Cauchyren irizpidea

Cauchyren irizpidea (edo erroaren irizpidea) gai positiboko serieen izaera aztertzeko erabiltzen da. $\sum a_{n}$ gai positiboko seriea bada eta hurrengo limitea existitzen bada:

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = l$

Orduan,

(i) Baldin eta $l < 1$ bada, orduan $\sum a_{n}$ konbergentea da.

(ii) Baldin eta $l > 1$ bada, orduan $\sum a_{n}$ dibergentea da.

$l = 1$ bada ezin da ezer esan $\sum a_{n}$ -ren izaerari buruz.

Froga

(i) atalaren froga:

$l < 1$ da, eta $ε = \frac{1 - l}{2} > 0$ hartuz,

$\exists n_{0} \in ℕ :$ $\forall n \geq n_{0}$ $| \sqrt[n]{a_{n}} - l | < \frac{1 - l}{2}$

Bi aldeetan $l$ gehituz,

$\forall n \geq n_{0}$ $\sqrt[n]{a_{n}} < \frac{1 - l}{2} + l = \frac{1 + l}{2} = q < 1 ⟹$

$\forall n \geq n_{0}$ $a_{n} < q^{n}$

Hau da, $\sum a_{n}$ $\sum q_{n}$ seriearen serie minorantea da $(\sum a_{n}$ $< < \sum q^{n})$ . Gainera, argi ikusten da $\sum q_{n}$ seriea konbergentea dela, $0 < q < 1$ baita. Bukatzeko, konparazio-irizpidea aplikatuz, $\sum a_{n}$ konbergentea dela ondorioztatzen da.

(ii) atalaren froga:

$l > 1$ denez, $l = + \infty$ edo $l \in ℝ$ izan daiteke.

$l = + \infty$ bada, $M = 1$ denean, existitzen da $n_{0} \in ℕ$ non $n \geq n_{0}$ guztietarako $\sqrt[n]{a_{n}} > 1$ den. Beste era batera esanda, $n \geq n_{0}$ denean $a_{n} > 1$ da.

$l \in ℝ$ bada, $l > 1$ izanik, $ϵ = l - 1 > 0$ hartuz,

$\exists n_{0} \in ℕ :$ $\forall n \geq n_{0}$ $| \sqrt[n]{a_{n}} - l | < l - 1 ⟹$

$\forall n \geq n_{0}$ $\sqrt[n]{a_{n}} > 1 - l + l = 1 ⟹$

$\forall n \geq n_{0}$ $a_{n} > 1$

Beraz, ikusten da existitzen dela $n_{0} \in ℕ$ non, $n \geq n_{0}$ bada, $a_{n} > 1$ den. Ondorioz, $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ ez da 0 izango eta $\sum a_{n}$ dibergentea da.

Adibidea

Adibidez, azter dezagun $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{(2 n + 1)^{n}}$ seriearen izaera.

$a_{n} = \frac{n^{n}}{(2 n + 1)^{n}} > 0$ da $n \in ℕ$ guztietarako eta, beraz, aplika daiteke Cauchyren irizpidea.

$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{(2 n + 1)^{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{(2 n + 1)} = \frac{1}{2} < 1$

Hau da, $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n}} < 1$ da eta, ondorioz, Cauchyren irizpidearen arabera, $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{n}}{(2 n + 1)^{n}}$ seriea konbergentea da.

Cauchyren irizpidea