Cauchyren segida

Matematiketan segida bat Cauchyrena dela esaten da baldin eta edozein distantzia hartuta (normalean ε, epsilon, zenbaki erreal positibo bat) aurkitu badaitezke segidako gai bat (epsilon balioaren menpekoa) baino handiago diren bi termino zeinak haien harteko distantzia epsilon baino txikiagoa den. Garrantzitsua da segida mota hau ondoz ondoko terminoen harteko distantzia txikiagotzen doan segidekin ondo deberdintzea, hauek ez dutelako zertan konbergenteak izan. Segidak Augustin Louis Cauchy (1805) matematikari Frantziarraren ohorez hartzen du izen hau. Matematikan kobergentzia aztertzeko oso erabilia da Cauchyren segidaren definizioa.

Cauchy matematikari Frantziarra

Cauchyren segida zenbaki errealetan

Definizioa:

Izan bedi  gai errealeko segida. Segida Cauchyrena dela diogu baldin eta:

 $\mathrm{\forall }ϵ<0$ $\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathrm{\aleph }$ : $\mathrm{\exists }n,m\ge n_0$ $|a_n-a_m|<ϵ$ (Barra bertikalak balio absolutua adierazten du)

Zenbaki errealen kasuan, Cauchyren segida orok limite baterantz konbergitzen du. Propietate horrek analisi errealaren emaitza garrantzitsu bat dakar: segiden konbergentziarako Cauchyren karakterizazioa.

Propietateak:

-Edozein segida konbergente Cauchy segida bat da.

-Cauchyren segida guztiak goitik bornatuak dira

-Cauchyren konbergentzia-irizpidea: zenbaki errealen segida konbergentea baldin eta soilik baldin Cauchyrena bada :

$\{a_n\}$ konbergentea $\iff$ $\{a_n\}$ Cauchyrena.

Espazio metriko batean

Definizioa:

Cauchyrena den segida

Espazio metriko batean $(M,d)$, serie bat

$x_1,x_2,x_3,\dots$

Cauchyrena dela esaten da baldin eta edozein zebaki errealerako $\epsilon >0$ existitzen bada zenbaki natural bat $N$, zeinetarako $m,n>N$ guztietarako

distantzia: $d(x_m,x_n)<\epsilon$

Horrek esan nahi du segidako gaiak hurbiltzen doazela.

Popietateak:

1. Edozein segida konbergente Cauchyrena da.
2. Cauchyren edozein segida goitik bornatua da.

$\mathbb{Q}$ -n Cauchyren segidak ez dute zertan konbergenteak izan. Adibide klasikoa $a(n)=(1+1/n{)}^n$ da. Segida hau Cauchyrena da, baina bere limitea, $e$ zenbakia, ez da arrazionala.

Bibliografia

• "Zenbaki errealak eraikitzen", Javier Gútierrez eta Imanol Mozo Carollo