Inekuazio

Eulerrek aurrerapen asko egin zituen inekuazioen arloan.

Fitxategi:Zer dira inekuazioak?.webm Matematikan, inekuazio deritzo bi balioren arteko desberdintasunaren adierazpen algebraikoari. Normalean, inekuazioak honela idazten dira:

• $a<b$, (a txikiago b)
• $x+y+z\le 1$, (ixa gehi y grekoa gehi zeta txikiago edo berdin bat)

• $n>1$, (ene handiago bat)

• $x\ne 0$. (ixa ezberdin zero)

Batzuek inekuazio esaten diete bakarrik hurrengo ikurrak daukaten adierazpenei : <, >, ≠.

Oharra: Inekuazio bat ebaztean lortzen den emaitza desberdintza da. Ez nahastu bi kontzeptu horiek.

Jatorria

Nahiz eta inekuazioen jatorria oso argi ez dagoen, badirudi ekuazioak aurkitu zirenetik gutxira asmatu zirela (K.a 1700). Emaitza zehatzik ez zeukaten problemei adierazpen bat emateko pentsatzu ziren. Lehenengo garaian (K.a 1700-K.o 1500), zenbait ikur pixkanaka asmatzen joan ziren Antzinako Grezian. Ondoren, grekoek ebazpen geometrikoa garatu zuten. Bigarren garaian (K.o 1500 urtetik aurrera), aljebra nabarmenki garatu zen, baita notazioa hobetu ere. Eulerrek, besteak beste, aurrerapen asko egin zituen inekuazioen arloan. Azpimarratu beharrekoa da Eulerrek gaur egungo notazioan eta ebazpenean eragin handia izan duela.

Sailkapena

Inekuazioak sailkatzeko irizpiderik ezagunenak bi dira.

• Ezezagun kopurua:
  1. Bi ezezagunekoak. Adibidez, $x<y$.
  2. Hiru ezezagunekoak. Adibidez, $x+y<z$.
  3. ...

• Ezezagun berretura handiena:
  1. Lehen mailako inekuazioak. Bi kideak lehen mailako edo maila txikiagoko polinomioak diren inekuazioak dira. Adibidez, $x+1<0$.
  2. Bigarren mailako inekuazioak edo koadratikoak. P(x) $\ge$ Q(x) motatako inekuazioak dira, non bi polinomietako bat gutxienez bigarren mailakoa den. Adibidez, $x^2+x+1<0$.
  3. Hirugarren mailakoak edo kubikoak. Bi kideak hirugarren mailako edo maila txikiagoko polinomioak diren inekuazioak dira. Adibidez, $x^3+y^2>3y$.
  4. ...

Adibidea: $x^3+y^2>3$ bi ezezaguneko hirugarren mailako inekuazioa da.

Bi inekuaziori baliokide esaten zaie ebazpen-multzo bera dutenean.

Oinarrizko eragiketak inekuazioetan

Zenbaki errealei dagozkien oinarrizko arauak hurrengoak dira:

1. $x$ zenbaki erreala baldin bada, bakarrik gerta daiteke hurrengo erlazioetako bat: $x>0$ edo $x<0$ edo $x=0$.
2. $x>y$ bada, orduan $-x<-y$.
3. $x>y$ eta c beste zenbaki erreal bat bada, orduan $x+c>y+c$. Kontuan izan c zenbaki negatiboa izan daitekeela.
4. $x>0$ eta $y>0$ badira, orduan $xy>0$.
5. $x>y$ eta $y>z$ badira, orduan $x>z$.
6. $0<x<y$ bada, orduan $x^2<xy<y^2$ eta $\surd (x)<\surd (y)$.
7. $a\ge 0$ bada, orduan , baldin eta soilik bada $-a\le x\le a$.
8. $a\ge 0$ bada, orduan $|x|\ge a$, baldin eta soilik bada $x\ge a$ edo $x\le -a$.
9. $-|x|\le x\le |x|$
10. $\left|xy\right|=\left|x\right|\left|y\right|$
11. $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{\left|x\right|}{\left|y\right|}$
12. Desberdintza triangeluarra: $|x+y|\le |x|+|y|eta|x-y|\le |x|-|y|$

Inekuazioen ebazpena

• Inekuazio lineala (lehen mailako inekuazioa)

Inekuazio hauek ebazteko, nahikoa da monomio guztiak alde batera pasatzea eta gai askeak bestera.

Adibidez:

$\Rrightarrow 3-2x\ge 8-7x$

$-2x+7x\ge 8-3$

$5x\ge 5$

$x\ge 1$.

• Bigarren mailako inekuazioa

Bigarren mailako inekuazioak ebazteko, formula hau izan behar da kontuan: $x=\frac{-b\pm \surd (b^2-4ac)}{2a}$

Formula hori aplikatuz polinomioa sinplifikatzen da eta errazagoa da inekuazioaren balioak lortzea.

Adibidez:

$\Rrightarrow x^2+6x-1\le 3x^2+3x-6$

$0\le 2x^2-3x-5$

$0\le 2(x+1)(x-\frac{5}{2})$

$\{\begin{array}{c}0\le 2\mathit{\text{beti}}\\ 0\le (x+1)(x-\frac{5}{2})\end{array}$$⟹$$\{\begin{array}{c}x<-1\Rightarrow (x+1)<0eta(x-\frac{5}{2})<0\Rightarrow (x+1)(x-\frac{5}{2})>0\\ -1<x<\frac{5}{2}\Rightarrow (x+1)>0eta(x-\frac{5}{2})<0\Rightarrow (x+1)(x-\frac{5}{2})<0\\ x>\frac{5}{2}\Rightarrow (x+1)>0eta(x-\frac{5}{2})>0\Rightarrow (x+1)(x-\frac{5}{2})>0\end{array}$$⟹$ Ebazpena: $x\in (-\mathrm{\infty },-1]\cup [\frac{5}{2},\mathrm{\infty }).$

Ikus hurrengo taula hobeto ulertzeko. Bilatzen duguna da azken lerroan "gehi" bat izatea, hots, $(x+1)(x-\frac{5}{2})\ge 0$ :

Balio-taula

x	x < -1	-1 < x < 5/2	x > 5/2
x + 1	-	+	+
x - 5/2	-	-	+
(x + 1)(x - 5/2)	+	-	+

Orduan, inekuazioa egia da bakarrik $x<-1$ edo $x>\frac{5}{2}$denean, hau da, $x\in (-\mathrm{\infty },-1]\cup [\frac{5}{2},\mathrm{\infty })$.

• Balio absolutua agertzen denean,

$\Rrightarrow |x-4|<x-2$

$|x-4|=$$\{\begin{array}{c}x-4\to x-4\ge 0bada,hauda,x\ge 4\\ 4-x\to x-4<0bada,hauda,x\ge 4\end{array}$.

Orduan,

$\{\begin{array}{c}x\ge 4bada,orduanx-4<x-2⟶0<2bainax>4⟶x\in [4,\mathrm{\infty }]\\ x<4bada,orduan4-x<x-2⟶6<2x\Rightarrow 3<xetax<4⟶3<x<4\to x\in [3,4]\end{array}$.

Ebazpena: $x\in (3,4)\cup [4,\mathrm{\infty }]\Rightarrow x\in (3,\mathrm{\infty })$.

Balio absolutuko inekuazio arrazionalen kasuan, ondoko formulak izan behar dira kontuan:

$|\frac{P(x)}{Q(x)}|\le r⟹r\le \frac{P(x)}{Q(x)}\cap \frac{P(x)}{Q(x)}\ge r$

$|\frac{P(x)}{Q(x)}|\ge r⟹\frac{P(x)}{Q(x)}\ge r\cup \frac{P(x)}{Q(x)}\le -r$

Beraz, balio absolutua kentzean bi inekuazio ebatzi behar dira eta ondoren lortutako emaitzarekin ebakidura edo bildura (kasuan kasu) gin.

Zenbait desberdintza klasiko

• Cauchy-Schwartz-en desberdintza
• Minkowski-ren desberdintza
• Bernoulli-ren desberdintza
• Desberdintza triangeluarra

Erabilerak

Inekuazioak erabil daitezke ekuazioak erabil daitezkeen gehienetan baina, berdintasuna aztertu beharrean, desberdintza aztertzen da inekuazioen bidez. Inekuazioak erabiltzen dituzten arloak dira, besteak beste, ekonomia, fisika, matematika, geologia eta kimika.

Adibidea

Informatika-denda batek 6.600 €-ko aurrekontua du bi motatako ordenagailuak erosteko. Lehen motako ale bakoitzak 66 € balio du eta bigarrenaren ale bakoitzak 100 €. Bakoitzetik zenbat ale eros daitezke?

$x=1$ motako ale kopurua

$y=2$ motako ale kopurua

Planteamendua: $66x+100y\le 6600x>0y>0$.

Ebazpena: Baldintza horiek marraztuko ditugu: <graph>{ "version": 2, "width": 400, "height": 200, "data": [ { "name": "table", "values": [ { "x": 0, "y": 66 }, { "x": 10, "y": 60 }, { "x": 40, "y": 40 }, { "x": 100, "y": 0 } ] } ], "scales": [ { "name": "x", "type": "linear", "range": "width", "zero": false, "domain": { "data": "table", "field": "x" } }, { "name": "y", "type": "linear", "range": "height", "nice": true, "domain": { "data": "table", "field": "y" } } ], "axes": [ { "type": "x", "scale": "x" }, { "type": "y", "scale": "y" } ], "marks": [ { "type": "area", "from": { "data": "table" }, "properties": { "enter": { "x": { "scale": "x", "field": "x" }, "y": { "scale": "y", "field": "y" }, "y2": { "scale": "y", "value": 0 }, "interpolate": { "value": "monotone" }, "fill": { "value": "steelblue" } } } } ] }</graph>Itzala duen eremuan balio osoak dituen edozein puntu da problemaren ebazpena. Puntua zuzenean baldin badago, erabat egokitzen zaio aurrekontuari.

Adibidez, $x=10$, $y=10$ edo $x=60$, $y=20$.

Ariketak

• Inekuazioak
• 
  Inekuazio baten ebazpena.
• 
  Lehenengo mailako inekuazio baten ebazpena.
• 
  Lehenengo mailako inekuazioak bi ezezagun.
• 
  Bigarren mailako inekuazio baten ebazpena.
• 
  Bi ezezaguneko lehenengo mailako inekuazioak.
• 
  Inekuazioak ezagun bakarra azalpena.
• 
  Inekuazioak ezagun bakarra.
• 
  Inekuazioak lantzeko ariketa.
• 
  Bigarren mailako inekuazioak lantzeko ariketa.

Bibliografia

• Matemáticas Básicas. Curso 2013/2014. Zientzia eta Teknologia Fakultatea. Euskal Herriko Unibertsitatea. Marto Macho Staedler irakasleak idatzitako oharrak.