Eraztun (matematika)

Txantiloi:Argitzeko Aljebra abstraktuan $(A,+,\cdot )$ eraztuna da $A$multzorako $+$(gehiketa) eragiketak elkartze eta trukatze propietatea eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen, eta $\cdot$(biderketa edo produktua) elkartze propietatea eta banatze propietateak betetzen dituen egitura aljebraikoa.

Definizioa:

$(A,+,\cdot )$Eraztuna da baldin:

• $+$eragiketa $A$-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(a+b)+c=a+(b+c)$
• $+$Propietate trukakorra betetzen du, hau da: $\mathrm{\forall }a,b\in A:a+b=b+a$
• Existitzen da $0_A\in A$non $\mathrm{\forall }a\in A:a+0_A=a$. $0_A$$+$eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
• $A$-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa (simetrikoa), hau da: $\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }{a}^{\prime }\in A:a+a^{\prime }=0_A$
• $\cdot$eragiketa $A$-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• $\cdot$eragiketa banatze propietatea betetzen du, hau da: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Eraztunak definitzeko era sinpleagoa existitzen da:

$(A,+,\cdot )$Eraztuna da baldin:

• $(A,+)$ talde abeldarra da.
• $\cdot$eragiketa $A$-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• $\cdot$eragiketa banatze propietatea betetzen du, hau da: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Adibideak:

$(\mathbb{Z},+,\cdot )$Eraztuna da, gehiketa eta biderketarekin:

$(i)$$(\mathbb{Z},+)$ Talde abeldarra da.

$(ii)$Biderketa propietate elkarkorra betetzen du.

$(iii)$Biderketa propietate banakorra betetzen du.

Beraz $(\mathbb{Z},+,\cdot )$eraztuna da.

$(\mathbb{N},+,\cdot )$ez da eraztuna $(\mathbb{N},+)$ez delako talde abeldarra.

Eraztunak: $(\mathbb{Z},+,\cdot ),(\mathbb{Q},+,\cdot ),(ℝ,+,\cdot ),(ℂ,+,\cdot )$

Eraztun tribialak:

Eraztun mota berezi bat existitzen da, eraztun tribiala deiturikoa, non multzoaren elementu bakarra elementu neutroa den (elementu bakarreko multzoa):

$(\{0\},+,\cdot )$Eraztun bat da, $0$elementu bakarra duen multzoarekin.

• $\mathrm{\forall }a,b,c\in \{0\},a=b=c=0:(0+0)+0=0+(0+0)$gehiketak elkartze propietatea betetzen du.
• $\mathrm{\forall }a,b\in \{0\},a=b=0:0+0=0+0$gehiketak trukatze propietatea betetzen du.
• Elementu neutroa existitzen da, $0$non $\mathrm{\forall }a\in \{0\},a=0:0+0=0$
• $0$elementuaren alderantzizkoa $0$bera da.
• $\mathrm{\forall }a,b,c\in A,a=b=c=0:(0\cdot 0)\cdot 0=0\cdot (0\cdot 0)$biderketak elkartze propietatea betetzen du.
• $\mathrm{\forall }a,b,c\in A,a=b=c=0:(0+0)\cdot 0=0\cdot 0+0\cdot 0$biderketak banatze propietatea betetzen du.

Beraz$(\{0\},+,\cdot )$eraztuna da, gainera tribiala elementu bakarreko multzoa eratzen duelako.