Matrize norma

Matrize norma bat, bektoreena bezala, $\Vert \cdot \Vert$ adierazten da eta hurrengo hiru propietateak betetzen ditu:

1. $\Vert A\Vert >0,\mathrm{\forall }A\ne 0.$
2. $\Vert cA\Vert =\left|c\right|\cdot \Vert A\Vert ,\mathrm{\forall }c\in ℝ.$
3. $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert .$

A eta B $K^{m\times n}$ -erako matrizeak izanik.

Gainera, matrizea karratua den kasuetan; hau da, m=n hurrengo propietatea betetzen dela esan dezakegu:

• $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert .$

Definizioa

Izan bitez A matrize bat eta $\Vert \cdot \Vert$ bektore-norma bat. $\Vert A\Vert$ eragindako matrize norma honela definitzen da:

$\Vert A\Vert =\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\ne 0}\frac{\Vert Ax\Vert }{x}$

Jarraian bektoreen bat-, bi- eta infinitu-normek eragindako matrize normak adieraziko ditugu:

• $\Vert A{\Vert }_1=\max {\mathrm{\backslash limits}}_j\Vert A_{:,j}{\Vert }_1$ ( zutabe guztien bat-normetako maximoa)
• $\Vert A{\Vert }_2={\sigma }_1(A)$ ( balio singular handiena)
• $\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max {\mathrm{\backslash limits}}_i\Vert A_{i,:}{\Vert }_1$ ( lerro guztien bat-normetako maximoa)

A simetrikoa den kasuetan, $\Vert A{\Vert }_2=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{1\le i\le n}\left|{\lambda }_i\right|$ ( ${\lambda }_i,1\le i\le n$ , A- autobalioak izanik) betetzen da.

Frobeniusen norma

$\Vert \cdot {\Vert }_b$ bektore-norma bat eta $\Vert \cdot {\Vert }_m$ matrize-norma bat bateragarriak direla esaten da, A eta x guztietarako hurrengoa betzen bada:

$\Vert Ax{\Vert }_b\le \Vert A{\Vert }_m\Vert x{\Vert }_b.$

Bektore-norma eta berak eragindako matrize-norma beti izango dira bateragarriak, baina ez eragindako matrize norma bat ere badago, Frobeniusen norma:

$\Vert A{\Vert }_F=(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}^2{)}^{\frac{1}{2}}$ .

Norma hau bateragarria izanik bektore-norma euklidearrarekin:

$\Vert Ax{\Vert }_2\le \Vert A{\Vert }_F\Vert x{\Vert }_2.$

Propietateak

Edozein $A\in {ℝ}^{m\times n}$ matrizetarako hurrengo 3 propietateak betetzen dira:

1. $\Vert A{\Vert }_2\le \Vert A{\Vert }_F\le \sqrt{n}\Vert A{\Vert }_2.$
2. $\frac{1}{\sqrt{n}}\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \Vert A{\Vert }_2\le \sqrt{m}\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}.$
3. $\frac{1}{\sqrt{m}}\Vert A{\Vert }_1\le \Vert A{\Vert }_2\le \sqrt{n}\Vert A{\Vert }_1.$

Propietate honen arabera, bektore edo matrize norma ezberdinek balio ezberdinak izan ditzaketen arren, baliokidetzat har daitezke, baten balio ezagutuz beste norma batena borna baitezakegu.

Erreferentziak

• Zenbakizko metodoak MATLAB erabiliz, 2.edizioa- Eugenio Juan Mijangos Fernández liburua