Deribatu kobariante

Matematikan, deribatu kobariantea barietate topologiko bateko bektore tangentzialetan zehar deribatu bat zehazteko modu bat da. Era berean, deribatu kobariantea barietate batean konexioekin lan egiteko bidea da, eragile diferentzialak erabiliz. Dimentsio handiagoko espazio euklidear bateko barietate isometriko baten kasuan, deribatu kobariantea barietatearen espazio tangentzialeko norabide-deribatu euklidearraren proiekzio ortogonala da. Kasu horretan, deribatu euklidearrak bi atal ditu: osagai estrintseko normala eta deribatu kobariante intrintsekoa.

Deribatu kobariante izena fisikan koordenatu-aldaketak duen garrantzitik dator; deribatu kobariantea kobarianteki transformatzen da koordenatu-transformazio orokor batean, hau da, linealki transformatzen da matrize jacobiarraren bidez.

Motibazioa

Deribatu kobariantea kalkulu bektorialeko norabide-deribatuaren orokorpen bat da. Norabide-deribatuarekin bezala, deribatu kobariantea erregela bat da, ${\mathrm{\nabla }}_{𝐮}𝐯$, zeinak hurrengo "input"-ak hartzen dituen: (1) $P$ puntuan definitutako u bektore bat, eta (2) $P$-ren inguruan definitutako v eremu bektorial bat. "Output"-a, berriz, $P$ puntuko ${\mathrm{\nabla }}_{𝐮}𝐯(P)$ bektorea da. Norabide-deribatu ohikoarekiko desberdintasun nagusia ${\mathrm{\nabla }}_{𝐮}𝐯$-k koordenatu sistema batean adierazteko moduarekiko independentea izan behar duela da.

Bektore bat oinarri batekiko zenbaki-zerrenda baten arabera deskribatu daiteke, baina objektu geometriko baten gisan, bektore batek bere identitatea mantentzen du, oinarriren batekiko jartzean bere osagaiak aldatu arren. Bektore bat oinarri batean idatzita egonik, eta oinarria aldatzen bada, bektorearen osagaiak oinarri aldaketaren formularen arabera transformatuko dira eta, identitatea mantentzen duela ikusten da. Transformazio erregela horri transformazio kobariantea deritzo. Deribatu kobariantea koordenatu aldaketen bitartez, oinarri bat transformatzen den bezala transformatzen da; hots, deribatu kobariantea transformazio kobariantearen bidez aldatu behar da.

Espazio euklidear baten kasuan, eremu bektorial baten deribatua gertuko bi puntutako bi deribaturen arteko diferentzia gisa definitzen da. Horrelako sistema batean bektoreetako bat bestearen jatorrira transladatzen da, paraleloki. Koordenatu sistema kartesiar batean "paraleloki" transladatzeak bektorearen osagaiak konstante mantentzea esan nahi du. Espazio euklidearrean horren adibide sinpleena ikus daiteke, deribatu kobariante bat gertuko bi punturen arteko desplazamendu bektorearen norabideko osagaien ohiko norabide-deribatua hartuz lortzen da.

Kasu orokorrean, hala ere, koordenatu sistemaren aldaketa kontuan hartu behar da. Adibidez, deribatu kobariante bera 2-D ko plano euklidearrean koordenatu polarretan idatzita badago, orduan, koordenatu sareak bere burua nola biratzen duen deskribatzeko gai gehigarriak ditu. Beste kasu batzuetan, gai gehigarri horiek koordenatu sarea nola hedatzen, uzkurtzen, korapilatzen, ... diren adierazten dute. Kasu honetan, "paralelo mantentzeak" ez du esan nahi translazioan zehar osagaiak konstante mantenduko direnik.

Kontsideratu plano euklidear bateko kurba batean zeharreko higidura. Koordenatu polarretan, $\gamma$ bere erradioarekiko adierazi daiteke eta koordenatu angeluarrak $\gamma (t)=(r(t),\theta (t))$-ren bidez. $t$ aldiuneko bektore bat (kurbaren azelerazioa esaterako) $({𝐞}_r,{𝐞}_{\theta })$ gaien bidez idatzita dago, non ${𝐞}_r$ eta ${𝐞}_{\theta }$ koordenatu polarren bektore unitario tangenteak diren, eta, zeinak, bektore bat osagai erradial eta tangeteetan deskonposatzeko erabiltzen diren. Denbora tarte txiki baten ostean, koordenatu polarretako oinarri berria hasierakoarekiko apur bat biratuta agertzen da. Oinarriko bektoreen deribatu kobarianteek (Christoffel-en ikurrek) aldaketa hori adierazteko balio dute.

Espazio kurbatu batean, Lurraren gainazala esaterako, translazioa ez dago ondo definituta eta bere analogoa, garraio paraleloa, bektorea translazio bidearen araberakoa da.

Esfera baten ekuatoreko $Q$ puntuko $\mathbf{\text{𝐞}}$ bektore bat iparralderantz zuzenduta dago. Bektorea ekuatorean zehar $P$ punturaino paraleloki garraiatzen dugula suposatuz, ondoren, meridiano batean zehar $N$ poloraino, eta, azkenik, beste meridiano batean zehar $Q$ punturaino. Zirkuitu itxi batean zehar paraleloki garraiatutako bektorea ez da bektore berdina itzuli ostean, beste orientazio batekin itzultzen baita. Hori ez litzateke espazio euklidearrean gertatuko, esferaren gainazalaren kurbaduraren ondorioz gertatzen baita. Efektu berdina ikus daiteke bektorea bi gainazal itxi infinitesimaletan (bi norabidetan zehar eta gero itzuli) zehar eramaten badugu. Bektorearen aldaketa infinitesimala kurbaduraren neurketa bat da.

Garraio paraleloa esfera batean.

Oharrak

• Deribatu kobariantearen definizioak espazioan ez du metrika erabiltzen. Hala ere, metrika bakoitzerako tortsio askeko deribatu kobariante bakarra dago, Levi-Civita konexioa deritzona, zeinetan metrikaren deribatu kobariantea nulua den.
• Deribatuaren propietateen arabera ${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮$ $p$ puntuaren ausazko inguru infinitesimal baten menpekoa da. Era berean, kurba batean zeharreko funtzio eskalar baten $p$ puntuko deribatu kobariantea $p$-ren ausazko inguru infinitesimalaren menpekoa da.
• Deribatu kobarianteko $p$ puntu baten inguruneko informazioa bektore baten garraio paraleloa definitzeko erabili daiteke. Kurbadura, tortsioa eta geodesikoak deribatu kobariantearen bidez defini daitezke baita ere, edo konexio linealaren bestelako bariazio baten bidez.

Definizio formala

Deribatu kobariantea tangente sorta bateko eta beste tentsore sorta batzuetako (Koszul) konexio bat da; funtzioetan diferentzialak eragiten duen modu berean eragiten du deribatu kobarianteak eremu bektorialetan.

Funtzioak

$M$ barietate bateko $p\in M$ puntu bat, barietateko $f:M\to ℝ$ funtzio erreal bat eta $𝐯\in T_{p}M$ bektore tangente bat izanik, $f$-ren $p$ puntuko eta $\mathbf{\text{𝐯}}$-n zeharreko deribatu kobariantea, ${\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f\right)}_p$ definitzen den $p$-ko eskalarra da. Formalki, diferentziagarria den $\varphi :[-1,1]\to M$ kurba bat existitzen da zeinetan $\varphi (0)=p$ eta ${\varphi }^{\prime }(0)=𝐯$ diren. $f$-ren $p$ puntuko deribatu kobariantea hurrengo eran definitzen da,

${\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f\right)}_p=(f\circ \varphi )\left(0\right)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f\left[\varphi \left(t\right)\right]-f\left[p\right]}{t}.$

$𝐯:M\to T_{p}M$ $M$-ko eremu bektoriala denean, ${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f:M\to ℝ$ deribatu kobariantea $f$-ren eremu komuneko edozein $p$ puntu eta $\mathbf{\text{𝐯}}$, eskalarrarekin elkartzen duen funtzioa da, ${\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f\right)}_p$ .

Eremu bektorialak

$M$ barietateko $p$ puntu bat izanik, $𝐮:M\to T_{p}M$ eremu bektorial bat $p$ eta $𝐯\in T_{p}M$ bektore tangente baten inguruan definitua, $\mathbf{\text{𝐯}}$-n zeharreko $\mathbf{\text{𝐮}}$-ren deribatu kobariantea $p$ puntuan $p$-ko bektore tangentea da, $({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮{)}_p$. Hurrengo propietateak betetzen dituzte (edozein $p$-ko $\mathbf{\text{𝐯}}$, $\mathbf{\text{𝐱}}$ eta $\mathbf{\text{𝐲}}$ bektore tangenteetarako, $p$-ren inguruan definitutako $\mathbf{\text{𝐮}}$ eta $\mathbf{\text{𝐰}}$ eremu bektorialetarako, $p$-ko $g$ eta $h$ balio eskalarretarako eta $p$-ren inguruan definitutako $f$ funtzioa eskalarrerako):

1. ${\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮\right)}_p$ lineala da $𝐯$ -n, beraz:

   ${\left({\mathrm{\nabla }}_{g𝐱+h𝐲}𝐮\right)}_p={\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐱}𝐮\right)}_{p}g+{\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐲}𝐮\right)}_{p}h$

2. ${\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮\right)}_p$ batukorra da $𝐮$ -n, hortaz:

   ${\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}[𝐮+𝐰]\right)}_p={\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮\right)}_p+{\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐰\right)}_p$

3. $({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮{)}_p$ biderketaren erregela betetzen du,

   ${\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}\left[f𝐮\right]\right)}_p=f(p){({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮{)}_p+({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f)}_p{𝐮}_p$

Azken propietatearen eraginez ohartu ${\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮\right)}_p$ u-k $p$ puntuan duen balioaren menpekoa izateaz gain, $p$-ren inguru infinitesimalean $\mathbf{\text{𝐮}}$-k duen balioen menpekoa ere badela.

$\mathbf{\text{𝐮}}$ eta $\mathbf{\text{𝐯}}$ eremu arrunteko eremu bektoreak izanik, orduan ${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮$-k eremu bektoriala adierazten du, zeinaren eremuko edozein $p$ puntuko balioa ${\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮\right)}_p$bektore tangentea den.

Eremu kobektorialak

$p$-ren inguruan definitutako $\alpha$ kobektorez osatutako eremu bat izanik, bere deribatu kobariantea $({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}\alpha {)}_p$ tentsore kontrakzioarekin eta biderketaren erregelarekin bateragarria da, hau da, hurrengo identitatea $p$-ren inguruko $\mathbf{\text{𝐮}}$ eremu bektorial guztietarako betetzen da,

${\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}\alpha \right)}_p\left({𝐮}_p\right)={\mathrm{\nabla }}_{𝐯}{\left[\alpha \left(𝐮\right)\right]}_p-{\alpha }_p\left[{\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮\right)}_p\right].$

Eremu kobektorial baten $\mathbf{\text{𝐯}}$ eremu bektorial batean zeharreko deribatu kobariantea eremu kobektorial bat da.

Eremu tentsorialak

Behin deribatu kobariantea eremu bektorial eta kobektorialentzat definituta, edozein eremu tentsorialetarako definitu daiteke ondoko identitateak aplikatuz; $p$ puntuaren inguruko edozein bi eremu tentsorialetarako, $\phi$ eta $\psi$,

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}{(\phi \otimes \psi )}_p={\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}\phi \right)}_p\otimes \psi (p)+\phi (p)\otimes {\left({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}\psi \right)}_p,$

da eta ordena berdineko $\phi$ eta $\psi$-rentzat,

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}(\phi +\psi {)}_p=({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}\phi {)}_p+({\mathrm{\nabla }}_{𝐯}\psi {)}_p.$

Eremu tentsorial baten $\mathbf{\text{𝐯}}$ eremu bektorial batean zeharreko deribatu kobariantea ordena berdineko eremu tentsorial bat da.

Esplizituki, $(p,q)$ ordenako $T$ eremu tentsoriala izanik, kontsideratu $T$ $T^{\ast }M$ sorta kotangenteko ${\alpha }^1,{\alpha }^2,\mathrm{...},{\alpha }^q$ sekzio deribagarriz eta $TM$ sorta tangenteko $X_1,X_2,\mathrm{...},X_p$ sekzioez osatutako funtzio multilineal bat dela. Horrela adierazten da, $T({\alpha }^1,{\alpha }^2,\mathrm{...},X_1,X_2,\mathrm{...})$.

$T$-ren $Y$-n zeharreko deribatu kobariantea,

$\begin{array}{cc}({\mathrm{\nabla }}_{Y}T)({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,X_1,X_2,\dots )=& Y\left(T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,X_1,X_2,\dots )\right)\\ & -T({\mathrm{\nabla }}_Y{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,X_1,X_2,\dots )-T({\alpha }_1,{\mathrm{\nabla }}_Y{\alpha }_2,\dots ,X_1,X_2,\dots )-\cdots \\ & -T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\mathrm{\nabla }}_Y{X}_1,X_2,\dots )-T({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,X_1,{\mathrm{\nabla }}_Y{X}_2,\dots )-\cdots \end{array}$

Koordenatuen deskribapena

Hurrengo funtzioen koordenatuak izanik,

$x^i,i=0,1,2,\dots ,$

edozein bektore tangente

${𝐞}_i=\frac{\partial }{\partial x^i}$

oinarriko osagaien bidez deskribatu daiteke.

Oinarriko bektore baten oinarriko bektore batean zeharreko deribatu kobariantea bektore bat da, hortaz, ${\Gamma }^k{𝐞}_k$ konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke. Deribatu kobariantea zehazteko nahikoa da ${𝐞}_j$-n zeharreko ${𝐞}_i$ eremu bektorialen oinarrien deribatu kobariante denak zehaztea.

${\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_j}{𝐞}_i={{\Gamma }^k}_{ij}{𝐞}_k,$

non ${\Gamma }_{ij}^k$ koefizienteak koordenatu lokalen sistema batekiko adierazitako konexioaren osagaiak diren. Barietate riemanndar-en eta sasiriemanndar-en teorietan, koordenatu lokalen sistema batekiko adierazitako Levi-Civita konexioaren osagaiei Christoffel-en ikurrak deritze.

Orduan, definizioko erregelak aplikatuz, $𝐯=v^j{𝐞}_j$ eta $𝐮=u^i{𝐞}_i$ eremu bektorial orokorretarako,

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮& ={\mathrm{\nabla }}_{v^j{𝐞}_j}{u}^i{𝐞}_i\\ & =v^j{\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_j}{u}^i{𝐞}_i\\ & =v^j{u}^i{\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_j}{𝐞}_i+v^j{𝐞}_i{\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_j}{u}^i\\ & =v^j{u}^i{{\Gamma }^k}_{ij}{𝐞}_k+v^j\frac{\partial u^i}{\partial x^j}{𝐞}_i\end{array}$

da, beraz,

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}𝐮=(v^j{u}^i{{\Gamma }^k}_{ij}+v^j\frac{\partial u^k}{\partial x^j}){𝐞}_k.$

Formula horretako lehenengo terminoak koordenatu sistema deribatu kobariantearekiko "biratzen" du eta bigarrenak $\mathbf{\text{𝐮}}$ eremu bektorialaren osagaien aldaketak eragiten ditu. Bereziki,

${\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_j}𝐮={\mathrm{\nabla }}_j𝐮=(\frac{\partial u^i}{\partial x^j}+u^k{{\Gamma }^i}_{kj}){𝐞}_i$

da. Deribatu kobariantea koordenatuetan zeharreko ohiko deribatua da. Zuzentze terminoak ditu koordenatuak nola aldatzen diren jakiteko.

Kobektoreentzat, modu berean,

${\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_j}𝜽=(\frac{\partial {\theta }_i}{\partial x^j}-{\theta }_k{{\Gamma }^k}_{ij}){{𝐞}^{\ast }}^i$

da non ${{𝐞}^{\ast }}^i({𝐞}_j)={{\delta }^i}_j$ den.

$(r,s)$ motako eremu tentsorial baten $e_c$-n zeharreko deribatu kobariantea, hurrengo eran adierazten da,

$\begin{array}{cc}{({\mathrm{\nabla }}_{e_c}T{)}^{a_1\dots a_r}}_{b_1\dots b_s}=& \frac{\partial }{\partial x^c}{T^{a_1\dots a_r}}_{b_1\dots b_s}\\ & +{{\Gamma }^{a_1}}_{dc}{T^{d{a}_2\dots a_r}}_{b_1\dots b_s}+\cdots +{{\Gamma }^{a_r}}_{dc}{T^{a_1\dots a_{r-1}d}}_{b_1\dots b_s}\\ & -{{\Gamma }^d}_{b_{1}c}{T^{a_1\dots a_r}}_{d{b}_2\dots b_s}-\cdots -{{\Gamma }^d}_{b_{s}c}{T^{a_1\dots a_r}}_{b_1\dots b_{s-1}d}.\end{array}$

Tentsorearen deribatu partzialeko $a_i$ goi-indize bakoitzeko $+{{\Gamma }^{a_i}}_{dc}$ gehitu eta $b_i$ behe-indize bakoitzeko $-{{\Gamma }^d}_{b_{i}c}$ gehitu.

Tentsore baten ordez tentsore erlatibo (pisua, $+1$) bat deribatu nahi bada, orduan $-{{\Gamma }^d}_{dc}{T^{a_1\dots a_r}}_{b_1\dots b_s}.$ terminoa gehitu behar zaio.

$W$ pisuko tentsore erlatibo bat bada, orduan biderkatu termino hori $W$-rekin. Adibidez, $\sqrt{-g}$ dentsitate eskalar bat da ($+1$ pisukoa), orduan,

${\left(\sqrt{-g}\right)}_{;c}={\left(\sqrt{-g}\right)}_{,c}-\sqrt{-g}{{\Gamma }^d}_{dc}$

non ";"-ak deribazio kobariantea adierazten duen eta ","-k deribazio partziala. Gainera, ohartu adierazpen hori nulua dela, metrikarekiko soilik menpekoa den funtzio baten deribatu kobariantea nulua baita beti.

Notazioa

Sarritan, deribatu kobariantea puntu eta koma bidez adierazten da eta deribatu partzial arrunta koma bidez. Notazio honen arabera,

${\mathrm{\nabla }}_{e_j}𝐯\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{v^s}_{;j}{𝐞}_s{v^i}_{;j}={v^i}_{,j}+v^k{{\Gamma }^i}_{kj}$

Puntu eta komaren ondoren indize bi edo geihago egonez gero, denak deribatu kobariante kontsideratu behar dira.

${\mathrm{\nabla }}_{e_k}\left({\mathrm{\nabla }}_{e_j}𝐯\right)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{v^s}_{;kj}{𝐞}_s$

Testu zaharren kasuan, berriz, (Adler, Bazin & Schiffer, Introduction to General Relativity), deribatu kobariantea "||" bidez adierazten da eta deribatu partziala "|" marratxo bertikal baten bidez,

${\mathrm{\nabla }}_{e_j}𝐯\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}{v^i}_{||j}={v^i}_{|j}+v^k{{\Gamma }^i}_{kj}$

Deribatu kobariantea eremu desberdinetarako

$\varphi$ eremu eskalar baten kasuan, deribatu kobariantea deribatu partzial bat da,

${\varphi }_{;a}\equiv {\partial }_a\varphi$

${\lambda }^a$ eremu bektorial kontrabariante baten kasuan,

${{\lambda }^a}_{;b}\equiv {\partial }_b{\lambda }^a+{{\Gamma }^a}_{bc}{\lambda }^c$

${\lambda }_a$ eremu bektorial kobariante baten kasuan,

${\lambda }_{a;c}\equiv {\partial }_c{\lambda }_a-{{\Gamma }^b}_{ca}{\lambda }_b$

${\tau }^{ab}$ $(2,0)$motako eremu tentsorial baten kasuan,

${{\tau }^{ab}}_{;c}\equiv {\partial }_c{\tau }^{ab}+{{\Gamma }^a}_{cd}{\tau }^{db}+{{\Gamma }^b}_{cd}{\tau }^{ad}$

${\tau }_{ab}$$(0,2)$ motako eremu tentsorial baten kasuan,

${\tau }_{ab;c}\equiv {\partial }_c{\tau }_{ab}-{{\Gamma }^d}_{ca}{\tau }_{db}-{{\Gamma }^d}_{cb}{\tau }_{ad}$

${{\tau }^a}_b$$(1,1)$ motako eremu tentsorial baten kasuan,

${{\tau }^a}_{b;c}\equiv {\partial }_c{{\tau }^a}_b+{{\Gamma }^a}_{cd}{{\tau }^d}_b-{{\Gamma }^d}_{cb}{{\tau }^a}_d$

Notazio horrekin honakoa esan nahi da,

${{\tau }^{ab}}_{;c}\equiv {\left({\mathrm{\nabla }}_{{𝐞}_c}\tau \right)}^{ab}$

Propietateak

Oro har, deribatu kobarianteak ez dira trukakorrak; esaterako, ${\lambda }_{a;bc}\ne {\lambda }_{a;cb}$eremu bektorialaren deribatu kobarianteak. Riemann-en tentsorea ${R^d}_{abc}$honako modura definitzen da,

${\lambda }_{a;bc}-{\lambda }_{a;cb}={R^d}_{abc}{\lambda }_d$

edo, era berean,

${{\lambda }^a}_{;bc}-{{\lambda }^a}_{;cb}=-{R^a}_{dbc}{\lambda }^d$

$(2,1)$ motako eremu tentsorialaren deribatu kobarianteak honakoa betetzen du,

${{\tau }^{ab}}_{;cd}-{{\tau }^{ab}}_{;dc}=-{R^a}_{ecd}{\tau }^{eb}-{R^b}_{ecd}{\tau }^{ae}$

Hori erraz froga daiteke ${\tau }^{ab}={\lambda }^a{\mu }^b$ berdintza onartzen bada.

Deribatu kobariantea erabiltzen duten zenbait ekuazio

Deribatu kobariantea fisikako hainbat alorretan (kosmologia, elektromagnetismoa...) erabilgarria suertatzen da. Horregatik, hainbat ekuaziotan erabiltzen da.

• Gauge teorian

• Bigarren mailako Christoffelen ikurrak (edo konexio-koefizienteak):

${\Gamma }_{\mu \nu }^{\lambda }=\frac{1}{2}{g}^{\lambda \rho }(g_{\rho \nu ,\mu }+g_{\rho \mu ,\nu }-g_{\mu \nu ,\rho })$

• Maxwell-en ekuazioak:

$F_{\mu \nu ,\lambda }+F_{\nu \lambda ,\mu }+F_{\lambda \mu ,\nu }=0$

${F^{\mu \nu }}_{;\nu }=\frac{4\pi }{c}{J}^{\mu }$

• Bianchi-ren identitateak

$R_{\mu \nu \rho \sigma ;\lambda }+R_{\mu \nu \lambda \rho ;\sigma }+R_{\mu \nu \sigma \lambda ;\rho }=0$

Deribatua kurba batean zehar

$p$ puntuko $T$ eremu tentsorialaren ${\mathrm{\nabla }}_{X}T$ deribatu kobariantea soilik $p$ puntuan $X$ eremu bektorialaren balioaren menpekoa denez, barietate bateko $\gamma (t)$ kurba deribagarri batean zeharreko deribatu kobariantea definitu daiteke:

$D_{t}T={\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}T.$

Ohartu $T$ eremu tentsorialak soilik $\gamma (t)$ kurban zehar egon behar duela definituta, definizio horrek zentzua izateko.

Bereziki, $\dot{\gamma }(t)$ $\gamma$ kurban zeharreko eremu bektoriala da. ${\mathrm{\nabla }}_{\dot{\gamma }(t)}\dot{\gamma }(t)$ nulua bada orduan kurbari deribatu kobarianteko geodesikoa deritzo. Geodesikoak espazio kurbatu batean "marraztea" posible diren "lerro zuzenenak" dira.

Deribatu kobariantea positiboki definitutako metrika baten Levi-Civita konexioa bada, orduan, konexioaren geodesikoak arkuaren luzerarekin parametrizatutako metrikaren geodesikoen berdinak dira.

Kurba batean zeharreko deribatu kobariantea kurba batean zeharreko garraio paraleloa definitzeko ere erabiltzen da.

Batzuetan, kurba batean zeharreko deribatu kobarianteari deribatu absolutu edo intrintseko deritzo.