Konparaziozko irizpidea

Izan bitez $\sum a_n$ eta $\sum b_n$ gai positiboko serieak, $\sum a_n<<\sum b_n$ izanik, hau da, $\sum a_n$ seriea $\sum b_n$ seriearen minorantea izanik. Orduan,

(i) $\sum b_n$ konbergentea bada, $\sum a_n$ ere konbergentea da.

(ii) $\sum a_n$ dibergentea bada, $\sum b_n$ ere dibergentea da.

Froga

(i) atalaren froga:

Izan bitez $\{S_n\}$, $\sum a_n$ seriaren batura partzialen segida eta $\{S{\text{'}}_n\}$ , $\sum b_n$ seriearen batura partzialen segida.

$a_n\le b_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}⟹S_n\le S{\text{'}}_n,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Orduan, $\sum b_n$ konbergentea $⟺\{S{\text{'}}_n\}$ goitik bornatua $⟹\{S_n\}$ goitik bornatua $⟺$ $\sum a_n$ konbergentea.

(ii) atalaren froga:

Absurdura eramanez, demagun $\sum a_n$ dibergentea izanik, $\sum b_n$ konbergentea dela. Baina, orduan, (i) atala aplikatuz $\sum a_n$ konbergentea izango litzateke eta hori absurdua da.

Ondorioz, $\sum b_n$ dibergentea da.

Adibidea

Azter dezagun $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+{\cos }^2(n^2-7)}{n^2}$ seriearen izaera.

Argi ikus daiteke gai positiboko seriea dela, beraz, konparazio irizpidea aplika daiteke.

${\cos }^2(n^2-7)\le 1,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}⟹\frac{1+{\cos }^2(n^2-7)}{n^2}\le \frac{2}{n^2},\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Hau da, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+{\cos }^2(n^2-7)}{n^2}$ seriea $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{n^2}$ seriearen minorantea da $(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+{\cos }^2(n^2-7)}{n^2}<<\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2}{n^2})$.

$\sum \frac{1}{n^2}$ seriea kobergentea denez $⟹\sum \frac{2}{n^2}$ seriea ere konbergentea da. Orduan, bukatzeko eta konparazio irizpidea aplikatuz, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1+{\cos }^2(n^2-7)}{n^2}$ seriea ere konbergentea da.