Minkowskiren desberdintza

Analisi matematikoan, Minkowskiren desberdintzak, Hermann Minkowskik formulatua, L^p espazioak bektore-norma bat duten bektore-espazioak direla ezartzen du. Bira S espazio neurgarri bat, 1 ≤ p ≤ ∞ eta f eta g L^p(S)-ko elementuak. Orduan, f + g ere L^p(S)-koa da, eta honako hau betetzen da:

$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$

berdintza 1 < p < ∞ kasuan da, baldin eta soilik f eta g guztiz linealki mendekoak badira, $\lambda$ ≥ 0 baten baterako f = $\lambda$ g edo g = $\lambda$ f dela esan nahi duena.

Minkowskiren desberdintza L^p(S)-ko desberdintza triangeluarra da.

Hölderen desberdintza bezala, Minkowskiren desberdintza segida eta bektoretarako ere zehatz daiteke honela:

${(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{1/p}\le {(\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p)}^{1/p}+{(\sum _{k=1}^n|y_k{|}^p)}^{1/p}$

Zenbaki erreal (edo zenbaki konplexu) x₁, ..., x_n, y₁, ..., y_n guztietarako, non n S-ren kardinala den (S-ren elementuen kopurua).

Frogapena

Lehenik, frogatuko dugu f+g baturak p-norma finitua duela, baldin f eta g biek badute, hori ondorengotik segitzen da,

$|f+g{|}^p\le 2^{p-1}(|f{|}^p+|g{|}^p)$

Alabaina, hor erabiltzen da $h(x)=x^p$ funtzio ganbila izatea ${ℝ}^{+}$ multzoan ($p$ > 1 bada) eta horregatik, a eta b positiboak badira, orduan,

${(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b)}^p\le \frac{1}{2}{a}^p+\frac{1}{2}{b}^p$

Beraz,

$(a+b{)}^p\le 2^{p-1}{a}^p+2^{p-1}{b}^p$

Orain, $(\Vert f+g{\Vert }_p)$ adierazpenaz hitz egin daiteke. Zero bada, Minkowskiren desberdintza betetzen da. Orain, demagun $(\Vert f+g{\Vert }_p)$ ez dela zero. Hölderen desberdintza erabiliz

$\Vert f+g{\Vert }_p^p=\int |f+g{|}^p\mathrm{d}\mu$

$\le \int (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$=\int |f||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu +\int |g||f+g{|}^{p-1}\mathrm{d}\mu$

$\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le }({(\int |f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}+{(\int |g{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}){(\int |f+g{|}^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)}\mathrm{d}\mu )}^{1-\frac{1}{p}}$

$=(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p)\frac{\Vert f+g{\Vert }_p^p}{\Vert f+g{\Vert }_p}$

Minkowskiren desberdintza lortzen da bi aldeak bider $\frac{\Vert f+g{\Vert }_p}{\Vert f+g{\Vert }_p^p}$ egitean.