Zerrenda:Integralak-en iturria ikusi

[[Integral|Integrazioa]] [[integral|kalkulu integralaren]] oinarrizko bi eragiketako bat da. [[deribatu|Deribazioak]] arau errazak dituen bitartean [[funtzio (argipena)|funtzio]] konplexu bat aurkitzeko hura osatzen duten funtzio bakunen diferentziazioa egiten, integrazioak ez, horregatik oso baliagarriak dira ezagututako integralen taulak. Orrialde honek [[Jatorrizko funtzio|jatorrizko]] ezagunenak zerrendatzen ditu.

== Integralen zerrenden historia-bilakaera ==
Integralen zerrenda baten bilduma (Integraltafeln) eta kalkulu integralaren teknikak [[Meyer Hirsch]] Alemaniako matematikariak argitaratu zituen 1810ean. Taula horiek berrargitaratu zituzten Erresuma Batuan 1823an. 1858an, [[David de Bierens de Haan]] Herbehereetako matematikariak taula luzeagoak bildu zituen. Edizio berri bat 1862an argitaratu zuten. Taula horiek, zeinetan nagusiki oinarrizko funtzioen integralak dauden, 20. mendearen erdira arte jarraitu zituzten erabiltzen. Gero, taula horien ordez ''Gradshteyn''en eta ''Ryzhik''en taula handiagoak erabiltzen hasi ziren. ''Gradshteyn''en eta ''Ryzhik''en tauletan ''Bierens''en liburutik hartutako integralak BI letrekin adierazten dituzte.

== Integralen zerrenda ==

''K'' erabiltzen da [[integrazio-konstante]] gisa. Konstante hori zehaztu daiteke soilik integralaren balioa ezaguna baldin bada puntu batean. Horrela, funtzio bakoitzak [[Jatorrizko funtzio|jatorrizkoen]] kopuru infinitua dauka.

=== Funtzio arrazionalak ===

:<math>\int \,dx = x + K</math>
:<math>\int x^n\,dx =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + K\qquad\mbox{ baldin }n \ne -1\mbox{ bada }</math>
:<math>\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + K</math>
:<math>\int {dx \over {a^2+b^2x^2}} = {1 \over ab}\arctan {bx \over a} + K</math>

=== Funtzio irrazionalak ===

:<math>\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + K</math>
:<math>\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + K</math>
:<math>\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + K</math>

=== Funtzio logaritmikoak ===

:<math>\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + K</math>
:<math>\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + K</math>

=== Funtzio esponentzialak ===

:<math>\int e^x\,dx = e^x + K</math>
:<math>\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + K</math>

=== Funtzio trigonometrikoak ===

:<math>\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + K</math>
:<math>\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + K</math>
:<math>\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + K = \ln{\left| \sec{x} \right|} + K</math>
:<math>\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + K</math>
:<math>\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + K</math>
:<math>\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + K</math>
:<math>\int \sec^2 x \, dx = \tan x + K</math>
:<math>\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + K</math>
:<math>\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + K</math>
:<math>\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = -\csc{x} + K</math>
:<math>\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2} \right) + K = \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x ) + K </math>
:<math>\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2} \right) + K = \frac{1}{2}(x + \sin x\cos x ) + K </math>
:<math>\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + K</math>
:: (ikusi [[sekantearen kuboaren integral]]a)
:<math>\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx</math> 
:<math>\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx</math>

=== Alderantzizko funtzio trigonometrikoak ===


:<math>\int \arcsin{x} \, dx = x \, \arcsin{x} + \sqrt{1 - x^2} + K</math>

:<math>\int \arccos{x} \, dx = x \, \arccos{x} - \sqrt{1 - x^2} + K</math>

:<math>\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + K</math>

:<math>\int \arccot{x} \, dx = x \, \arccot{x} + \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + K</math>

:<math>\int \arcsec{x} \, dx = x \, \arcsec{x} - \operatorname{artanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + K</math>

:<math>\int \arccsc{x} \, dx = x \, \arccsc{x} + \operatorname{artanh}\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}} + K</math>

=== Funtzio hiperbolikoak ===

:<math>\int \sinh x \, dx = \cosh x + K</math>
:<math>\int \cosh x \, dx = \sinh x + K</math>
:<math>\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + K</math>
:<math>\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + K</math>
:<math>\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arcsin\,(\tanh x) + K</math>
:<math>\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + K</math>

=== Alderantzizko funtzio hiperbolikoak ===


: <math>\int \operatorname{arsinh} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{arsinh} \, x-\sqrt{x^2+1}+K</math>

: <math>\int \operatorname{arcosh} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{arcosh} \, x-\sqrt{x+1} \, \sqrt{x-1}+K</math>

: <math>\int \operatorname{artanh} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{artanh} \, x+\frac{\ln\left(1-x^2\right)}{2}+K</math>

: <math>\int \operatorname{arcoth} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{arcoth} \, x+\frac{\ln\left(1-x^2\right)}{2}+K</math>

: <math>\int \operatorname{arsech} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{arsech} \, x-2 \, \arctan\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+K</math>

: <math>\int \operatorname{arcsch} \, x \, dx=
    x \, \operatorname{arcsch} \, x+\operatorname{artanh}\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+K</math>

Xehetasun gehiagorako ondorengo orrietara jo:

* [[Funtzio arrazionalen integralen zerrenda]]
* [[Funtzio irrazionalen integralen zerrenda]]
* [[Funtzio logaritmikoen integralen zerrenda]]
* [[Funtzio esponentzialen integralen zerrenda]]
* [[Funtzio trigonometrikoen integralen zerrenda]]
* [[Alderantzizko funtzio trigonometrikoen integralen zerrenda]]
* [[Funtzio hiperbolikoen integralen zerrenda]]
* [[Alderantzizko funtzio hiperbolikoen integralen zerrenda]]

== Jatorrizko itxia ez duten integral mugatuak ==

Badaude zenbait funtzio zeinen [[Jatorrizko funtzio|jatorrizkoak]] ''ezin diren'' adierazi forma itxian, hau da, ezin dira adierazi funtzio arrazional, irrazional, esponentzial, logaritmiko, trigonometriko edo alderantzizko funtzio trigonometrikoen konposizio, batuketa edo biderketa gisa. Ostera, zenbait tarte komunetan, funtzio horien integral mugatuen balioak era sinbolikoan kalkula daitezke eta balio zehatza ere lortu. Kasu horietan, baliabidetariko batzuk hauek ditugu:

:<math>\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> (ikusi [[Gamma funtzio]]a ere)

:<math>\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi</math> ([[Gaussen integral|''Gauss''en integrala]])

:<math>\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6}</math> (ikusi [[Bernoulliren zenbaki|''Bernoulli''ren zenbakia]] ere)

:<math>\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}</math>

:<math>\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>

:<math>\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot n}\frac{\pi}{2}</math> (baldin ''n'' bikoiti osoa eta <math>  \scriptstyle{n \ge 2}</math> bada) 

:<math>\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot n}</math> (baldin <math> \scriptstyle{n} </math> bakoiti osoa eta <math>  \scriptstyle{n \ge 3} </math> bada)

:<math>\int_0^\infty\frac{\sin^2{x}}{x^2}\,dx=\frac{\pi}{2}</math>

:<math>\int_0^\infty  x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z)</math> (non <math>\Gamma(z)</math> [[Gamma funtzio]]a den)

:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right]</math> (non <math>\exp[u]</math> <math>e^u</math> [[funtzio esponentzial]]a den, eta <math>a>0</math>)

:<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)</math> (non <math>I_{0}(x)</math> lehen klaseko [[Besselen funtzio|''Bessel''en funtzio]] aldatua den)

:<math>\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left(\sqrt{x^2 + y^2}\right) </math>

:<math>\int_{-\infty}^{\infty}{(1 + x^2/\nu)^{-(\nu + 1)/2}dx} = \frac { \sqrt{\nu \pi} \ \Gamma(\nu/2)} {\Gamma((\nu + 1)/2))}\,</math>, <math>\nu > 0\,</math>, integral hau [[Studenten t banaketa|''Student''en t banaketaren]] [[probabilitatearen dentsitate-funtzio]]ari lotuta dago)

[[Exhauzio-metodo]]ak formula bat ematen du kasu orokorrerako [[Jatorrizko funtzio|jatorrizkorik]] ez dagoenean: 

:<math>\int_a^b{f(x)\,dx} = (b - a) \sum\limits_{n = 1}^\infty  {\sum\limits_{m = 1}^{2^n  - 1} {\left( { - 1} \right)^{m + 1} } } 2^{ - n} f(a + m\left( {b - a} \right)2^{-n} )</math>

: <math>
\int_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm{d}x =
 \int_0^1 \left(\frac{a}{b}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm{d}x =
 \int_0^1 a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm{d}x =
 \frac{a-b}{\ln a - \ln b}</math>, non <math>a > 0,\ b > 0,\ a \ne b</math> diren, [[batez besteko logaritmiko]]a dena

:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}</math>

:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)</math> (''Gauss''en integrala)

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)</math>

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{2bx}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0)</math>

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,\mathrm{d}x=b \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)</math>

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)</math>

:<math>\int_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x = 
\begin{cases}
       \frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)/a^{\frac{n+1}{2}} & (n>-1,a>0) \\
       \frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\frac{\pi}{a}} & (n=2k, k \;\text{zenbaki osoa}, a>0) \\
       \frac{k!}{2a^{k+1}} & (n=2k+1,k \;\text{zenbaki osoa}, a>0)
\end{cases} </math> (!! [[Faktorial|Faktorial bikoitza]] da)

:<math>\int_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x = 
\begin{cases}
       \frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,a>0) \\
       \frac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,a>0) \\
\end{cases}</math>

:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)</math>

:<math>\int_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)</math>

:<math>\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)</math>

:<math>\int_{0}^{\infty} xe^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)</math>


=== "[[Sophomoreren ametsa|''Sophomore''ren ametsa]]" ===
:<math>\begin{align}
\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n}        &&(= 1.291285997\dots)\\
\int_0^1 x^x   \,dx &= \sum_{n=1}^\infty -(-1)^nn^{-n} &&(= 0.783430510712\dots)
\end{align}</math>

[[Johann Bernoulli]] da ustezko egilea.

== Biblografia ==
* [[Milton Abramowitz|M. Abramowitz]] eta [[Irene Stegun|I.A. Stegun]], argitaratzaileak. ''[[Abramowitz eta Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]]''.

* I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжик); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, argitaratzaileak. ''Table of Integrals, Series, and Products'', zazpigarren edizioa. Academic Press, 2007. {{ISBN|978-0-12-373637-6}}. [http://www.mathtable.com/gr Akatsa.] ''(Aurreko edizio asko ondo daude.)''

* A.P. Prudnikov (А.П. Прудников), Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), O.I. Marichev (О.И. Маричев). ''Integrals and Series''. Lehenengo edizioa (errusieraz), 1–5 liburukiak, [[Nauka]], 1981−1986. Lehenengo edizioa (ingelesez, N.M. Queen-ek errusieratik itzulita), 1–5 liburukiak, Gordon & Breach Science Publishers/[[CRC Press]], 1988–1992, {{ISBN|2-88124-097-6}}. Bigarren edizio berrikusia (errusieraz), 1–3 liburukiak, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2003.

* Yu.A. Brychkov (Ю.А. Брычков), ''Handbook of Special Functions: Derivatives, Integrals, Series and Other Formulas''. Errusierazko edizioa, Fiziko-Matematicheskaya Literatura, 2006. Ingelesezko edizioa, Chapman & Hall/CRC Press, 2008, {{ISBN|1-58488-956-X}}.

* Daniel Zwillinger. ''CRC Standard Mathematical Tables and Formulae'', 31. edizioa. Chapman & Hall/CRC Press, 2002. {{ISBN|1-58488-291-3}}. ''(Aurreko edizio asko ondo daude.)''

=== Historikoak ===
* Meyer Hirsch, [http://books.google.com/books?id=Cdg2AAAAMAAJ Integraltafeln, oder, Sammlung von Integralformeln] (Duncker und Humblot, Berlin, 1810)
* Meyer Hirsch, [http://books.google.com/books?id=NsI2AAAAMAAJ Integral Tables, Or, A Collection of Integral Formulae] (Baynes and son, London, 1823) [''Integraltafeln''-en ingelesezko itzulpena] 
* David Bierens de Haan, [http://www.archive.org/details/nouvetaintegral00haanrich Nouvelles Tables d'Intégrales définies] (Engels, Leiden, 1862) 
* Benjamin O. Pierce [http://books.google.com/books?id=pYMRAAAAYAAJ A short table of integrals - edizio berrikusia] (Ginn & co., Boston, 1899)

== Kanpo loturak ==

=== Integralen taulak ===
* [http://www.sosmath.com/tables/tables.html S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas] ''(kontuz: Elkarriketa mezu (popunder) asko atera ahal ditu ''
* [http://tutorial.math.lamar.edu/pdf/Common_Derivatives_Integrals.pdf Paul's Online Math Notes]
* A. Dieckmann, Table of Integrals (Elliptic Functions, Square Roots, Inverse Tangents and More Exotic Functions): [http://pi.physik.uni-bonn.de/~dieckman/IntegralsIndefinite/IndefInt.html Integral mugagabeak] [http://pi.physik.uni-bonn.de/~dieckman/IntegralsDefinite/DefInt.html Integral mugatuak]
* O'Brien, Francis J. Jr. [http://www.docstoc.com/docs/3507375/500-Integrals-of-Elementary-and-Special-Functions''500 Integral''] 
* [http://www.apmaths.uwo.ca/RuleBasedMathematics/index.html Arauetan oinarritutako matematika] 
* [http://www.math.tulane.edu/~vhm/Table.html V. H. Moll, The Integrals in Gradshteyn and Ryzhik]

=== Baliabideak Online ===

* [http://www.wolframalpha.com/examples/Integrals.html Wolfram Alpha-ren integrazio adibideak]
* [http://www.quickmath.com/ mathquick Kalkulagailua]

=== Open source programak ===

* [http://wxmaxima.sourceforge.net/wiki/index.php/Main_Page wxmaxima gui for Symbolic and numeric resolution of many mathematical problems]

[[Kategoria:Kalkulu integrala]]
[[Kategoria:Zientziak zerrendak]]
[[Kategoria:Tresna zientifiko historikoak]]