Talde abeldar

Aljebra abstraktuan $(A,⊛)$ talde abeldarra da $A$multzorako $⊛$eragiketa elkartze eta trukatze propietateak eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen egitura aljebraikoa.

Definizioa

$A\ne \mathrm{\varnothing }$ multzoa eta $⊛$eragiketa (aplikazioa edo funtzioa) talde bat eratzen dute propietate hauek betetzen dituenean:

• $⊛$eragiketa $A$-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(a⊛b)⊛c=a⊛(b⊛c)$
• $⊛$Propietate trukakorra betetzen du, hau da: $\mathrm{\forall }a,b\in A:a⊛b=b⊛a$
• Existitzen da $e\in A$non $\mathrm{\forall }a\in A:a⊛e=a=e⊛a$. $e$$⊛$eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
• $A$-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa (simetrikoa), hau da: $\mathrm{\forall }a\in A,\mathrm{\exists }{a}^{\prime }\in A:a⊛a^{\prime }=e=a^{\prime }⊛a$

Lau propietate hauek betetzen dituzten multzoa eta eragiketa (edo aplikazio) talde abeldar bat eratzen dute.

Adibideak

$(\mathbb{Z},+)$taldea da, gainera talde abeldarra da ere trukatze propietatea betetzen delako.

Hartu $A=\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$(zenbaki arruntak) eta $⊛=+$(batuketa):

$(i)$$\mathrm{\forall }a,b,c\in \mathbb{N}:(a+b)+c=a+(b+c)$

$(ii)$$\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{N}:a⊛b=b⊛a$

$(ii)$Batuketarekiko elementu neutroa, $0$ ez dago multzo barruan.

Batuketarekiko elementu neutroa ez denez existitzen multzo barruan, orduan $(\mathbb{N},+)$ez da taldea beraz ez da talde abeldarra.

Adibide gehiago $+$ (gehiketa) eta $\cdot$(biderketarekin):

Talde abeldarrak: $(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(ℝ,+),({ℝ}^{𝕟},+),(M_n(ℝ),+),(M_{mxn}(ℝ),+),(ℂ,+),({ℂ}^{𝕟},+),(M_n(ℂ),+),(M_{mxn}(ℂ),+)$

Ez-taldeak: $(\mathbb{Z},\cdot ),(\mathbb{Q},\cdot ),(ℝ,\cdot ),({ℝ}^{𝕟},\cdot ),(M_n(ℝ),\cdot ),(M_{mxn}(ℝ),\cdot ),(ℂ,\cdot ),({ℂ}^{𝕟},\cdot ),(M_n(ℂ),\cdot ),(M_{mxn}(ℂ),\cdot )$Zenbaki multzo gehienak ez dira biderkaketarekiko taldeak $0$-ren alderantzizkorik ez delako existitzen, hau da, $\nexists a^{-1}\in A:0\cdot a^{-1}=1$.