Reissner eta Nordströmen metrika-en iturria ikusi

[[Fisika]] eta [[Astronomia|astronomian]], '''Reissner eta Nordström-en metrika''' [[Einsteinen eremu-ekuazioak|Einstein-Maxwell-en eremu ekuazioen]] soluzio estatikoa da. ''M'' [[masa]] estatiko, ''q'' [[Karga elektriko|karga]] eta simetría esferikodun zulo beltz batek sortzen duen [[grabitazio-eremu]] baten kasuan. Soluzio hau [[Kerr eta Newman-en metrika|Kerr eta Newman-en metrikaren]] kasu partikularra da non masa biratzen ari den.

1916an eta 1921ean [[Hans Reissner]]<ref>{{Erreferentzia|izena=H.|abizena=Reissner|izenburua=Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie|orrialdeak=106–120|data=1916-01-01|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1916AnP...355..106R|aldizkaria=Annalen der Physik|zenbakia=355|issn=0003-3804|doi=10.1002/andp.19163550905|sartze-data=2022-04-18}}</ref>, [[Hermann Weyl]]<ref>{{Erreferentzia|izena=Hermann|abizena=Weyl|izenburua=Zur Gravitationstheorie|orrialdeak=117–145|data=1917-01-01|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1917AnP...359..117W|aldizkaria=Annalen der Physik|zenbakia=359|issn=0003-3804|doi=10.1002/andp.19173591804|sartze-data=2022-04-18}}</ref>, [[Gunnar Nordström]]<ref>{{Erreferentzia|izena=G.|abizena=Nordström|izenburua=On the Energy of the Gravitation field in Einstein's Theory|orrialdeak=1238–1245|data=1918-01-01|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1918KNAB...20.1238N|aldizkaria=Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings Series B Physical Sciences|zenbakia=20|sartze-data=2022-04-18}}</ref> eta [[George Barker Jeffery]]<ref>{{Erreferentzia|izena=G. B.|abizena=Jeffery|izenburua=The Field of an Electron on Einstein's Theory of Gravitation|orrialdeak=123–134|data=1921-05-01|url=https://ui.adsabs.harvard.edu/abs/1921RSPSA..99..123J|aldizkaria=Proceedings of the Royal Society of London Series A|zenbakia=99|issn=0080-4630|doi=10.1098/rspa.1921.0028|sartze-data=2022-04-18}}</ref>-k deskubritu zuten era independentean<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Surprise: the Big Bang isn't the beginning of the universe anymore|hizkuntza=en-US|url=https://bigthink.com/starts-with-a-bang/big-bang-beginning-universe/|aldizkaria=Big Think|sartze-data=2022-04-18}}</ref>. 

== Metrika ==
Metrika lortzeko Einstein-Maxwellen eremu ekuazioen soluzio estatiko, asintotikoki lau eta esferikoki simetrikoa bilatzen da. Einsteinen ekuazioak ondorengoak dira;

<math>G^{\mu\nu}=8\pi G\cdot T^{\mu\nu},</math>

non <math>T^{\mu\nu}</math> [[Energia-momentu tentsore|energia-momentu tentsorea]] den. Karga gabeko eremu batean honela definitzen dena;

<math>T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0} \left[ F^{\mu \alpha}F^\nu{}_{\alpha} - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta}\right] \,,</math>

Tentsore honen heina zero denez [[Ricciren eskalarra]] nulua izango da eta ondorioz Einsteinen ekuazioen baliokidearekin lan egin dezakegu;

<math>R^{\mu\nu}=8\pi G\cdot T^{\mu\nu}.</math>

Gainera, <math>F_{\mu\upsilon}</math> Maxwell-en tentsoreak karga gabeko Maxwell-en ekuazioak bete behar ditu 

<math>\nabla_{\mu} F^{\mu \alpha} = 0,</math>

<math>\partial_{[\mu}F_{\nu\rho]}.</math>

Simetria esferikoa betetzen dela onartu denez ''(t,r,θ,Φ)'' koordinatu sistema erabili daiteke eta estatikotasuna kontuan hartuz hurrengoa da metrika;

<math>ds^{2} = -A(r)c^{2}dt^{2}+B(r)dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2},</math>

non <math>d\Omega^{2} = d\theta^{2}+sin^{2}\theta d\varphi^{2}</math> angelu solidoaren infinitesimala den.

<math>F_{\mu\nu}=E(r)\begin{bmatrix}
   0 & -1 & 0 & 0 \\
  1 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0 \\
  0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},</math>

Maxwellen lehen ekuazio identikoki betetzen da eta bigarren ekuazioa aplikatuz 

<math>E = K \frac{\sqrt{AB}} {r^{2}}.</math>

Asintotikoki laua izatea eskatzen denez infinituan <math>A, \ B \rightarrow 1,</math> eta <math>E =  \frac{K} {r^{2}}.</math> q kargako partikula baten eremu Coulomb-dar klasikoa berreskuratu nahi izanez gero <math>K=q</math> aukeratu behar da.

Azken emaitza Einsteinen ekuazioetan ordezkatuz, <math>A''</math> ezabatu ondoren, geratzen diren baldintzen artean <math>AB'+A'B = (AB)''=0</math> dago. Ondorioz <math>AB=konst</math> eta infinituan <math>AB \rightarrow 1</math>. Beraz, r guztietarako,

<math>B=\frac{1}{A}.</math>

Baldintza hauekin hurrengo aukeraketa egin dezakegu:

<math>A=1-\frac{\tilde K}{r}+\frac{G q^{2}}{c^{4} r^{2}}.</math>

<math>ds^{2}=-\left(1-\frac{r_{S}}{r}+\frac{r_{q}^{2}}{r^{2}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-\frac{r_{S}}{r}+\frac{r_{q}^{2}}{r^{2}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega^{2},</math><ref name=":1">{{erreferentzia|izena=Ray A.|abizena=d'Inverno|urtea=1998|izenburua=Introducing Einstein's relativity|argitaletxea=Oxford University Press Inc.|orrialdeak=239-240|ISBN=019859653|hizkuntza=En}}</ref><ref name=":0">{{erreferentzia|izena=Juan M.|abizena=Aguirregabiria|urtea=2017|izenburua=Grabitazioa eta Kosmologia|argitaletxea=Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU)|orrialdeak=141-146|ISBN=9788498607109|url=http://tp.lc.ehu.eus/jma.html}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izenburua=(PDF) Reissner-Nordström metric|hizkuntza=en|url=https://www.researchgate.net/publication/336304500_Reissner-Nordstrom_metric|aldizkaria=ResearchGate|sartze-data=2022-04-22}}</ref>

non <math>r_{S}=\tilde K= \frac {8 \pi G} {c^{2}}</math> [[Schwarzschilden erradio|Schwarzschilden erradioa]] eta <math>r_{q}^{2}\equiv \frac{Gq^{2}}{c^4}</math> diren, <math>q</math> gorputzaren karga elektriko osoa izanik. Q karga (edota <math>r_{q}</math>) desagertzen den limitean [[Schwarzschilden metrika]] berreskuratzen da. Gainera, Newtonen grabitateren teoria klasikoa berruskuratu dezakegu <math>r_{s}/r \rightarrow 0</math> limitean. <math>r_{s}/r \rightarrow 0</math> eta <math>r_{q}/r \rightarrow 0</math> limitean [[Erlatibitate berezia|erlatibitate bereziko]] [[Minkowskiren metrika]] berreskuratzen dugu.<ref name=":1" />

Masa ''r'' koordenatuaren funtzioan aldatzen da. Masa efektiboa M infinituko masa baino txikiagoa da. Izan ere, eremu elektrikoak masa dauka [[E=mc²|baliokidetasunaren printzipioaren arabera]].<ref>{{Erreferentzia|izenburua=Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry|hizkuntza=En|url=https://jila.colorado.edu/~ajsh/bh/rn.html|aldizkaria=jila.colorado.edu|sartze-data=2022-04-27}}</ref>

<math>M(r)=M -Q^2/2r</math>

== Horizonteak ==
Izan bedi hurrengo koefizientea;

<math>A=1-\frac{2m}{r}+\frac{ q^{2}}{r^{2}}=\frac {Q}{r^{2}}</math>

non 

<math>\frac {Q}{r^{2}}=r^{2}-2mr+q^{2}.</math>

Q kuadratikoaren diskriminantea <math>\Delta=m^{2}-q^{2}</math> da.<ref name=":1" />

=== <math>m^{2}-q^{2}<0</math> ===
Kuadratikoak ez du soluzio errealik eta ondorioz positiboa da ''r''-ren balio guztietarako. Honek esan nahi du ez dagoela [[Gertaeren muga|gertaeren mugarik]]. Ondorioz, [[Singulartasun (matematika)|singularitate]] bakarra <math>r=0</math> jatorrian dago eta biluzia dela esaten da<ref>{{Erreferentzia|izena=Brandon|abizena=Carter|izenburua=Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields|orrialdeak=1559–1571|hizkuntza=en|data=1968-10-25|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.174.1559|aldizkaria=Physical Review|alea=5|zenbakia=174|issn=0031-899X|doi=10.1103/PhysRev.174.1559|sartze-data=2022-04-19}}</ref>. Emaitza hau ez da harritzekoa, izan ere, hemen dago kokatuta eremua sortzen duen ''q'' karga. Singularitate biluziek arazoak sortzen dituzte kausalitatearekin, hori dela eta, normalean [[Penrose-n zentsura kosmikoaren hipotesian]] oinarrituz ez da soluzio fisiko bezela onartzen.<ref>{{Erreferentzia|izena=Veronika E.|abizena=Hubeny|izenburua=Overcharging a Black Hole and Cosmic Censorship|orrialdeak=064013|data=1999-02-11|url=http://arxiv.org/abs/gr-qc/9808043|aldizkaria=Physical Review D|alea=6|zenbakia=59|issn=0556-2821|doi=10.1103/PhysRevD.59.064013|sartze-data=2022-04-19}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Shahar|abizena=Hod|izenburua=Weak Cosmic Censorship: As Strong as Ever|orrialdeak=121101|data=2008-03-26|url=http://arxiv.org/abs/0805.3873|aldizkaria=Physical Review Letters|alea=12|zenbakia=100|issn=0031-9007|doi=10.1103/PhysRevLett.100.121101|sartze-data=2022-04-19}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Paul M.|abizena=Chesler|izenburua=Singularities in Reissner-Nordstr\"om black holes|abizena2=Narayan|abizena3=Curiel|izena2=Ramesh|izena3=Erik|data=2019-11-29|url=http://arxiv.org/abs/1902.08323|aldizkaria=arXiv:1902.08323 [gr-qc]|sartze-data=2022-04-19}}</ref>

<math>d\theta=d\varphi=0</math> planoa aztertuz, honela idazten da geodesiko nulu baten ekuazioa:

<math>ds^{2}=0 \rightarrow c \frac {dt}{dr}=\pm A^{-1}, </math>

<math>ct=\pm[r - \frac{2r_{q}^2 - r_{s}^2}{\sqrt{4r_{q}^2-r_{s}^2}} arctan\frac{2r-r_{s}}{\sqrt{4r_{q}^2-r_{s}^2}}+\frac{r_{s}}{2} ln\frac{r^2A}{r_{s}^2}]+K</math><ref name=":0" />

=== <math>m^{2}-q^{2}>0</math> ===
Geodesiko nulu erradiala hurrengo eran idazten da;

<math>r_{\pm}=m\pm\sqrt{(m^{2}-q^{2})}</math>

<math>c \frac{dt}{dr}=\pm A^{-1}=\pm \frac{r^2}{(r-r_{+})(r-r_{-})},</math>

<math>ct=\pm[r+\frac{r_{+}^2}{r_{+}-r_{-}}ln|\frac{r}{r_{+}}-1|-\frac{r_{-}^2}{r_{+}-r_{-}}ln|\frac{r}{r_{-}}-1|]</math><ref name=":0" />

Ondorioz, hurrengo moduan idazten da metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;

<math>ds^2=-Ac^2dt'^2+2(1-A)dt'dr+(2-A)dr^2+r^2d\Omega^2</math>

*'''I eremua''', <math>r_{+}<r<\infty:</math> <math>r=r_{+}</math>gertaera-horizontea da eta ondorioz ezin da zeharkatu. 
* '''II eremua''', <math>r_{-}<r<r_{+}:</math> eskualde honetan dauden partikula eta fotoiek <math>r=r_{-}</math> gainazala zeharka dezakete.
* '''III eremua''', <math>0<r<r_{-}:</math> eremu hau ez da zertan <math>r=0</math> singularitatera iritsi behar.
=== <math>m^{2}-q^{2}=0</math> ===
Aurreko kasuaren limite bat da non gertaeren horizontea degeneratua den, <math>r=r_{+}=r_{-}=r_{s}/2</math> gertaeren-horizontean izan ezik, ''r'' koordenatua espazio motakoa da. <math>r=r_{+}</math> puntua Schwartzilden <math>r=2m</math> kasuaren antzekoa da. Geodesika nulu erradialen ekuazioa honako hau da;

<math>ct=\pm[r+\frac{r r_{s}}{r_{s}-2r}+r_{s} ln\left\vert 1-\frac{2r}{r_{s}} \right\vert]+K</math><ref name=":0" />

eta metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;

<math>ds^2=-Ac^2dt'^2+2(1-A)dt'dr+(2-A)dr^2+r^2d\Omega^2</math>

== Denboraren zabalkuntza grabitazionala ==
[[Denboraren zabalkuntza]] grabitazionala hurrengo moduan adierazten da gorputzaren inguruan;

<math>\gamma = \sqrt{|g^{t t}|} = \sqrt{\frac{r^2}{Q^2+(r-2 M) r}} ,</math>

ihes abiadura lokalarekin hurrengo eran erlazionatzen dena;

<math>v_{\rm esc}=\frac{\sqrt{\gamma^2-1}}{\gamma}.</math>

== Christoffel-en ikurrak ==
[[Christofellen ikurrak]]

<math>\Gamma^i_{j k} = \sum_{s=0}^3 \ \frac{g^{is}}{2} \left(\frac{\partial g_{js}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{sk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^s}\right) \qquad \{ 0, \ 1, \ 2, \ 3 \} \to \{ t, \ r, \ \theta, \ \varphi \}</math>

hurrengo adierazpenak dakarzkite<ref>{{erreferentzia|izena=Jonatan|abizena=Nordebo|izenburua=The Reissner-Nordström metric|hizkuntza=En|url=https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:912393/FULLTEXT01.pdf}}</ref>

<math>\begin{align}
\Gamma^t_{t r} & = \frac{M r-Q^2}{r ( Q^2 + r^2 - 2 M r ) } \\[6pt]
\Gamma^r_{t t} & = \frac{(M r-Q^2) \left(r^2-2Mr+Q^2\right)}{r^5} \\[6pt]
\Gamma^r_{r r} & = \frac{Q^2-M r}{Q^2 r-2 M r^2+r^3} \\[6pt]
\Gamma^r_{\theta \theta} & = -\frac{r^2-2Mr+Q^2}{r} \\[6pt]
\Gamma^r_{\varphi \varphi} & = -\frac{\sin ^2 \theta \left(r^2-2Mr+Q^2\right)}{r} \\[6pt]
\Gamma^\theta_{\theta r} & = \frac{1}{r} \\[6pt]
\Gamma^\theta_{\varphi \varphi} & = - \sin \theta \cos \theta \\[6pt]
\Gamma^\varphi_{\varphi r} & = \frac{1}{r} \\[6pt]
\Gamma^\varphi_{\varphi \theta} & = \cot \theta
\end{align}</math>

Ikur hauen bidez proba partikula baten geodesikoa lor daiteke.<ref>[[:en:Leonard_Susskind|Leonard Susskind]]: [http://theoreticalminimum.com/courses/general-relativity/2012/fall/lecture-4 ''The Theoretical Minimum: Geodesics and Gravity''], (''General Relativity Lecture 4'', timestamp: [https://www.youtube.com/watch?v=YdnLcYNdTzE&t=34m18s&index=4&list=PL9peWTxCcrBLLE89-Pwab3Qc1uoaKEH0e 34m18s])</ref><ref>Eva Hackmann, Hongxiao Xu: [[arxiv:1304.2142|''Charged particle motion in Kerr–Newmann space-times'']]</ref>

== Higidura ekuazioak ==
[[Simetria esferikoa]] dela eta, beti hautatu daiteke koordinatu sistema proba-partikula plano batean aurkitzeko moduan. Hori dela eta, ''θ'' erabiliko dugu ''φ''-ren ordez. Dimentsio gabeko unitate naturaletan <math>G=M=c=K=1</math> q kargako partikula baten higidura

<math>\ddot x^i = - \sum_{j=0}^3 \ \sum_{k=0}^3 \ \Gamma^i_{j k} \ {\dot x^j} \ {\dot x^k} + q \ {F^{i k}} \ {\dot x_k}</math>

da eta ondorioz,

<math>\ddot t =  \frac{ \ 2 (Q^2-Mr) }{r(r^2 -2Mr +Q ^2)}\dot{r}\dot{t}+\frac{qQ}{(r^2-2mr+Q^2)} \ \dot{r}</math>

<math>\ddot r = \frac{(r^2-2Mr+Q^2)(Q^2-Mr) \ \dot{t}^2}{r^5}+\frac{(Mr-Q^2) \dot{r}^2}{r(r^2-2Mr+Q^2)}+\frac{(r^2-2Mr+Q^2) \ \dot{\theta}^2}{r} + \frac{qQ(r^2-2mr+Q^2)}{r^4} \ \dot{t}</math>

<math>\ddot \theta = -\frac{2 \ \dot\theta \ \dot{r}}{r} .</math>

Kontuan hartu deribatu guztiak denbora propioarekiko direla, <math>\dot a=\frac{da}{d\tau}.</math>

Higidura konstanteak <math>S (t,\dot t,r,\dot r,\theta,\dot\theta,\varphi,\dot\varphi)</math>-rekin lortzen dira, hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzioa dena,<ref>{{Erreferentzia|izena=B. R.|abizena=Smith|izenburua=First-order partial differential equations in classical dynamics|orrialdeak=1147–1153|data=2009-12-01|url=https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.3223358|aldizkaria=American Journal of Physics|alea=12|zenbakia=77|issn=0002-9505|doi=10.1119/1.3223358|sartze-data=2022-04-21}}</ref>

<math>\dot t\dfrac{\partial S}{\partial t}+\dot r\frac{\partial S}{\partial r}+\dot\theta\frac{\partial S}{\partial\theta}+\ddot t \frac{\partial S}{\partial \dot t} +\ddot r \frac{\partial S}{\partial \dot r} + \ddot\theta \frac{\partial S}{\partial \dot\theta} =0</math>

Lehenago aipatutako bigarren deribatuak ordezkatu ondoren metrika bera ekuazio diferentzialaren soluzioa da,

<math> S_1=1 = 
\left( 1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r_{\rm Q}^2}{r^2} \right) c^2\, {\dot t}^2 -\left( 1 - \frac{r_s}{r} + \frac{r_Q^2}{r^2} \right)^{-1} \, {\dot r}^2 - r^2 \, {\dot \theta}^2 .</math>

<math>\frac{\partial S}{\partial r}-\frac{2}{r}\dot\theta\frac{\partial S}{\partial \dot\theta}=0</math> 

Ekuazio banangarriak momentua angeluar erlatibista ematen digu,

<math>S_2=L=r^2\dot\theta.</math>

Hirugarren konstantea energia espezifikoa (energia geldiuneko masaran unitateko) da<ref>{{Erreferentzia|izena=Charles W.|abizena=Misner|izenburua=Gravitation|data=1973|url=https://www.worldcat.org/oclc/585119|isbn=0-7167-0334-3|pmc=585119|sartze-data=2022-04-21}}</ref>

<math>\frac{\partial S}{\partial r}-\frac{2(Mr-Q^2)}{r(r^2-2Mr+Q^2)}\dot t\frac{\partial S}{\partial \dot t}=0</math>

<math>S_3=E=\frac{\dot t(r^2-2Mr+Q^2)}{r^2} + \frac{qQ}{r} .</math>

<math>S_2</math> eta <math>S_3</math>, <math>S_1</math>-en ordezkatuz ekuazio erradiala lortzen da,

<math>c\int d\,\tau =\int \frac{r^2\,dr}{ \sqrt{r^4(E-1)+2Mr^3-(Q^2+L^2)r^2+2ML^2r-Q^2L^2 } } .</math>

Berriro ere <math>S_2</math>-rekin biderkatuz eta integratuz

<math>c\int Lr^2\,d\theta =\int \frac{L\,dr}{ \sqrt{r^4(E-1)+2Mr^3-(Q^2+L^2)r^2+2ML^2r-Q^2L^2 }  }.</math>

Proba partikularen eta infinituan kokatuta dagoen behatzailearen arteko [[Denboraren dilatazio|denboraren dilatazioa]]

<math>\gamma= \frac{q \  Q  \ r^3 + E \ r^4}{r^2 \ (r^2-2 r+Q^2)} </math>

da.

<math>v^i</math> 3-abiadura lokalaren osagai [[Kontrabariante|kontrabarianteak]] eta <math>\dot x^i</math>lehen deribatuak <math>\dot x^i = \frac{v^i}{\sqrt{(1-v^2) \ |g_{i i}|}}</math>-ren bidez erlazionatzen dira eta honela ezartzen dira hasierako baldintzak;

<math>\dot r = \frac{v_\parallel \sqrt{r^2-2M+Q^2}}{r \sqrt{(1-v^2)}}</math>

<math>\dot \theta = \frac{v_\perp}{r \sqrt{(1-v^2)}} .</math>

Proba-partikularen [[energia orbital espezifikoa]]

<math>E=\frac{\sqrt{Q^2-2rM+r^2}}{r \sqrt{1-v^2}}+\frac{qQ}{r}</math>

eta [[momentu angeluar erlatibo espezifikoa]]

<math>L=\frac{v_\perp \ r}{\sqrt{1-v^2}}</math>

higiduraran konstatnte mantentzen diren kantitateak dira.  <math>v_{\parallel}</math> eta <math>v_{\perp}</math>abiadura lokalaren osagai erradial eta tangentziala dira, hurrenez hurren, beraz, abiadura lokala

<math>v = \sqrt{v_\perp^2+v_\parallel^2} = \sqrt{\frac{(E^2-1)r^2-Q^2-r^2+2rM}{E^2 r^2}}</math>

izango da,

== Zuzenketa kuantikoak ==
[[Grabitazio kuantiko|Grabitazio kuantikoaren]] zenbait alderditan, Reissner-Nordströmen metrikak zuzenketa kuantikoak behar ditu. Honen adibide da, Barvinsky eta Vilkovisky-k eremuen teorien hubilketa.<ref>{{Erreferentzia|izena=A. O.|abizena=Barvinsky|izenburua=The generalized Schwinger-DeWitt technique and the unique effective action in quantum gravity|orrialdeak=313–318|hizkuntza=en|abizena2=Vilkovisky|izena2=G. A.|data=1983-11-17|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370269383905063|aldizkaria=Physics Letters B|alea=4|zenbakia=131|issn=0370-2693|doi=10.1016/0370-2693(83)90506-3|sartze-data=2022-04-21}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=A. O.|abizena=Barvinsky|izenburua=The generalized Schwinger-Dewitt technique in gauge theories and quantum gravity|orrialdeak=1–74|hizkuntza=en|abizena2=Vilkovisky|izena2=G. A.|data=1985-03-01|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0370157385901486|aldizkaria=Physics Reports|alea=1|zenbakia=119|issn=0370-1573|doi=10.1016/0370-1573(85)90148-6|sartze-data=2022-04-21}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=A. O.|abizena=Barvinsky|izenburua=Beyond the Schwinger-DeWitt technique: Converting loops into trees and in-in currents|orrialdeak=163–188|hizkuntza=en|abizena2=Vilkovisky|izena2=G. A.|data=1987-01-01|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/055032138790681X|aldizkaria=Nuclear Physics B|zenbakia=282|issn=0550-3213|doi=10.1016/0550-3213(87)90681-X|sartze-data=2022-04-21}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=A. O.|abizena=Barvinsky|izenburua=Covariant perturbation theory (II). Second order in the curvature. General algorithms|orrialdeak=471–511|hizkuntza=en|abizena2=Vilkovisky|izena2=G. A.|data=1990-03-26|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/055032139090047H|aldizkaria=Nuclear Physics B|alea=2|zenbakia=333|issn=0550-3213|doi=10.1016/0550-3213(90)90047-H|sartze-data=2022-04-21}}</ref> Bigarren ordeneko [[Kurbadura|kurbaduran]], [[Einstein-Hilberten akzioa|Einstein-Hilberten akzio]] klasikoa termino lokal eta ez-lokalekin batzen da:

: <math> \Gamma=\int d^4x\, \sqrt{-g}\,\bigg(\frac{R}{16\pi G_N}+c_1(\mu)R^2
    +c_2(\mu)R_{\mu\nu}R^{\mu\nu}
    +c_3(\mu)R_{\mu\nu\rho\sigma}R^{\mu\nu\rho\sigma}\bigg)-\int d^4 x \sqrt{-g}\bigg[\alpha R\ln\left(\frac{\Box}{\mu^2}\right)R
    +\beta R_{\mu\nu}\ln\left(\frac{\Box}{\mu^2}\right)R^{\mu\nu} + \gamma R_{\mu\nu\rho\sigma}\ln\left(\frac{\Box}{\mu^2}\right)R^{\mu\nu\rho\sigma}\bigg],</math>

non <math>\mu</math> energia eskala den. Alde batetik,  <math>c_1,c_2 </math> eta <math> c_3</math> koefizienteen balio zehatza ezezaguna da, izan ere, grabitazio kuantikoaren teoria ultra-morearen naturan oinarritzen dira. Bestalde, <math>\alpha, \beta </math> eta <math>\gamma</math> koefizienteak kalkulagarriak dira.<ref>{{Erreferentzia|izena=John F.|abizena=Donoghue|izenburua=Nonlocal quantum effects in cosmology: Quantum memory, nonlocal FLRW equations, and singularity avoidance|orrialdeak=104062|abizena2=El-Menoufi|izena2=Basem Kamal|data=2014-05-29|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.89.104062|aldizkaria=Physical Review D|alea=10|zenbakia=89|doi=10.1103/PhysRevD.89.104062|sartze-data=2022-04-21}}</ref> <math> \ln\left(\Box/\mu^2\right)</math> operadorea integral baten bidez adierazi daiteke

: <math>
    \ln\left(\frac{\Box}{\mu^2}\right)=\int_0^{+\infty}ds\, \left(\frac{1}{\mu^2+s}-\frac{1}{\Box+s}\right).
</math>

Akzioaren termino berriek soluzio klasikoaren aldaketa bat dakarkate. Kuantukoki zuzendutako Reissner–Nordström metrika, <math>\mathcal{O}(G^2)</math> ordeneraino, Campos Delgado-k aurkeztu zuen:<ref>{{Erreferentzia|izena=Ruben|abizena=Campos Delgado|izenburua=Quantum gravitational corrections to the entropy of a Reissner–Nordström black hole|orrialdeak=272|hizkuntza=en|data=2022-03-29|url=https://doi.org/10.1140/epjc/s10052-022-10232-0|aldizkaria=The European Physical Journal C|alea=3|zenbakia=82|issn=1434-6052|doi=10.1140/epjc/s10052-022-10232-0|sartze-data=2022-04-21}}</ref>

: <math>  ds^2=-f(r)dt^2+\frac{1}{g(r)}dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2, </math>

non

: <math>  f(r)=1-\frac{2G M}{r}+\frac{G Q^2}{r^2}-\frac{32\pi G^2 Q^2}{r^4} \bigg[c_2+4c_3+2\left(\beta+4\gamma\right)\left(\ln\left(\mu r\right)+\gamma_E-\frac{3}{2}\right)\bigg],</math>
: <math>  g(r)=1-\frac{2G M}{r}+\frac{G Q^2}{r^2}-\frac{64\pi G^2 Q^2}{r^4}\Big[c_2+4c_3+2\left(\beta+4\gamma\right)\left(\ln\left(\mu r\right)+\gamma_E-2\right)\Big]. </math>

== Erreferentziak ==
{{erreferentzia_zerrenda|30em}}

== Kanpo estekak ==

*[https://jila.colorado.edu/~ajsh/bh/rn.html Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry]
* [https://www.youtube.com/watch?v=BtJQ_1pSduI Reissner - Nordstrom Solution II, Cosmic Censorship conjecture]
* [https://www.youtube.com/watch?v=hHVDPwAyhso Reissner-Nordstrom Metric Derivation | Solving The Maxwell-Einstein Equations]
{{autoritate kontrola}}

[[Kategoria:Erlatibitate orokorra]]
[[Kategoria:Eponimoak]]
[[Kategoria:1918 zientzian]]