Energia-momentu tentsore

Energia-momentu tentsorea, energiaren eta momentuaren dentsitatea eta fluxua deskribatzen dituen magnitude fisiko bat da espazio-denboran. Materia, erradiazio eta grabitazio gabeko indar-eremuen atributua da. Dentsitate eta energia- eta momentu- fluxu horiek, erlatibitate orokorreko Einstein eremuko ekuazioen iturri dira. Hau da, grabitazio newtondarrarekin analogia bat eginez, energia-momentu tentsoreak masa-distribuzioaren papera beteko zuen ekuazioetan. Einsteinen ekuazioetan honela txertatzen da:

Espaziodenboraren kurbaduraren ilustrazio eskematikoa

$G_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

Definizioa

Kontsidera dezagun elkarrekintzarik gabeko partikula sorta baten baliokidea den fluido bat  (hautsa). Gertaera baten eta toki zehatz batetik pasatzen den partikularen abiadurak $u^{\mu }(x)$ abiadura-eremua definitzen du. Bestalde, partikula horren aldiuneko pausaguneko sisteman neurturiko masa-dentsitatea kontsideratuko dugu  $\rho (x)$. Bi elementu horiekin hurrengo magnitudea defini daiteke (energia-momentu tentsorea edo esfortzu-energia tentsorea):

$T^{ij}\equiv \rho (x)u^i{u}^j$

Tentsorearen osagaiak era matrizealean idatzita.

$u^{\mu }(x)$-ren transformazioetatik tentsorearen transformazio legea ondorioztatu daiteke era tribial batean:

$u^{{\mu }^{\prime }}=\frac{\partial x^{{\mu }^{\prime }}}{\partial x^{\mu }}{u}^{\mu }$

beraz,

$T^{i^{\prime }{j}^{\prime }}=\frac{\partial x^{i^{\prime }}}{\partial x^i}\frac{\partial x^{j^{\prime }}}{\partial x^j}{T}^{ij}$

Adierazpen horretan ikusi daiteke (indizeak aldatuz) energia-momentu tentsorea tentsore simetrikoa dela.

Behin definizioa izanda tentsore hori osagaiz osagai interpretatu daiteke:

• Sistema inertzial batean neurturik, sistema propio baten neurtutako bolumen batean dagoen energia honela adierazi daiteke: $dE=(\rho d{V}^{*})\gamma c^2$ . Bestalde, Lorentzen uzkurdura dela eta, sistema inertzialean dugun bolumen diferentziala $dV=d{V}^{*}/\gamma$. Ondorioz, sistema inertzialean lortzen den energia-dentsitatea $\frac{dE}{dV}=\rho {\gamma }^2{c}^2$ dugu. Adierazpen hori aztertuz $T^{ij}$ tentsorearen $T^{00}$ osagaia dela ikusten da. Hau da, energia-momentu tentsorearen $00$ osagaia energia-dentsitatea da.

• Har dezagun, lehen bezala, sistema propio batean neurturiko bolumen diferentziala. Berriz ere, Lorentzen uzkurdura kontuan hartuz, momentu linealaren dentsitatea lortzen dugu: $\frac{d𝐩}{dV}=\rho {\gamma }^2𝐯$. Bestalde, $dS$ gainazal batetik denbora-unitateko pasatzen den energia kantitatea ${𝐉}_{𝐄}\cdot dS$ daukagu, non, $𝐉=\rho {\gamma }^2{c}^2𝐯$ (energia-dentsitatea bider abiadura). Hortaz, energia-momentu tentsorearen $T^{i0}=T^{0i}$ osagaiak honela interpretatu daitezke: $T^{i0}=T^{0i}=c\times$(momentu linealaren dentsitatea $i$ norabidean) edo $T^{i0}=T^{0i}=(1/c)\times$(energiaren korronte-denstsitatea $i$ osagaian).
• Azkenik, logika berbera erabiliz, $T^{ij}=T^{ji}$ osagaia momentu linealaren dentsitatearen $i$ osagaiaren $j$ osagaia da. Kontuan izan behar dugu indarraren definizioa momentu linealaren denbora-unitateko transferentziara dela. Hortaz, $T^{ij}$osagaiak $j$ ardatzarekiko perpendikularra den gainazal infinitesimalaren gainean materia distribuzioak egiten duen azalera-unitateko indarraren $i$ osagaia da. Ondorioz, hiru dimentsioko esfortzu-tentsorea dugu $T^{ij}$.

Kontserbazioa

Erlatibitatearen teoriaren testuinguruan, energiaren eta mugimenduaren kontserbazio legeak oso modu errazean adieraz daitezke energia-momentu tentsorearen baitan. Zehazki bi legeak batera idatz daitezke jarraitutasun ekuazio bat bezala:

${\mathrm{\nabla }}_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$

$P^{\mu }=\frac{1}{c}\underset{V}{\int }{T}^{0\mu }{d}^3𝐱$

Kopuruak espazio motako xerra batean ematen du energia-momentu kuadribektorea edo kuadrimomentua. Tentsore hori espazio-denboran egiten diren translazioei elkartutako Noetheren korrontea da. Erlatibitate berezian, kopuru horrek espazio-denboraren kurbaduraren iturri bezala jarduten du. Horrez gain gaugeren transformazioei lotutako dentsitate-korrontea da, Notherren teorema dela eta. Espazio-denbora kurbatuan, espazio denborako integralak espazio motako xerrarekiko mendekotasuna du orokorrean. Ez dago modurik energia-momentuko bektore globalik definitzeko espazio-denbora kurbatuan.

Grabitatea mespretxagarria denean eta koordenatu sistema kartesiarra erabiliz espazio denborarentzat, aurreko ekuazioa deribatu partzial bidez adieraz daiteke:

$0=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }={\partial }_{\nu }{T}^{\mu \nu }.$

Forma integrala honakoa da:

$0=\underset{\partial N}{\int }{T}^{\mu \nu }{\mathrm{d}}^3{s}_{\nu }$

Non $N$ espazio denboraren lau dimentsioko eskualde trinkoa den. $\partial N$ bere muga da, 3 dimentsioko hiper-azalera bat, eta ${\mathrm{d}}^3{s}_{\nu }$  mugaren elementu bat da, kanporantz begira dagoen normala.

Espazio-denbora lauan eta koordenatu kartesiarrak erabiliz, eta energia-momentu tentsorearen simetriarekin konbinatuz, ikus daiteke momentu angeluarra ere kontserbatu egiten dela $0=(x^{\alpha }{T}^{\mu \nu }-x^{\mu }{T}^{\alpha \nu }{)}_{,\nu }.$

Erlatibitate orokorrean

Grabitatea ez denean mespretxagarria edo koordenatu sistema arbitrarioa erabiltzean, energia-momentuaren dibergentziak desagertzen jarraitzan du, baina kasu honetan, koordenatu gabeko dibergentziaren definizioa erabiltzen da, zeinak deribatu kobariantea erabiltzen duen:

$0=\mathrm{div}T=T^{\mu \nu }{}_{;\nu }={\mathrm{\nabla }}_{\nu }{T}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \nu }{T}^{\sigma \nu }+{\mathrm{\Gamma }}^{\nu }{}_{\sigma \nu }{T}^{\mu \sigma }$

non ${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }{}_{\sigma \nu }$  Christoffelen ikurra den, hau da, indar eremu grabitatorioa.

Ondorioz, ${\xi }^{\mu }$ Killingen bektorea bada, orduan Killingen eremu bektorialak eratzen duen simetriarekin lotutako kontserbazio legea honela adieraz daiteke:

$0={\mathrm{\nabla }}_{\nu }\left({\xi }^{\mu }{T}_{\mu }^{\nu }\right)=\frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\nu }\left(\sqrt{-g}{\xi }^{\mu }{T}_{\mu }^{\nu }\right)$

Integral forma:

$0=\underset{\partial N}{\int }\sqrt{-g}{\xi }^{\mu }{T}_{\mu }^{\nu }{\mathrm{d}}^3{s}_{\nu }=\underset{\partial N}{\int }{\xi }^{\mu }{𝔗}_{\mu }^{\nu }{\mathrm{d}}^3{s}_{\nu }$

Tentsorearen erabilera kasu konkretuetan

Erradiazioaren energia-momentu tentsorea

Izan bedi fluido perfektu bat, non bere partikulak partikula ultraerlatibistak diren, hau da, beraien abiadura argiaren abiaduraren antzekoa den $\mid 𝐯\mid \approx c$. Bestalde, partikulek ez dute elkarrekintzarik izango beraien artean eta haien energia $E=c\mid 𝐩\mid$ izango dugu.

Ikuspuntu makroskopiko batetik, elementu-infinitesimal bat geldi dagoeneko masa-zentroko sistema definitu behar dugu. Beraz, horretarako, elementuan dauden partikula guztien batez bestekoak hartu beharko ditugu kontuan, partikulen mugimenduak zorizkoak direnez pausaguneko sistema definituko baitu horrek. Ondorioz, elementuaren pausaguneko sistemaren koordenatuak $x^{{\mu }^{\prime }}=(ct,{𝐱}^{*})$ izango dira. Hau kontuan izanda, tentsorearen osagaiak kalkulatuko dira.

Lehen osagaia, energia-dentsitatearen batez bestekoa izango da:

$\epsilon =T^{0^{\prime }{0}^{\prime }}=⟨\rho {\gamma }^2{c}^2⟩$

Bestalde, masa-zentroaren sisteman gaudenez, partikulen momentu-dentsitatea nulua izango da:

$T{i}^{\prime }0=T^{0i^{\prime }}=⟨\rho {\gamma }^{2}c{v}^{i^{\prime }}⟩=0$

Arrazoi beragatik, hau da, partikula guztiak zoriz higitzen direlako, $i^{\prime }\ne j^{\prime }$denean:

$T{i}^{\prime }{j}^{\prime }=⟨\rho {\gamma }^2{v}^{i^{\prime }}{v}^{j^{\prime }}⟩=0$

Hortaz, nuluak ez diren elementu bakarrak $i^{\prime }=j^{\prime }$ elementuak izango dira, hots, diagonaleko elementuak. Lehen aipatu den bezala $\mid 𝐯\mid \approx c$ dugu, beraz,

$c^2\approx ⟨{𝐯}^2⟩=3⟨(v^{i^{\prime }}{)}^2⟩$

Ondorioz, $i^{\prime }=j^{\prime }$denean,

$T^{i^{\prime }{j}^{\prime }}=T^{j^{\prime }{i}^{\prime }}=\frac{1}{3}⟨\rho {\gamma }^2{c}^2⟩=\frac{\epsilon }{3}$

Amaitzeko, tentsore guztia matrize bezala idazten badugu aukeratutako masa-zentroko erreferentzia sisteman:

$T^{{\mu }^{\prime }{\nu }^{\prime }}=\frac{\epsilon }{3}\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Partikula isolatuetan

Erlatibitate berezian, elkarrekintzarik ez duen $m$ masako eta ${𝐱}_{\text{p}}(t)$ ibilbideko partikula baten energia-momentua:

$T^{\alpha \beta }(𝐱,t)=\frac{m{v}^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\delta (𝐱-{𝐱}_{\text{p}}(t))=\frac{E}{c^2}{v}^{\alpha }(t)v^{\beta }(t)\delta (𝐱-{𝐱}_{\text{p}}(t))$

da, non ${\left(v^{\alpha }\right)}_{\alpha =0,1,2,3}$ abiadura bektorea:

${\left(v^{\alpha }\right)}_{\alpha =0,1,2,3}=(1,\frac{d{𝐱}_{\text{p}}}{dt}(t))$

den. $\delta$ Diracen funtzioa da eta $E=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}$ partikularen energia da.

Fisika klasikoaren hizkuntzan idatzi ezkero, energia-momentu tentsorea;

$(\frac{E}{c^2},𝐩,𝐩𝐯)$ izango litzateke.

Energia-momentua orekan dagoen jariakinean

Jariakin perfektuaren energia-momentu tentsorea idazteko, $\rho (x)$ masa-dentsitatea eta $p(x)$ presio-eremu eskalarra ( $p=\rho v^2$) behar dugu. Horretarako, aldiuneko pausaguneko koordenatu-sistema aukeratuko dugu. Hau da, bolumen elementuaren masa-zentroko sistema hartuko dugu. Honela, partikulen batez bestekoak hartzen direnez, sistema pausagunean egongo da. Beraz, gure sistema $x^{{\mu }^{\prime }}=(ct,{𝐱}^{*})$ izango da, erradiazio energia-momentu tentsorearen kasuan bezala. Bestalde, kontuan izan behar dugu fluidoaren partikulak ez-erlatibistak direla. Behin hau finkatuta, tentsorearen osagaiak kalkulatu ditzakegu.

Hasteko, jariakinaren energia-dentsitatea $T^{0^{\prime }{0}^{\prime }}=\rho c^2$ izango da. Bestalde, aukeratutako koordenatu sisteman jariakina pausagunean dago, eta, ondorioz, momentu linealaren dentsitatea nulua izan behar da, $T^{i^{\prime }0}=T^{0i^{\prime }}=0$. Amaitzeko, jariakina perfektua denez, honek egiten duen esfortzua bolumen elementuaren gainazalekiko perpendikularra da eta berdina norabide guztietan. Hortaz, $T^{i^{\prime }{j}^{\prime }}=T^{j^{\prime }{i}^{\prime }}$ elementuak deuseztatu egiten dira eta hurrengo tentsorea lortzen dugu energia-momentu tentsorearen definizioa aplikatuz:

$(T^{\alpha \beta }{)}_{\alpha ,\beta }=\left(\begin{array}{cccc}\rho c^2& 0& 0& 0\\ 0& p& 0& 0\\ 0& 0& p& 0\\ 0& 0& 0& p\end{array}\right).$

Kobariantza printzipioa erabiliz, energia-momentu tentsorea edozein sistema inertzialetan idatzi dezakegu:

$T^{\alpha \beta }=\rho u^{\alpha }{u}^{\beta }+p({\eta }^{\alpha \beta }+\frac{u^{\alpha }{u}^{\beta }}{c^2})$

baina koordenatu-sistema egokia aukeratuz (masa-zentrokoa) aurreko adierazpen sinplifikatua lortzen dugu.

Fluidoa ez-erlatibistaren kasuan, hots, $|𝐯|\ll c$ eta $p\ll \rho c^2$ betetzen dela suposatuko dugu. Beraz, tentsorearen osagaiak, edozein erreferentzia-sistematan:

$T^{00}=(\rho +\frac{p}{c^2})u^0{u}^0-p\approx \rho c^2$

$T^{i0}=T^{0i}=(\rho +\frac{p}{c^2})u^0{u}^i-p\approx \rho c{v}^i$

$T^{ij}=(\rho +\frac{p}{c^2})u^i{u}^j-p{\delta }^{ij}\approx \rho v^i{v}^j-p{\delta }^{ij}$

Adierazpen hauei energia-momentu tentsorearen kontserbazio legea aplikatuz jariakinaren higidura ekuazioak lor ditzakegu (i=1,2,3 aldagai espazialak izanik):

$T^{0\nu }{,}_{\nu }=c(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial \rho v^i}{\partial x^i})=0$

$T^{i\nu }{,}_{\nu }=\frac{\partial \rho v^i}{\partial t}+\frac{\partial \rho v^i{v}^j}{\partial x^j}+{\delta }^{ij}\frac{\partial p}{\partial x^j}=$

$=(\frac{\partial \rho }{\partial t}+\frac{\partial \rho v^j}{\partial x^j})v^i+(\frac{\partial v^i}{\partial t}+v^j\frac{\partial v^i}{\partial x^j})+{\delta }^{ij}\frac{\partial p}{\partial x^j}=0$

Aurrera jarraitzeko masa-kontserbazioaren legea erabiliko dugu, hau da, jarraitutasunaren ekuazioa:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot (\rho 𝐯)=0$

Ondorioz, bigarren ekuazioa honela sinplifikatzen da:

$\rho (\frac{\partial v^i}{\partial t}+v^j\frac{\partial v^i}{\partial x^j})+{\delta }^{ij}\frac{\partial p}{\partial x^j}=0$

Jariakinaren kasua eta erradiazioaren kasua fluido perfektuaren bi kasu konkretu dira, ikusten den moduan. Baina erradiazioaren kasuan partikulak ultraerlatibistak direla hartu da kontuan tentsorearen osagaien kalkulua egiterakoan.

Energia-momentu tentsore elektromagnetikoa

Fisika erlatibistan, eremu elektromagnetikoak egindako kontribuzioa energia-momentu tentsoreari energia-momentu tentsore elektromagnetikoa deritzo. Energia-momentu tentsore elektromagnetikoak interakzio elektromagnetikoak gobernatzen dituen Maxwellen momentu tentsorea du barnean.

Hilberten karga gabeko eremu elektrikoaren energia-momentu tentsorea:

$T^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}(F^{\mu \alpha }{g}_{\alpha \beta }{F}^{\nu \beta }-\frac{1}{4}{g}^{\mu \nu }{F}_{\delta \gamma }{F}^{\delta \gamma })$

da, non $F_{\mu \nu }$ eremu elektromagnetiko tentsorea den.

Esplizituki, matrizearen forma:

$T^{\mu \nu }=\left[\begin{array}{cccc}\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2)& \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{x}}& -{\sigma }_{\text{xx}}& -{\sigma }_{\text{xy}}& -{\sigma }_{\text{xz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{y}}& -{\sigma }_{\text{yx}}& -{\sigma }_{\text{yy}}& -{\sigma }_{\text{yz}}\\ \frac{1}{c}{S}_{\text{z}}& -{\sigma }_{\text{zx}}& -{\sigma }_{\text{zy}}& -{\sigma }_{\text{zz}}\end{array}\right],$

non

$𝐒=\frac{1}{{\mu }_0}𝐄\times 𝐁,$

Poynting bektorea den, eta

${\sigma }_{ij}={ϵ}_0{E}_i{E}_j+\frac{1}{{\mu }_0}{B}_i{B}_j-\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{1}{{\mu }_0}{B}^2){\delta }_{ij}$

Maxwellen momentu tentsorea den.

Kontserbazio legeak

Energia-momentu tentsorearen dibergentzia

${\partial }_{\nu }{T}^{\mu \nu }+{\eta }^{\mu \rho }{f}_{\rho }=0$

da, non $f_{\rho }$ lau dimentsioko Lorentzen materiako indarra den bolumen unitateko.

Ekuazio hau ondorengo hiru dimentsioko kontserbazio legeen baliokidea da:

$\begin{array}{cc}\frac{\partial u_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒+𝐉\cdot 𝐄& =0\\ \frac{\partial {𝐩}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot \sigma +\rho 𝐄+𝐉\times 𝐁& =0\iff {ϵ}_0{\mu }_0\frac{\partial 𝐒}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\cdot \mathit{\sigma }+𝐟=0\end{array}$,

non energia elektromagnetikoaren dentsitatearen fluxua

$u_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{{ϵ}_0}{2}{E}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{B}^2$

eta momentu elektromagnetikoaren destsitatea

${𝐩}_{\mathrm{e}\mathrm{m}}=\frac{𝐒}{c^2}$

diren.

Eremu eskalarra

Klein-Gordonen ekuazioak asetzen dituen $\varphi$ eremu eskalar konplexu baten energia-momentu tentsorea:

$T^{\mu \nu }=\frac{{\hslash }^2}{m}(g^{\mu \alpha }{g}^{\nu \beta }+g^{\mu \beta }{g}^{\nu \alpha }-g^{\mu \nu }{g}^{\alpha \beta }){\partial }_{\alpha }\overline{\varphi }{\partial }_{\beta }\varphi -g^{\mu \nu }m{c}^2\overline{\varphi }\varphi$

da, eta metrika laua denean, osagaiak honakoak dira:

$\begin{array}{cc}{T}^{00}& =\frac{{\hslash }^2}{m{c}^4}({\partial }_0\overline{\varphi }{\partial }_0\varphi +c^2{\partial }_k\overline{\varphi }{\partial }_k\varphi )+m\overline{\varphi }\varphi ,\\ T^{0i}=T^{i0}& =-\frac{{\hslash }^2}{m{c}^2}({\partial }_0\overline{\varphi }{\partial }_i\varphi +{\partial }_i\overline{\varphi }{\partial }_0\varphi ),\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\\ T^{ij}& =\frac{{\hslash }^2}{m}({\partial }_i\overline{\varphi }{\partial }_j\varphi +{\partial }_j\overline{\varphi }{\partial }_i\varphi )-{\delta }_{ij}(\frac{{\hslash }^2}{m}{\eta }^{\alpha \beta }{\partial }_{\alpha }\overline{\varphi }{\partial }_{\beta }\varphi +m{c}^2\overline{\varphi }\varphi ).\end{array}$