Gaussen legea

Fisika eta analisi matematikoan, Gaussen legeak gainazal itxi batetik irteten den fluxu elektriko edo grabitatorioaren eta karga elektriko edo masaren arteko erlazioa ematen du, kasuan kasu. Gaussen legea kantitate edo indar fisikoaren intentsitatea distantziaren karratuarekiko jaisten den kasu guztietan aplika daiteke elektrostatika eta grabitazioa bi adibide besterik ez direlarik. Elektromagnetismoaren bizkarrezur diren lau ekuazioetariko bat ere bada.

Legea lehenengo aldiz Joseph-Louis Lagrangek formulatu zuen 1773an, eta, ondoren, Carl Friedrich Gaussek 1813an.

Era integrala

Bere era integralean, legeak honako hau adierazten du:

$\mathrm{\Phi }={\oint }_A\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{A}=\frac{1}{{\epsilon }_o}\underset{V}{\int }\rho \mathrm{d}V=\frac{Q_A}{{\epsilon }_o}$

non $\mathrm{\Phi }$ fluxu elektrikoa, $\overrightarrow{E}$ eremu elektrikoa, $\mathrm{d}\overrightarrow{A}$ A gainazal itxiaren azalera diferentziala (definizioz kanporanzko norantza duelarik), $Q_{\mathrm{A}}$ gainazalak inguraturiko karga elektrikoa, $\rho$ $V$ bolumenean dagoen karga dentsitatea, ${\epsilon }_o$ hutsaren permitibitate elektrikoa eta ${\oint }_S$ V bolumena mugatzen duen A gainazalarekiko integrala den.

Era diferentziala

Era diferentzialean ekuazioa honetan bilakatzen da:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \overrightarrow{D}={\rho }_{\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{e}}$

non $\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}$ dibergentzia adierazten duen nabla eragilea, $D$ desplazamenduko eremu elektrikoa (C/m²-eko unitateetan), eta ${\rho }_{\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{e}}$ karga dentsitate askea den, materialaren berezkoak diren dipoloak kontuan hartu gabe. Era diferentzial hau Gaussen dibergentziaren teorematik ondoriozta daiteke hein handi batean.

Eta material linealetan era honetan adieraz daiteke ekuazioa:

$\overrightarrow{\mathrm{\nabla }}\cdot \epsilon \overrightarrow{E}={\rho }_{\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{k}\mathrm{e}}$

non $\epsilon$ permitibitate elektrikoa den.

Coulomben legea

Karga erdian duen gainazal esferikoaren kasu partikularrean, eremu elektrikoa gainazalarekiko perpendikularra da, gainazalaren puntu guztietan intentsitate bera ere izango duelarik. Era honetan, adierazpen sinpleago hau ondorioztatzen da:

$E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$

non E eremu elektrikoaren intentsitatea den r erradioan, Q gainazal barruko karga, eta ε₀ hutsaren permitibitate elektrikoa den. Beraz, eremuaren intentsitatearen distantziarekiko karratuaren alderantzizkoaren menpekotasunaren adierazpen ezaguna (Coulomb-en legea), Gaussen legetik ondoriozta daiteke.

Gauss-en legea erabili daiteke baita kargarik gabeko Faradayren kaiola baten barruan eremu elektrikoa nulua dela frogatzeko. Gaussen lege hau magnetismoko Ampèreren legearen baliokidea da elektrostatikan. Biak daude Maxwell-en ekuazioetan sartuta.

Gaussen legea grabitazioan

Grabitatea eta elektromagnetismoak distantziaren karratuaren alderantzizko proportzionaltasunarekin hedatzen den indarra duten heinean, Gaussen legea erabiliz biak erlaziona ditzakegu bakoitzaren $\overrightarrow{g}$ eta $\overrightarrow{E}$ eremu bektoreak kontuan izanda, non:

$\overrightarrow{g}=-G\frac{m}{{\overrightarrow{r}}^2}\hat{r},$

$\overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{{\overrightarrow{r}}^2}\hat{r},$

non $G$ grabitazio unibertsalaren konstantea den, $m$ puntu sortzailearen masa, $r$ puntu sortzailea eta beste puntu baten arteko erradioa (distantzia), ${\epsilon }_0$ hutsaren permitibitate elektrikoa, eta $q$ puntu sortzailearen karga den.

Elektromagnetismoan $\frac{q}{{\epsilon }_0}$ emaitza lortzeko gainazal integrala kalkulatzen dugun moduan, gainazal gaussiar egoki bat aukera dezakegu fluxu grabitatorioa kalkulatzeko. Erreferentzia-sistema baten jatorrian kokaturiko masadun puntu baterako, gainazal gaussiar batentzako aukerarik logikoena jatorrian zentraturiko $r$ erradiodun esfera bat litzateke.

Gauss-en legearen forma integralarekin hasiko gara:

${\mathrm{\Phi }}_g={\oint }_S\overrightarrow{g}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{A}.$

Azalera infinitesimaldun elementua angelu solido infinitesimala besterik ez da, era honetan definitua dena:

$\mathrm{d}\overrightarrow{A}=r^2\mathrm{d}\mathrm{\Omega }\hat{r}.$

Gure gainazal gaussiarra oso egokia da, gainazalarekiko bektore normala jatorriarekiko erradiala delako:

${\mathrm{\Phi }}_g={\oint }_{S}g(r)\hat{r}\cdot \hat{r}{r}^2\mathrm{d}\mathrm{\Omega },$

delarik

Bistakoa da bi bektore erradialen arteko biderkadura eskalarra eta puntua eta gainazalaren arteko distantziaren karratua konstante mantentzen direla gainazalarekiko puntu guztietan. Era honetan, integrala kalkula genezake:

${\mathrm{\Phi }}_g=g(r)r^2{\oint }_S\mathrm{d}\mathrm{\Omega }.$

Geratzen den gainazal integrala gure esferaren azalera besterik ez da ($4\pi r^2$). Hau gure goiko eremu grabitatorioaren ekuazioarekin konbinatzen badugu, masadun puntu baten fluxu grabitatorioaren adierazpena izango dugu.

${\mathrm{\Phi }}_g=-\frac{Gm}{r^2}4\pi r^2=-4\pi Gm$

Interesgarria da konturatzea fluxu grabitatorioa -bere baliokide elektromagnetikoaren moduan-, ez dela esferaren erradioaren araberakoa.

Ikus, gainera

• Maxwellen ekuazioak
• Carl Friedrich Gauss
• Fluxua