Uhin fardel

Urdinez, uhin fardela. Gorriz, talde abiaduran mugitzen den uhin fardelaren bildura.

Fisikan, uhin fardelak, une konkretu batean espazio edo material baten puntu batean aplikatutako kitzikapen baten ondorioz hedatzen den perturbazio taldeari deritzo. Fourier-en analisia erabiliz, edozein funtzio perturbazio profila autofuntzio sinusoidalen menpe adierazi ahal daiteke, bakoitza amplitude eta  uhin zenbaki desberdinekin. Autofuntzio kopurua infinitua da. Hemendik ondoriozta dezakegu fardelak uhin ekuazioaren soluzioak izango direla.

Uhin ekuazioaren arabera, perturbazio honen profila konstantea gera daiteke denboran zehar (uhin fardel ez-dispertsiboak) edo alda daiteke (uhin fardel dispertsiboak).

Uhin fardelen kasu garrantzitsuenetarikoa hauxe da; mekanika kuantikoan partikula baten egoera deskribatzeko ematen den probabilitate dentsitateak uhin fardelen amplitudeen karratua izanez. Schrödinger-en ekuazioaren izaera dispertsiboa Copenhague-ren interpretazioarekin batera Heisenberg-en indeterminazio pritzipioa iradokitzen dute.

Hastapen historikoak

XX. mendearen hasieran argi ikusten zen fisika klasikoaren porrota egiten duela eskala atomiko eta subatomikoetan. Isaac Newtonek proposatu zuen bezala (argiarekin), mekanika kuantikoaren oinarri bezala erradiazio elektromagnetikoaren energiaren diskretizazioa planteatu zuen Max Planckek. Sorta bakoitza $E=nh\nu$ energia izanez, non $h$ Planck-en konstantea, $\nu$ uhin elektromagnetikoaren maiztazuna eta $n$ edozein zenbaki natural diren. Planck-en konstanetaren balioa hain txikia izateak, mundu makroskopikoan energia jarraitua irduitzearen arrazoia da.

Ideia hau oinarriz hartuta, zenbait fenomeno atomiko eta subatomiko azaldu ziren mekanika kuantiko zaharra deituriko marko teorikoan. Berehala agerian agertu ziren azaldu ezin ziren fenomenoak; Schrodinger-en uhin ekuazioan oinarritutako mekanika kuantikoa garatu egin zen, non edozein partikularen egoera espazioan deskribatzeko probabilitate uhinak erabiltzen diren.

Talde abiadura eta fase abiadura

Uhin multzoaren abiadurari talde abiadura deitzen zaio, eta honela deskribatzen da:

Lauki gorria fase abiadurarekin mugitzen da, eta zirkulu berdeak taldeko abiadurarekin mugitzen dira. Kasu honetan, faseko abiadura taldeko abiaduraren bikoitza da. Lauki gorriak bi zirkulu berde hartzen ditu irudiaren ezkerretik eskuineraino mugitzean.

$v_t=\frac{d\omega }{dk}=\frac{\hslash k}{m}$

Talde moduan, multzoaren abiadura uhin bakoitzaren fase abiaduraren bikoitza da. Mugitu egiten den ”multzoa” ematen du, baina ez dago hain lokalizatuta. Adierazpen hau zehatza da momentu jakin bat duen uhin bat kontuan hartzen dugunean.

Fase abiadura, uhinaren fasea zein azkar mugitzen den adierazten duen abiadura da, eta horrela definitzen da:

$v_f=\frac{\omega }{k}$

Abiadura honek, partikula bat uhin bakar batekin fasean mugitzerakoan izango lukeen abiadura adierazten du.

Definizio formala eta konportamoldeak

Uhin fardela uhin funtzio mota bat da, posizio eta momentu zehatz bat duena. Horrela, uhin-fardelek jokabide klasikoa dutela eta erraz ikusten da. Jakina, ez momentua ezta posizioa ere ez dira zehazki definitzen, ziurgabetasun-printzipioak agintzen duen bezala.

Ziurgabetasun printzipioaren aplikazio klasiko bat uhin-fardelak ulertzean datza. Posizioa oso zehaztua duen uhin-fardel batek ez du momentu jakin bat izango, eta, horrela, azkar sakabanatuko da, osagai azkarragoak geldoen aurretik joan ahala. Alderantziz, uhin-fardela momentu zehatzaz eraikitzen bada, distantzia luzea egingo du sakabanatu gabe, baina zabal-zabala da jada espazio posiblean.

Ez- Dispertsiboak

Fisika klasikoko uhin ekuazioa betetzen duen edozein pertubazio, ez-dispertsiboa izango da:

$\frac{\partial u^2}{\partial t^2}=v^2\cdot {\mathrm{\nabla }}^{2}u$

non $v$, uhinen propagazio abiadura den. Aldagai bereizketa erabiliz hurrengo soluzioa aurki daiteke; $u(x,y,z,t)=A{e}^{i(𝐤\cdot 𝐱-\omega t)}$ non $𝐱=(x,y,z)$ posizio bektorea den, eta $𝐤=(k_x,k_y,k_z)$ uhin bektorea den. Uhin hauetan, eta ondorioz uhin fardeletan, honako erlazioa betetzen duet uhin zenbakiak eta abidura angeluarrak: ${\omega }^2=|k{|}^2{v}^2$. Erlazio honi, dispertsio erlazioa deritzo. Kontsideratu dimentsio bakarreko honako soluzioa;  $u(x,t)=A\cdot e^{i(kx-wt)}+B\cdot e^{-i(kx+wt)}$ non uhinaren osagai bat noranzko positiboan hedatzen den, eta bestea noranzko negatiboan.

Uhin fardel bat sortzeko espazioko puntu zehatz batean, uhin zenbaki ezberdineko uhin-formak batu behar dira, hau da, $u(x,t)$ kitzikapena sortzeko $t=0$ aldiunean $A(k)$ anplitude funtzioaren arabera batu behar dira uhin-formak. Hau, Fourieren transformatua eta antitransformatuaren bidez adierazi ahal da, demagun $u(x,0)=e^{-x^2+i{k}_{0}x}$ kitzikapena duela hasierako aldiunean:

Uhin fardel ez-dispertsiboa

$A(k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u(x,0)\cdot e^{-ikt}dx=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\frac{(k-k_0{)}^2}{4}}$

izango da batu behar diren uhin zenbaki bakoitzerako dagokion amplitudeak. Eta:

$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(k)\cdot e^{ikx-kct}dk=e^{-(x-ct{)}^2+i{k}_0(x-ct)}$

izango da uhin fardelaren bilakaera denboran. Ondoko animazioan ikusi dezakegunez, uhin fardela espazioan zehar mugitzen da noranzko positiboan, forma mantenduz.

Dispertsiboak

Uhin fardel dispertsiboa

Badago ere beste uhin fardel mota bat, non ingurune batean zehar joan ahala, beren  forma aldatzen dute bertan. Honen adibide bat, aurkitu ahal dugu Schrödinger ekuazioaren soluzioetan.

Demagun, $i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{{\partial }^{2}x}$ Schrödinger-en uhin ekuazioaren soluzioa den erako uhin bat non $\omega =\frac{\hslash }{2m}|k{|}^2$ erlazioa betetzen duen, eta demagun honako kitzikapen bat dugula $t=0$ alduinean:

$\mathrm{\Psi }(x,0)=\sqrt[4]{\frac{2}{\pi }}{e}^{-x^2+i{k}_{0}x}$

Fourieren analisia eginez, honako bilakaera ikusten da uhin fardelarako:

$\mathrm{\Psi }(x,t)=\sqrt[4]{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{\sqrt{1+2it}}{e}^{\frac{-1}{4}(k_0{)}^2}{e}^{\frac{-1}{1+2it}(x-\frac{i{k}_0}{2}{)}^2}=\sqrt[4]{\frac{2}{\pi }}\frac{1}{\sqrt{1+2it}}{e}^{\frac{-1}{1+4t^2}(x-k_{0}t{)}^2}{e}^{\frac{i}{1+4t^2}((k_0+2tx)x-\frac{t}{2}(k_0{)}^2)}$

Ondoko probabilitate dentsitate uhinaren bilakaera denboran zehar. Ikus dezakegunez bere profila sakabanatzen da, nahiz eta talde abiadura konstante izan.

Eta haren probabilitate dentsitatea:

${|\mathrm{\Psi }(x,t)|}^2=\sqrt{\frac{2}{\pi (1+4t^2)}}{e}^{-\frac{2}{1+4t^2}(x-k_{0}t{)}^2}$

Hemen argi ikusten da (ondoko animazioan), nahiz eta talde abiadura ($k_0$) bera izan, denboran joan ahala dispertsioa handitzen da, hau da, probabilitatearen zati handiena denbora pasa ahala espazio mugatu handiago batean aurkitu ahal da, eta ondorioz, azkenean espazioan “desagertzen” da uhin fardela, hala ere, $A(k)$ amplitude funtzioa konstantea mantentzen da. Fenomeno hau, bat dator Heisenberg-en ziurgabetasunaren printzipioarekin.

Adibidea: Fardel Gaussdarrak

Erresoluzio finituko tresneria erabiltzen denean, ezin da uhin baten energia edo posizio zehatza jakin, honen ondorioz, “bariantzia” bat sartu behar da prozezu eta ekuazioetan. Uhin funtzio Gaussdarra (edo distribuzio normala) erabili daiteke adibide bezala portaera hau zehazteko; $\psi (x,0)=\frac{1}{\sqrt[4]{\pi \sigma }}{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma }}$ uhin profila hasieran izanez, sistemaren aztertu daiteke $t=0$ unean:

$P(x,0)=\frac{1}{\sqrt{\pi \sigma }}{e}^{-\frac{x^2}{\sigma }}$

eta uhin bektoreen amplitudeak astertzen bada:

$A(k,0)=\sqrt[4]{\frac{\sigma }{\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}\sigma k^2}etaP(k,0)=\sqrt{\frac{\sigma }{\pi }}{e}^{-\sigma k^2}$

Posizioaren eta uhin bektoreen indeterminazioak kalkulatuz, $\mathrm{\Delta }x=\sqrt{\frac{\sigma }{2}}$ eta $\mathrm{\Delta }k=\frac{1}{\sqrt{2\sigma }}$ direla ikus daiteke , hau da, uhin fardela $x=0$puntuan zentratutakoa eta $\sqrt{2\sigma }$ zabalerakoa da, non partikulen momentu gehienak $p\in [-\frac{\hslash }{\sqrt{2\sigma }},\frac{\hslash }{\sqrt{2\sigma }}]$ tartean dauden. Emaitza hau, Heisenberg-en ziurgabetasun  printzipioarekin bat dator (konkretuki, $\mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }p=\frac{\hslash }{2}$ da, beraz Heisenberg-en erlazioa minimizatzen du funtzio Gaussdarrak).

Gainera, sistemaren bilakaera aztertu daiteke. $p\in [-\frac{\hslash }{\sqrt{2\sigma }},\frac{\hslash }{\sqrt{2\sigma }}]$ erlazioa betetzen denez, abiadura $v\in [-\frac{\hslash }{m\sqrt{2\sigma }},\frac{\hslash }{m\sqrt{2\sigma }}]$ tartean egongo da, eta abiadura handiena hartuz uhin fardelaren luzera linealki handitzen da denborarekin, proportzionaltasun konstantea $\frac{\hslash }{m\sqrt{2\sigma }}$ izanik, hau da, uhin fardela dispertzatzen da espazioan zehar.