Reissner eta Nordströmen metrika

Fisika eta astronomian, Reissner eta Nordström-en metrika Einstein-Maxwell-en eremu ekuazioen soluzio estatikoa da. M masa estatiko, q karga eta simetría esferikodun zulo beltz batek sortzen duen grabitazio-eremu baten kasuan. Soluzio hau Kerr eta Newman-en metrikaren kasu partikularra da non masa biratzen ari den.

1916an eta 1921ean Hans Reissner, Hermann Weyl, Gunnar Nordström eta George Barker Jeffery-k deskubritu zuten era independentean.

Metrika

Metrika lortzeko Einstein-Maxwellen eremu ekuazioen soluzio estatiko, asintotikoki lau eta esferikoki simetrikoa bilatzen da. Einsteinen ekuazioak ondorengoak dira;

$G^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu },$

non $T^{\mu \nu }$ energia-momentu tentsorea den. Karga gabeko eremu batean honela definitzen dena;

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}[F^{\mu \alpha }{F}^{\nu }{}_{\alpha }-\frac{1}{4}{\eta }^{\mu \nu }{F}_{\alpha \beta }{F}^{\alpha \beta }],$

Tentsore honen heina zero denez Ricciren eskalarra nulua izango da eta ondorioz Einsteinen ekuazioen baliokidearekin lan egin dezakegu;

$R^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu }.$

Gainera, $F_{\mu \upsilon }$ Maxwell-en tentsoreak karga gabeko Maxwell-en ekuazioak bete behar ditu

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{F}^{\mu \alpha }=0,$

${\partial }_{[\mu }{F}_{\nu \rho ]}.$

Simetria esferikoa betetzen dela onartu denez (t,r,θ,Φ) koordinatu sistema erabili daiteke eta estatikotasuna kontuan hartuz hurrengoa da metrika;

$d{s}^2=-A(r)c^{2}d{t}^2+B(r)d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2,$

non $d{\mathrm{\Omega }}^2=d{\theta }^2+si{n}^2\theta d{\phi }^2$ angelu solidoaren infinitesimala den.

$F_{\mu \nu }=E(r)\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right],$

Maxwellen lehen ekuazio identikoki betetzen da eta bigarren ekuazioa aplikatuz

$E=K\frac{\sqrt{AB}}{r^2}.$

Asintotikoki laua izatea eskatzen denez infinituan $A,B\to 1,$ eta $E=\frac{K}{r^2}.$ q kargako partikula baten eremu Coulomb-dar klasikoa berreskuratu nahi izanez gero $K=q$ aukeratu behar da.

Azken emaitza Einsteinen ekuazioetan ordezkatuz, $A^{″}$ ezabatu ondoren, geratzen diren baldintzen artean $A{B}^{\prime }+A^{\prime }B=(AB{)}^{″}=0$ dago. Ondorioz $AB=konst$ eta infinituan $AB\to 1$. Beraz, r guztietarako,

$B=\frac{1}{A}.$

Baldintza hauekin hurrengo aukeraketa egin dezakegu:

$A=1-\frac{\tilde{K}}{r}+\frac{G{q}^2}{c^4{r}^2}.$

$d{s}^2=-(1-\frac{r_S}{r}+\frac{r_q^2}{r^2})c^{2}d{t}^2+{(1-\frac{r_S}{r}+\frac{r_q^2}{r^2})}^{-1}d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2,$

non $r_S=\tilde{K}=\frac{8\pi G}{c^2}$ Schwarzschilden erradioa eta $r_q^2\equiv \frac{G{q}^2}{c^4}$ diren, $q$ gorputzaren karga elektriko osoa izanik. Q karga (edota $r_q$) desagertzen den limitean Schwarzschilden metrika berreskuratzen da. Gainera, Newtonen grabitateren teoria klasikoa berruskuratu dezakegu $r_s/r\to 0$ limitean. $r_s/r\to 0$ eta $r_q/r\to 0$ limitean erlatibitate bereziko Minkowskiren metrika berreskuratzen dugu.

Masa r koordenatuaren funtzioan aldatzen da. Masa efektiboa M infinituko masa baino txikiagoa da. Izan ere, eremu elektrikoak masa dauka baliokidetasunaren printzipioaren arabera.

$M(r)=M-Q^2/2r$

Horizonteak

Izan bedi hurrengo koefizientea;

$A=1-\frac{2m}{r}+\frac{q^2}{r^2}=\frac{Q}{r^2}$

non

$\frac{Q}{r^2}=r^2-2mr+q^2.$

Q kuadratikoaren diskriminantea $\mathrm{\Delta }=m^2-q^2$ da.

$m^2-q^2<0$

Kuadratikoak ez du soluzio errealik eta ondorioz positiboa da r-ren balio guztietarako. Honek esan nahi du ez dagoela gertaeren mugarik. Ondorioz, singularitate bakarra $r=0$ jatorrian dago eta biluzia dela esaten da. Emaitza hau ez da harritzekoa, izan ere, hemen dago kokatuta eremua sortzen duen q karga. Singularitate biluziek arazoak sortzen dituzte kausalitatearekin, hori dela eta, normalean Penrose-n zentsura kosmikoaren hipotesian oinarrituz ez da soluzio fisiko bezela onartzen.

$d\theta =d\phi =0$ planoa aztertuz, honela idazten da geodesiko nulu baten ekuazioa:

$d{s}^2=0\to c\frac{dt}{dr}=\pm A^{-1},$

$ct=\pm [r-\frac{2r_q^2-r_s^2}{\sqrt{4r_q^2-r_s^2}}arctan\frac{2r-r_s}{\sqrt{4r_q^2-r_s^2}}+\frac{r_s}{2}ln\frac{r^{2}A}{r_s^2}]+K$

$m^2-q^2>0$

Geodesiko nulu erradiala hurrengo eran idazten da;

$r_{\pm }=m\pm \sqrt{(m^2-q^2)}$

$c\frac{dt}{dr}=\pm A^{-1}=\pm \frac{r^2}{(r-r_{+})(r-r_{-})},$

$ct=\pm [r+\frac{r_{+}^2}{r_{+}-r_{-}}ln|\frac{r}{r_{+}}-1|-\frac{r_{-}^2}{r_{+}-r_{-}}ln|\frac{r}{r_{-}}-1|]$

Ondorioz, hurrengo moduan idazten da metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;

$d{s}^2=-A{c}^{2}dt{\text{'}}^2+2(1-A)d{t}^{\prime }dr+(2-A)d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2$

• I eremua, $r_{+}<r<\mathrm{\infty }:$ $r=r_{+}$gertaera-horizontea da eta ondorioz ezin da zeharkatu.
• II eremua, $r_{-}<r<r_{+}:$ eskualde honetan dauden partikula eta fotoiek $r=r_{-}$ gainazala zeharka dezakete.
• III eremua, $0<r<r_{-}:$ eremu hau ez da zertan $r=0$ singularitatera iritsi behar.

$m^2-q^2=0$

Aurreko kasuaren limite bat da non gertaeren horizontea degeneratua den, $r=r_{+}=r_{-}=r_s/2$ gertaeren-horizontean izan ezik, r koordenatua espazio motakoa da. $r=r_{+}$ puntua Schwartzilden $r=2m$ kasuaren antzekoa da. Geodesika nulu erradialen ekuazioa honako hau da;

$ct=\pm [r+\frac{r{r}_s}{r_s-2r}+r_{s}ln|1-\frac{2r}{r_s}|]+K$

eta metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;

$d{s}^2=-A{c}^{2}dt{\text{'}}^2+2(1-A)d{t}^{\prime }dr+(2-A)d{r}^2+r^{2}d{\mathrm{\Omega }}^2$

Denboraren zabalkuntza grabitazionala

Denboraren zabalkuntza grabitazionala hurrengo moduan adierazten da gorputzaren inguruan;

$\gamma =\sqrt{|g^{tt}|}=\sqrt{\frac{r^2}{Q^2+(r-2M)r}},$

ihes abiadura lokalarekin hurrengo eran erlazionatzen dena;

$v_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}}=\frac{\sqrt{{\gamma }^2-1}}{\gamma }.$

Christoffel-en ikurrak

Christofellen ikurrak

${\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i=\sum _{s=0}^3\frac{g^{is}}{2}(\frac{\partial g_{js}}{\partial x^k}+\frac{\partial g_{sk}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^s})\{0,1,2,3\}\to \{t,r,\theta ,\phi \}$

hurrengo adierazpenak dakarzkite

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Gamma }}_{tr}^t& =\frac{Mr-Q^2}{r(Q^2+r^2-2Mr)}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{tt}^r& =\frac{(Mr-Q^2)(r^2-2Mr+Q^2)}{r^5}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{rr}^r& =\frac{Q^2-Mr}{Q^{2}r-2M{r}^2+r^3}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\theta \theta }^r& =-\frac{r^2-2Mr+Q^2}{r}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\phi \phi }^r& =-\frac{{\sin }^2\theta (r^2-2Mr+Q^2)}{r}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\theta r}^{\theta }& =\frac{1}{r}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\phi \phi }^{\theta }& =-\sin \theta \cos \theta \\ {\mathrm{\Gamma }}_{\phi r}^{\phi }& =\frac{1}{r}\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\phi \theta }^{\phi }& =\cot \theta \end{array}$

Ikur hauen bidez proba partikula baten geodesikoa lor daiteke.

Higidura ekuazioak

Simetria esferikoa dela eta, beti hautatu daiteke koordinatu sistema proba-partikula plano batean aurkitzeko moduan. Hori dela eta, θ erabiliko dugu φ-ren ordez. Dimentsio gabeko unitate naturaletan $G=M=c=K=1$ q kargako partikula baten higidura

${\ddot{x}}^i=-\sum _{j=0}^3\sum _{k=0}^3{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{\dot{x}}^j{\dot{x}}^k+q{F}^{ik}{\dot{x}}_k$

da eta ondorioz,

$\ddot{t}=\frac{2(Q^2-Mr)}{r(r^2-2Mr+Q^2)}\dot{r}\dot{t}+\frac{qQ}{(r^2-2mr+Q^2)}\dot{r}$

$\ddot{r}=\frac{(r^2-2Mr+Q^2)(Q^2-Mr){\dot{t}}^2}{r^5}+\frac{(Mr-Q^2){\dot{r}}^2}{r(r^2-2Mr+Q^2)}+\frac{(r^2-2Mr+Q^2){\dot{\theta }}^2}{r}+\frac{qQ(r^2-2mr+Q^2)}{r^4}\dot{t}$

$\ddot{\theta }=-\frac{2\dot{\theta }\dot{r}}{r}.$

Kontuan hartu deribatu guztiak denbora propioarekiko direla, $\dot{a}=\frac{da}{d\tau }.$

Higidura konstanteak $S(t,\dot{t},r,\dot{r},\theta ,\dot{\theta },\phi ,\dot{\phi })$-rekin lortzen dira, hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzioa dena,

$\dot{t}\frac{\partial S}{\partial t}+\dot{r}\frac{\partial S}{\partial r}+\dot{\theta }\frac{\partial S}{\partial \theta }+\ddot{t}\frac{\partial S}{\partial \dot{t}}+\ddot{r}\frac{\partial S}{\partial \dot{r}}+\ddot{\theta }\frac{\partial S}{\partial \dot{\theta }}=0$

Lehenago aipatutako bigarren deribatuak ordezkatu ondoren metrika bera ekuazio diferentzialaren soluzioa da,

$S_1=1=(1-\frac{r_s}{r}+\frac{r_{\mathrm{Q}}^2}{r^2})c^2{\dot{t}}^2-{(1-\frac{r_s}{r}+\frac{r_Q^2}{r^2})}^{-1}{\dot{r}}^2-r^2{\dot{\theta }}^2.$

$\frac{\partial S}{\partial r}-\frac{2}{r}\dot{\theta }\frac{\partial S}{\partial \dot{\theta }}=0$

Ekuazio banangarriak momentua angeluar erlatibista ematen digu,

$S_2=L=r^2\dot{\theta }.$

Hirugarren konstantea energia espezifikoa (energia geldiuneko masaran unitateko) da

$\frac{\partial S}{\partial r}-\frac{2(Mr-Q^2)}{r(r^2-2Mr+Q^2)}\dot{t}\frac{\partial S}{\partial \dot{t}}=0$

$S_3=E=\frac{\dot{t}(r^2-2Mr+Q^2)}{r^2}+\frac{qQ}{r}.$

$S_2$ eta $S_3$, $S_1$-en ordezkatuz ekuazio erradiala lortzen da,

$c\int d\tau =\int \frac{r^{2}dr}{\sqrt{r^4(E-1)+2M{r}^3-(Q^2+L^2)r^2+2M{L}^{2}r-Q^2{L}^2}}.$

Berriro ere $S_2$-rekin biderkatuz eta integratuz

$c\int L{r}^{2}d\theta =\int \frac{Ldr}{\sqrt{r^4(E-1)+2M{r}^3-(Q^2+L^2)r^2+2M{L}^{2}r-Q^2{L}^2}}.$

Proba partikularen eta infinituan kokatuta dagoen behatzailearen arteko denboraren dilatazioa

$\gamma =\frac{qQ{r}^3+E{r}^4}{r^2(r^2-2r+Q^2)}$

da.

$v^i$ 3-abiadura lokalaren osagai kontrabarianteak eta ${\dot{x}}^i$lehen deribatuak ${\dot{x}}^i=\frac{v^i}{\sqrt{(1-v^2)|g_{ii}|}}$-ren bidez erlazionatzen dira eta honela ezartzen dira hasierako baldintzak;

$\dot{r}=\frac{v_{\parallel }\sqrt{r^2-2M+Q^2}}{r\sqrt{(1-v^2)}}$

$\dot{\theta }=\frac{v_{\perp }}{r\sqrt{(1-v^2)}}.$

Proba-partikularen energia orbital espezifikoa

$E=\frac{\sqrt{Q^2-2rM+r^2}}{r\sqrt{1-v^2}}+\frac{qQ}{r}$

eta momentu angeluar erlatibo espezifikoa

$L=\frac{v_{\perp }r}{\sqrt{1-v^2}}$

higiduraran konstatnte mantentzen diren kantitateak dira. $v_{\parallel }$ eta $v_{\perp }$abiadura lokalaren osagai erradial eta tangentziala dira, hurrenez hurren, beraz, abiadura lokala

$v=\sqrt{v_{\perp }^2+v_{\parallel }^2}=\sqrt{\frac{(E^2-1)r^2-Q^2-r^2+2rM}{E^2{r}^2}}$

izango da,

Zuzenketa kuantikoak

Grabitazio kuantikoaren zenbait alderditan, Reissner-Nordströmen metrikak zuzenketa kuantikoak behar ditu. Honen adibide da, Barvinsky eta Vilkovisky-k eremuen teorien hubilketa. Bigarren ordeneko kurbaduran, Einstein-Hilberten akzio klasikoa termino lokal eta ez-lokalekin batzen da:

$\mathrm{\Gamma }=\int d^{4}x\sqrt{-g}(\frac{R}{16\pi G_N}+c_1(\mu )R^2+c_2(\mu )R_{\mu \nu }{R}^{\mu \nu }+c_3(\mu )R_{\mu \nu \rho \sigma }{R}^{\mu \nu \rho \sigma })-\int d^{4}x\sqrt{-g}[\alpha R\ln \left(\frac{◻}{{\mu }^2}\right)R+\beta R_{\mu \nu }\ln \left(\frac{◻}{{\mu }^2}\right)R^{\mu \nu }+\gamma R_{\mu \nu \rho \sigma }\ln \left(\frac{◻}{{\mu }^2}\right)R^{\mu \nu \rho \sigma }],$

non $\mu$ energia eskala den. Alde batetik, $c_1,c_2$ eta $c_3$ koefizienteen balio zehatza ezezaguna da, izan ere, grabitazio kuantikoaren teoria ultra-morearen naturan oinarritzen dira. Bestalde, $\alpha ,\beta$ eta $\gamma$ koefizienteak kalkulagarriak dira. $\ln (◻/{\mu }^2)$ operadorea integral baten bidez adierazi daiteke

$\ln \left(\frac{◻}{{\mu }^2}\right)=\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}ds(\frac{1}{{\mu }^2+s}-\frac{1}{◻+s}).$

Akzioaren termino berriek soluzio klasikoaren aldaketa bat dakarkate. Kuantukoki zuzendutako Reissner–Nordström metrika, $𝒪(G^2)$ ordeneraino, Campos Delgado-k aurkeztu zuen:

$d{s}^2=-f(r)d{t}^2+\frac{1}{g(r)}d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^2{\sin }^2\theta d{\varphi }^2,$

non

$f(r)=1-\frac{2GM}{r}+\frac{G{Q}^2}{r^2}-\frac{32\pi G^2{Q}^2}{r^4}[c_2+4c_3+2(\beta +4\gamma )(\ln \left(\mu r\right)+{\gamma }_E-\frac{3}{2})],$

$g(r)=1-\frac{2GM}{r}+\frac{G{Q}^2}{r^2}-\frac{64\pi G^2{Q}^2}{r^4}[c_2+4c_3+2(\beta +4\gamma )(\ln \left(\mu r\right)+{\gamma }_E-2)].$

Kanpo estekak

• Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry
• Reissner - Nordstrom Solution II, Cosmic Censorship conjecture
• Reissner-Nordstrom Metric Derivation | Solving The Maxwell-Einstein Equations