Azpiespazio bektorial

Azpiespazio bektoriala kontzeptu garrantzitsua da aljebran eta matematikako hainbat arlotan. Testuinguruaren arabera azpiespazio ere deitu ohi zaio beste mota batzuetako azpiespazioekin nahastu ezin denean. Orokorrean, U edo V ikurrak erabiltzen dira azpiespazio bektorialari buruz aritzeko; batzuetan A, B edota W ere ikus daitezke.

Definizioa

Suposatuz V espazio bektoriala dela, K eskalarren gorputza ($ℝ$ edo $ℂ$) eta (W,+) egitura (V,+) talde abeldarraren azpitaldea dela, W azpiespazio bektoriala izango da hurrengo baldintzak betetzen baditu:

• $\lambda \in K,w\in W\iff \lambda w\in W$
• $w_1,w_2\in W\Rightarrow (w_1+w_2)\in W$

Hau da, (1) K gorputzeko edozein eskalar eta W azpiespazio bektorialeko edozein bektoreren arteko biderketa, W-n dago eta (2) W azpiespazio bektorialeko edozein bi bektoreren arteko batura W-n dago.

Eragiketak

$U$eta $W$, $V$ espazio bektorialaren bi azpiespazio izanik,

Ebakidura

$U\cap W=\{𝐯\in V:𝐯\in U\text{eta}𝐯\in W\}$

Bi azpiespazioren arteko ebakidura $V$-ren azpiespazio da.

Bildura

$U\cup W=\{𝐯\in V:𝐯\in U\text{edo}𝐯\in W\}$

Bi azpiespazioren bildura normalean ez da $V$-ren azpiespazioa.

Batura

$U+W=\{u+w:u\in U\text{ eta }w\in W\}$

$U$-ren eta $W$-ren bektoreen arteko batura guztien multzoa da

Batura $V$-ren azpiespazioa da.

Batura zuzena

$U,W\le V$ izanik, beraien arteko batura zuzena dela esango dugu eta $U\oplus W$ moduan adierazi, $U\cap W=\{0\}$ bada.

Azpiespazio osagarriak

$U$ eta $W$ osagarriak direla esaten da baldin eta beraien arteko batura zuzena $V$ bada, hau da,

$S\oplus W=V\iff \{\begin{array}{c}S+W=V\\ S\cap W=\left\{\overrightarrow{0}\right\}\end{array}$

Azpiespazioen dimentsioak

Izan bitez $V$ dimentsio finituko espazio bektoriala eta $W\le V$. Orduan:

1. $dimW\le dimV$. Gainera, $dimW=dimV$ dugu baldin eta soilik baldin $W=V$ bada.
2. $W$-ren edozein oinarri $V$-ren oinarri bateraino luza daiteke.

Grassman-en formulak bi azpiespazioren baturaren dimentsioa kalkulatzea ahalbidetzen du. Ondokoa dio:

$\dim (U+W)=\dim (U)+\dim (W)-\dim (U\cap W)$

Batura zuzen baten dimentsioa kalkulatu nahi badugu, badakigu $U\cap W=0$ dela, beraz,

$\dim (U\oplus W)=\dim (U)+\dim (W)$

Ikus, gainera

• Bektore