Stolz-Cesàroren teorema

Matematikan, Stolz-Cesàroren teorema segida baten konbergentzia frogatzeko irizpide bat da. Hori aplikatuz gero, indeterminazio mota batzuk ebatzi ahal izango dira. Otto Stolz eta Ernesto Cesàro matematikariengatik da izena.

Stolzen zatiduraren irizpidea

Izan {$a_n$} eta {$b_n$} bi segida, non hurrengo bi baldintzetako bat betetzen den:

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=0$, eta {$b_n$} beherakorra eta $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=0$
• {$b_n$} gorakorra eta $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n=+\mathrm{\infty }$

Orduan, existitzen bada $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=L\in ℝ$,

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}=L$

Sarritan erabiltzen da $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ motako indeterminazioak ebazteko.

Stoltzen erroaren irizpidea

Izan {$a_n$} eta {$b_n$} bi segida, non

• $a_n>0,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

• $b_n$ gorakorra eta dibergentea den ($b_n>0,\mathrm{\forall }n$)

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[b_{n+1}-b_n]{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=L\in ℝ$

Orduan, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[b_n]{a_n}=L$

Forma orokorra

Stolz-Cesàroren teoremaren forma orokorra honako hau da: $(a_n{)}_{n\ge 1}$ eta $(b_n{)}_{n\ge 1}$ bi segida badira non $(b_n{)}_{n\ge 1}$ monotonoa eta ez-bornatua bada, orduan:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_n}{b_n}\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.$