpimultzoz osatutako familia batek ez du topologia baten ireki-oinarri bat osatuko. Interesgarria da ordea hau noiz gertatuko den aztertzea, izan ere, modu honetara $\beta \subseteq 𝒫(X)$ familia batetik topologia berri bat sortu ahalko dugu. Jarraian azaltzen den teoremak irizpide hauek zehaztuko dizkigu.

Teorema

Izan bitez, $X$ multzoa eta $\beta \subseteq 𝒫(X)$. Topologia zehaztuta ez dagoenean, $\beta$familia topologiaren baten ireki oinarria izango da baldin eta hurrengo bi baldintzak betetzen baditu:

1. $\bigcup _{B\in \beta }B=X$
2. $\mathrm{\forall }{B}_1,B_2\in \beta ,\mathrm{\forall }x\in B_1\cap B_2,\mathrm{\exists }{B}_3\in \beta :x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2$

2. baldintza honi baliokidea izango da: $\mathrm{\forall }{B}_1,B_2\in \beta ,B_1\cap B_2=\bigcup _{i\in I}{B}_i,(B_i\in \beta )$. Eta hauek dira zehazki bete behar diren baldintzak $\beta$familiako multzoen bildura guztiek $X$-ren gaineko topologia bat osa dezaten.

Beraz, bi baldintza hauek betetzen dituen $\beta$ familiatik abiatuz, $X$-ren gaineko topologia bat sor dezakegu. Topologia hau $\beta$ barne duten $X$ -ren gaineko topologia guztien ebakidura izango da eta honela definituko dugu:$${\tau }_{\beta }=\{U\subseteq X:\mathrm{\forall }x\in U,\mathrm{\exists }B\in \beta :x\in B\subseteq U\}$$Hau da gertatzen dena adibidez espazio metrikoekin. Orokorrean, espazio metriko batek, $(X,d)$, beti sortzen du espazio topologiko bat, $(X,{\tau }_d)$, bola irekien bidez.

$${\tau }_d=\{U\subseteq X:\mathrm{\forall }x\in U,\mathrm{\exists }ϵ>0:B(x,ϵ)\subseteq U\}nonB(x,ϵ)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$$

Topologien arteko konparaketak

Izan bitez ${\beta }_1$eta ${\beta }_2$ $X$-ren gaineko bi ireki-oinarri eta ${\tau }_{{\beta }_1},{\tau }_{{\beta }_2}$ sortzen dituzten topologiak, hurrenez hurren. Orduan, esaten da ${\beta }_1{\beta }_2$ baino finagoa dela ${\tau }_{{\beta }_2}\subseteq {\tau }_{{\beta }_1}$ denean. Biek topologia bera sortzen badute berriz, ${\beta }_1$ eta ${\beta }_2$ baliokideak direla esango dugu.

Proposizioa

${\beta }_1{\beta }_{2}bainofinagoada({\tau }_{{\beta }_2}\subseteq {\tau }_{{\beta }_1})\iff \mathrm{\forall }B\in {\beta }_2,\mathrm{\forall }x\in B,\mathrm{\exists }D\in {\beta }_2:x\in D\subseteq B$

Beste modu batean esanda, ${\beta }_1$ ${\beta }_2$baino finagoa izango da ${\beta }_2$-ko edozein irekitako edozein puntu hartuta ${\beta }_1$-eko elementu bat existitzen bada $x$ barruan duena eta ${\beta }_2$-ko ireki horretatik ateratzen ez dena.

Adibidea

Adibidez, har ditzagun ohiko topologia eta Sorgenfreyren topologia, hau da, ${\beta }_u=\{(a,b):a<betaa,b\in ℝ\}$eta ${\beta }_{Sor}=\{[a,b):a<betaa,b\in ℝ\}$ireki-oinarriek sortutako topologiak. Nabaria da ohiko topologiako tarte bateko edozein puntu hartuz beti aurki dezakegula Sorgenfreyren topologiako oinarriko irekiren bat puntu hori estaltzen duena eta aldi berean ohiko topologiako tartearen barruan dagoena. Aldiz, alderantziz aztertuz, Sorgenfreyren topologiako $[a,b)$ tartea izanik eta $x=a$ puntuko ohiko topologiako edozein oinarriko ireki bilatzen badugu beti aterako gara $[a,b)$ tartetik. Beraz ${\beta }_{Sor}$ ${\beta }_u$ baino finagoa izango da.

Erlazionatutako teoremak

• Izan bitez ${\beta }_1,{\beta }_2,...,{\beta }_n$ ${\tau }_1,{\tau }_2,...,{\tau }_n$ topologien ireki-oinarriak hurrenez hurren, orduan ${\beta }_1\times {\beta }_2\times ...\times {\beta }_n$ biderkadura kartesiarra ${\tau }_1\times {\tau }_2\times ...\times {\tau }_n$ biderkadura topologiaren ireki-oinarria da.
• Izan bedi $\beta$ $(X,\tau )$, espazio topologikoaren ireki-oinarria eta Y bere azpiespazioa. $\beta$-ko elementu bakoitzaren eta Y-ren arteko ebakidura eginez gero, lortutako multzoen familia $(Y,{\tau }_Y)$azpiesapzio topologikoaren ireki-oinarria izango da.
• Izan bitez, $(X,\tau )$espazio topologikoa eta $\beta \subseteq \tau$. Orduan, $\beta$ ireki-oinarria izango da baldin eta soilik baldin ${ℬ}_x=\{B\in \beta :x\in B\}$ingurune oinarria bada $X$multzoko edozein x elementurako.

• Izan bedi $f:X⟶Y$bi espazio topologikoren arteko aplikazioa. Orduan,
  • $f$ aplikazioa irekia izango da baldin eta soilk baldin $X$ko edozein oinarriko irekiren irudia irekia baldin bada $Y$-n.
  • $f$ aplikazioa jarraitua izango da baldin eta soilik baldin $Y$ko edozein oinarriko irekiren aurreirudia irekia bada $X$-n.

Hemen ikus daiteke ireki-oinarriak erabiltzearen abantaila.

Azpioinarriak

Batzuetan, ditugun familiek ez dituzte ireki-oinarriak izateko baldintzak betetzen. Baina baldintza ahulagoekin ere posible da topologia bat sortu ahal izatea. Ikusiko dugunez, benetan eskatu beharreko baldintza minimoa familiako elementuen bildura $X$multzoa osoa izatea da. Hori betetzen duten familiei azpioinarri izena ematen zaie. Hainbat propietate frogatzeko nahikoa izango da azpioinarrien irekiak kontuan hartzea. Jarraian ikusiko dugu zein modutan sortzen duen topologia azpioinarri batek.

Izan bitez $(X,\tau )$espazio topologiakoa eta $\sigma \subseteq 𝒫(X)$. Esaten da $\sigma \tau$-ren azpioinarria dela $\sigma$ familiaren elementuen ebakidura finitu guztiek osatutako familia, $\tau$topologiaren ireki-oinarria bada.

Adibideak

1. $\sigma =\{(-\mathrm{\infty },a),(b,\mathrm{\infty }):a,b\in ℝ\}$familia ohiko topologiaren azpioinarria da.
2. $\sigma =\{(-\mathrm{\infty },a],[b,\mathrm{\infty }):a,b\in ℝ\}$familia topologia diskretuaren azpionarria da.
3. Topologia guztiak bere buruaren azpionarri dira.

Ireki-oinarriekin gertatzen den moduan, hemen ere interesgarria da $X$ multzoa eta $\sigma \subseteq 𝒫(X)$ familia baditugu, $\sigma$ familiak topologiaren baten azpioinarria izan dadin ze baldintza bete behar dituen ikustea.

Proposizioa

Izan bitez, $X$multzoa eta $\sigma \subseteq 𝒫(X)$, $$\bigcup _{S\in \sigma }S=X$$baldintza betetzen bada $\sigma$familiak topologia berri bat sortuko du. Izan ere, ${\beta }_{\sigma }=\{S_1\cap ...\cap S_n:n\in \mathbb{N},S_1,...,S_n\in \sigma \}$familiak topologiaren baten ireki-oinarria izateko baldintzak betetzen ditu, eta beraz sortutako topologia ondokoa izango da:$${\tau }_{{\beta }_{\tau }}=\{U\subseteq X:\mathrm{\forall }x\in U,\mathrm{\exists }B\in {\beta }_{\sigma }:x\in B\subseteq U\}$$