Espazio metriko

Matematikan, multzo bat, metrika batekin batera espazio metrikoa izango da, non metrikak multzo horretako bi puntu edo elementuren arteko distantzia definituko digun. Ideia gisa, metrikak honako propietateak beteko ditu:

• Puntu batetik puntu berdinera dagoen distantzia nulua da.
• Bi puntu ezberdinen arteko distantziaren balioa beti positiboa izango da.
• A puntutik B punturainoko distantzia eta B puntutik A punturainoko distantziaren balioa berdina da.
• A puntutik B punturainoko distantzia txikiagoa ala berdina izango da, bakoitzetik beste C puntu batera dagoen distantzien batura baino.

Espazio bati metrika atxikitzean, zenbait kontzeptu topologiko ondorioztatu ditzakegu; multzo ireki eta itxiak esaterako, eta honek, espazio topologikoen azterketa abstraktuago batera garamatza.

Espazio metriko ezagunena, espazio tridimentsionala da. Izan ere, metrika kontzeptua, metrika euklidearraren orokorpen bat da, metrika honen lau propietate ezagunetatik abiatuta. Metrika euklidearrak, distantzia, bi puntu lotzen dituen segmentuaren luzera bezala definitzen du. Geometria eliptikoan zein geometría hiperbolikoan, beste espazio metriko batzuk aurki ditzakegu non esfera batean distantzia angeluen bidez neurtuta, metrika definitzen dugun.

1906. urtean, Maurice Fréchet matematikari frantziarrak, Felix Hausdorff alemaniarraren eraginpean, Sur quelques points du calcul fonctionnel izeneko lanean definitu eta landu zuen lehen aldiz espazio metrikoaren kontzeptua.

Definizioa

Espazio metrikoa definizioz, $(X,d)$ bikotea da non $X(\ne \mathrm{\varnothing })$ multzoa eta $d$ ondorengo aplikazioa izanik: $$d:X\times X⟶ℝ$$non propietate hauek beteko dituen:

1. $d(x,y)\ge 0$
2. $d(x,y)=0⟺x=y$
3. $d(x,y)=d(y,x)$
4. $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$

Ohar gaitezke lehen propietatea hurrengo hiruen ondorio gisa har daitekeela: $$d(x,x)\le d(x,y)+d(y,x)⟹d(x,x)\le d(x,y)+d(x,y)⟹0\le 2d(x,y)⟹0\le d(x,y)$$ $d$ aplikazioa, $X$-ren gaineko metrika edo distantzia dela esaten da.

Espazio metrikoen adibideak

• Zenbaki errealak, balio absolutuak emandako $d(x,y)=|x-y|$ distantzia funtzioarekin eta orokortuz, $n$ dimentsioko espazio euklidearra, distantzia euklidearrarekin, espazio metrikoa lortzen da. Zenbaki arrazionalen multzoak ere, distantzia berdinarekin, espazio metriko bat osatzen du. Ohiko metrika deritzo distantzia honi.
• Zenbaki positibo errealen multzoa $d(x,y)=|\log (x/y)|$ distantzia funtzioarekin, espazio metriko osoa lortzen da.
• Normadun espazio metriko oro, $d(x,y)=\Vert y-x\Vert$ definituz, espazio metriko bat da.
• Postariaren metrika (British Rail) izeneko metrika ("SNCF metrika" izenez ere ezaguna), normadun espazio bektorial bat, $d(x,y)=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$distantziarekin non $\mathrm{\forall }x\ne y$ eta $d(x,x)=0$ beteko den.
• $(X,d)$ espazio metrikoa bada, eta $U$, $X$-ren azpimultzoa bada, $d$ metrika $U$ multzora murriztuz gero, eta hau $d_x$ izanik, orduan $(U,d_x)$ ere espazio metrikoa ere izango da.
• Izan bedi $X$edozein multzo ez-hutsa. Defini dezagun $d$:$$d(x,y)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{baldin }x=y\\ 1,& \text{baldin }x\ne y\end{array}$$$d$ distantziari, metrika diskretua deritzo eta $(X,d)$ espazio metrikoa izango da. Sinplea izan arren, adibide honek garrantzi handia du, edozein multzo ez-hutsentzat, berari dagokion espazio metriko bat existitzen dela jakin baitezakegu. Metrika hau erabiliz, edozein puntu bola ireki gisa kontsidera dezakegu, eta beraz edozein azpimultzo irekia da, espazio metriko honek sortzen duen topologian, topologia diskretuan hain zuzen.
• Plano hiperbolikoa, espazio metrikoa da. Orokorrago esanda, $X$ Riemannen espazioko edozein multzo konexu izanik, $(X,d)$ espazio metrikoa izango da, bi punturen arteko distantzia, bi puntuak batzen dituzten ibilbideen luzeren infimoa hartuz.
• $U$multzoa eta $(X,d)$ espazio metrikoa izanik, $f:U⟶X$ itxurako funtzio bornatuen multzoa, $d$ funtzioarekin espazio metrikoa izango da non $d(f,g)=\sup (\mathrm{d}(f(x),g(x))$ izango den, $f$ eta $g$ funtzioak aipaturiko multzoko elementuak izanik. Metrika edo distantzia honi, metrika uniformea edo supremoaren metrika deritzo.
• $G$ grafo ez-zuzendua bada, orduan $V$, $G$ grafoko erpinen multzoa izanik, $(V,d)$ espazio metriko bihurtu daiteke $d(x,y)$, $x$eta $y$erpinak lotzen dituen ibilbiderik motzenaren luzeraren balioa izanik.
• Levenshteinen distantzia, $u$ eta $v$ karaktere kateen antzekotasun eza neurtzen duen distantzia da, non $u$ karaktere katea $v$-n transformatzeko gutxienez beharko ditugun karaktereen aldaketa (ezabatzea, txertatzea edo ordezkatzea) kopuruaren bidez definitzen den. Grafo batean, ibilbide motzenaren metrikaren kasu berezia da distantzia hau.
• $(X,d)$ espazio metrikoa bada, eta $f:[0,inf)⟶[0,inf)$gorakorra eta ahurra den funtzioa, zeinetarako $f(x)=0$ den baldin eta soilik baldin $x=0$ bada, orduan $f\circ d$ ere metrika da $X$ multzoan.
• Gorputz baten gaineko $m\times n$ordenako matrize guztiek osaturiko multzoa, espazio metrikoa izango da heinaren bidez definitu dezakegun ondoko d distantziarekin: $d(A,B)=rg(B-A)$
• Hellyren metrika, joko-teorian erabili ohi da.

Multzo ireki eta itxiak, topologia eta konbergentzia

Espazio metriko batek, beti espazio topologiko bat sortzen du (distantzia batek beti topologia bat sortzen du) eta ondorioz, espazio topologikoei buruzko teorema eta definizio oro, hauekin ere aplikatu daitezke.

$(X,d)$ espazio metriko baten $x$ edozein puntutarako, $r>0$ erradioko $(r\in ℝ)$ eta $x$ zentruko bola irekia defini dezakegu honako multzo gisa:$$B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}$$Adibidez, $ℝ$-ren ohiko topologiaz, $B(x,r)=(x-r,x+r)$ izango da eta metrika diskretuaz, $B(x,r)=\{x\}$.

Bola irekien multzoak, $X$ multzoaren gaineko topologia baten oinarria osatzen du, espazio topologikoa eratuz.

Esplizituki, $U$ $X$-ren azpimultzoari ireki deritzo, $\mathrm{\forall }x\in X,\mathrm{\exists }r>0:B(x,r)\subseteq U$ betetzen bada. Multzo ireki baten osagarriari, multzo itxi deritzo.

$x\in X$ bakoitzerako, $B_x=\{B(x,ϵ):ϵ>0\}$ familia hartuz gero, $\{B_x{\}}_{x\in X}$ bildumak topologiaren baten ingurune-oinarria izateko baldintzak betetzen ditu beti, eta beraz, honako topologia hau sortzen du: $${\tau }_d=\{U\subseteq X:\mathrm{\forall }x\in U,\mathrm{\exists }B\in {\mathrm{B}}_x:B\subseteq U\}$$Adibidez, ${\tau }_u=\{U\subseteq ℝ:\mathrm{\forall }x\in U,\mathrm{\exists }ϵ>0:(x-ϵ,x+ϵ)\subseteq U\}$ ohiko topologia, ohiko metrikatik dator eta bestetik, ${\tau }_{disk}=\{U\subseteq X:\mathrm{\forall }x\in U,\mathrm{\exists }B\in {\mathrm{B}}_x:B\subseteq U\}=P(X)$ topologia diskretua, metrika diskretutik.

$(X,d)$ espazio metrikoa izanik eta $r>0$, orduan $\overline{B}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}$ multzoari, $x$ zentruko eta $r$ erradioko bola itxia deritzo. Bestalde, $S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}$ multzoari, $x$ zentruko eta $r$ erradioko esfera esaten zaio.

$(X,d)$espazio metrikoa izanik, hurrengo propietateak betetzen dira:

• $x\in X$ bakoitzerako eta $r>0$ edozeinetarako, $\overline{B}(x,r)\ne \mathrm{\varnothing }\ne B(x,r)$ betetzen da. Hala ere, $S(x,r)$ multzoa hutsa izan daiteke.
• $0<r\le s$ bada, $B(x,r)\subset B(x,s),\overline{B}(x,r)\subset \overline{B}(x,s),\overline{B}(x,r)\subset B(x,s)$ ($r<s$bada)

$(X,\tau )$ espazio topologikoa metrizagarria dela esaten da, $\tau$topologia metrika batetik datorrenean, hau da, existitzen bada $d$ $X$-ren gaineko metrika non ${\tau }_d=\tau$ den. Bestetik, $(X,d)$ espazio metrikoa eta $\{x_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$bertan definitutako segida izanik, esaten da segida honen limitea $a\in X$ puntua dela, beraz konbergentea dela, baldin eta: $$\mathrm{\forall }ϵ>0,\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n\ge n_0,d(x_n,a)<ϵ$$Segidek oso tresna baliogarria izaten jarraitzen dute espazio metrikoetan, izan ere, $ℝ$-n dituzten funtsezko propietateak mantentzen dituzte, espazio topologikoetan ez bezala. Esaterako, limitearen bakartasuna betetzen da (espazio topologikoetan, espazioa Hausdorff denean soilik) eta jarraitutasuna eta beste zenbait kontzeptu topologiko deskribatzeko baliogarriak zaizkigu.

Espazio metriko motak

Espazio osoa

$(X,d)$ espazio metriko bat osoa dela esaten da, Cauchyren segida guztiak $X$multzoan konbergenteak badira. Baliokidea dena: $\underset{n,m\to \mathrm{\infty }}{\lim }d(x_n,x_m)$ bada, orduan $\mathrm{\exists }y\in X:\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }d(x_n,y)$.

Espazio euklidear oro osoa da, eta zenbaki arrazionalen multzoa aldiz, balio absolutuaren $d(x,y)=|x-y|$ distantzia erabiliz, ez da osoa.

Espazio bornatuak eta guztiz bornatuak

$(X,d)$espazio metriko bat bornatua dela esaten da, existitzen bada $r\in ℝ$non $d(x,y)\le r$ betetzen den $\mathrm{\forall }x,y\in X$. $r$ ahalik eta txikiena hartuz, $X$-ren diametroa lortuko da. Bestetik, guztiz bornatua dela esaten da, edozein $r>0$ baliotarako existitzen bada $r$erradioko bola irekien kopuru finitua non bola hauen bildurak $X$estaliko duen. Bola ireki hauen zentruek osatzen duten multzoa finitua denez, $X$espazioak diametro finitua du, eta beraz ondoriozta daiteke (desberdintza triangeluarraren bidez) guztiz bornatua den espazio metrikoa, bornatua ere izango dela. Alderantzizko kasua ez da beti emango. Kontradibide gisa, edozein multzo infinituri metrika diskretua egokituz gero, hau bornatua da, baina ez guztiz bornatua (ohartu kasu honetan $B(x,1)=\{x\}$ dela).

Espazio trinkoak

$(X,d)$espazio metrikoa trinkoa izango da, $X$ multzoan definitutako edozein segidak, $X$ multzoko elementu batera konbergentea den azpisegida bat badu. Kontuan izan trinkotasunaren definizio hau espazio metrikoetarako soilik erabili daitekeela, eta ez edozein espazio topologikorako.

Heine Borel-en teorema:

$({ℝ}^n,{\tau }_u)$ espazioan, $A\subseteq {ℝ}^n$ trinkoa $⟺$itxia $+$bornatua

Ohartu hau ${\tau }_u$ ohiko topologiarekin soilik beteko dela eta ez espazio metrizagarri guztietan. Esaterako, $(X,{\tau }_{disk})$ espazioa metrizagarria izan arren, inpikazioa ez da bi aldetara beteko. Orokorrean, espazio metrikoetarako beteko da: $(X,d)$ trinkoa $⟺$osoa eta guztiz bornatua

Espazio lokalki trinkoak

Espazio metriko bat lokalki trinkoa dela esaten da, espazioko puntu guztietarako, ingurune trinko bat existitzen bada. Espazio euklidearrak lokalki trinkoak dira, baina infinitu dimentsiodun Banach-en espazioak ez.

Espazio konexuak

$(X,d)$ espazio metrikoa konexua dela esaten da, aldi berean itxiak eta irekiak diren $X$-ren azpimultzo bakarrak, multzo hutsa eta $X$ bera baldin badira. Ideia intuitibo gisa, $(X,d)$ konexua izango da, $X$ "pieza bakar batez osatua" baldin bada. $A\subset X$ multzoa konexua dela esaten da $(A,d_A)$ konexua baldin bada.

Beste modu batera definituz, $(X,d)$konexua dela esaten da, ez bada espazio metriko ez-konexua. $A\subset X$ izanik, $A$ez-konexua dela esaten da baldin eta soilik baldin existitzen badira $U$ eta $V$multzoak, $(X,d)$espazio metrikoan irekiak non hiru baldintza hauek beteko diren:

$$\{\begin{array}{c}U\cap A\ne \mathrm{\varnothing }\ne A\cap V\\ A\cap U\cap V=\mathrm{\varnothing }\\ A\subseteq U\cup V\end{array}$$Adibidez;

• Edozein espazio metrikorako, atomoak (elementu bakarrez osatutako multzoak) konexuak dira.
• $(ℝ,d_u)$ espazioan, multzo ez-konexuak dira $(0,1]\cup [2,5)$ eta $ℝ-\{0\}$. Espazio honetan konexuak izango dira aldiz, tarte bakar gisa definitu daitekeen edozein multzo.

Espazio banagarriak

Espazio metriko bat banagarria dela esaten da, kontagarria eta dentsoa den azpimultzo bat baldin badu. Adibide ohikoenak, zenbaki errealen kasua edo edozein espazio euklidearrenak dira. Espazio metrikoetarako (baina ez espazio topologikoetarako) bigarren zenbakigarritasuna eta Lindelöf-en propietatea baliokideak dira.

Espazio metrikoen arteko aplikazio motak

Demagun $(M_1,d)$ eta $(M_2,\rho )$ espazio metrikoak direla.

Aplikazio jarraituak

$f:(M_1,d)⟶(M_2,\rho )$ aplikazioa jarraitua dela diogu baldin eta baliokideak diren propietate hauek betetzen badira (bat betetzen bada, besteak ere beteko dira):

• $V$ $(M_2,\rho )$ espazioan irekia den edozein multzotarako, $f^{-1}(V)$ irekia bada $(M_1,d)$ espazioan. (Topologian ematen den jarraitutasunaren definizio orokorra)
• $F$$(M_2,\rho )$ espazioan itxia den edozein multzotarako, $f^{-1}(V)$ itxia bada $(M_1,d)$ espazioan.

• $x\in M_1$ eta $ϵ>0$ guztietarako, existitzen bada $\mu >0$ bat, $\mathrm{\forall }y\in M_1$ hau beteko den: $d(x,y)<\mu ⟹\rho (f(x),f(y))<ϵ$

Adibideak:

1. $f:(M_1,d)⟶(M_2,\rho )$konstantea bada, jarraitua da.
2. $1_{M_1}:(M_1,d)⟶(M_1,d)$jarraitua da.
3. $(M_1,d)$ diskretua bada, $(M_2,\rho )$ edozein espazio metrikorako eta edozein $f$ funtziorako, $f:(M_1,d)⟶(M_2,\rho )$ aplikazioa jarraitua izango da.

Isometriak

$f:(M_1,d)⟶(M_2,\rho )$aplikazioa isometria izango da baldin eta: $$\rho (f(x),f(y))=d(x,y):\mathrm{\forall }x,y\in M_1$$Isometria bat beti izango da injektiboa eta multzo bat trinkoa edo osoa bada, bere irudia (isometria batean) ere trinkoa edo osoa izango da. Hala ere, isometria bat ez da beti suprajektiboa, hau da, ez du zertan $M_2$-ko elementu bakoitza gutxienez $M_1$-eko elementu baten irudia izan.

Uniformeki jarraituak diren aplikazioak

$f:M_1⟶M_2$ aplikazioa uniformeki jarraitua dela esango dugu $ϵ>0$ guztietarako existitzen bada $\delta >0$ non: $$\mathrm{\forall }x,y\in M_1:d(x,y)<\delta ⟹\rho (f(x),f(y))<ϵ$$Uniformeki jarraitua den espazio metrikoen arteko edozein $f$ aplikazio jarraitua da. Alderantzizkoa egia izango da $M_1$ trinkoa baldin bada (Heine-Cantor-ren teorema).

Adibideak:

1. Identitatea. $id:(M_1,d)⟶(M_1,d)$
2. Aplikazio konstanteak uniformeki jarraituak dira.
3. Kontuan hartuz metrika diskretutik datorren espazio topologikoari espazio topologiko diskretua deritzola, $(M_1,d)$ edozein espazio metrikorako, $f:(X,d_{disk})⟶(M_1,d)$itxurako aplikazioa uniformeki jarraitua izango da.
4. Isometriak uniformeki jarraituak dira, baina alderantzizkoa ez da egia: $1_R:(R,d_{disk})⟶(R,d_u)$ aplikazioa bijektiboa eta uniformeki jarraitua da, baina ez da isometria bat.

Aplikazio lipschitziar jarraituak edo lipschitziarrak eta uzkurdurak

$k>0$zenbaki erreala izanik, $f:(M_1,d)⟶(M_2,\rho )$aplikazioa, lipschitziar jarraitua edo lipschitziarra izango da baldin eta $$\rho (f(x),f(y))\le k\cdot d(x,y):\mathrm{\forall }x,y\in M_1$$Lipschitziar jarraitua den aplikaio oro, uniformeki jarraitua da, baina alderantzizkoa ez da beti gertatzen.

$k>1$ den kasuan, $f$ uzkurdura bat baldin bada, orduan puntu finko bakarra onartuko du (Banachen puntu finkoaren teorema). $M_1$trinkoa den kasuan aldiz, $f$ aplikazioak puntu finko bakarra onartuko du baldin eta: $$d(f(x),f(y))\le d(x,y):\mathrm{\forall }x\ne y\in M_1$$

Espazio metrikoen arteko baliokidetasun nozioak

Demagun $(M_1,d)$ eta $(M_2,\rho )$ espazio metrikoak direla:

• Homeomorfoak direla esaten da, existitzen bada $f:(M_1,d)⟶(M_2,\rho )$homeomorfismoa, hau da, existitzen bada bi espazio metrikoen arteko $f$ aplikazioa non $f$ bijektiboa, jarraitua eta bere alderantzizkoa ere jarraitua den.
• Uniformeki isomorfoak direla esaten da, existitzen bada bi espazio metrikoen arteko isomorfismo uniforme bat, hau da, existitzen bada bi espazio metrikoen arteko $f$ aplikazioa non $f$ injektiboa,buniformeki jarraitua eta bere alderantzizkoa ere uniformeki jarraitua den.
• Isometrikoak direla esaten da existitzen bada bi espazio metrikoen arteko isometria bijektibo bat. Kasu honetan, bi espazio metrikoak izatez berdinak izango dira.

Puntuen eta multzoen arteko distantzia; Hausdorffen distantzia

Puntu bat, multzo itxi batengandik bereiziko duen funtzio bat eraikitzeko modu sinple bat, puntu horren eta multzo horren arteko distantzia hartzea da. $(X,d)$ espazio metrikoa bada, $A\subseteq X$bada eta $x\in X$ bada, $x$-tik $A$-ra definitzen den distantzia honako hau izango da: $d(x,A)=\inf \{d(x,a):a\in A\}$.

$d(x,A)=0$ izango da baldin eta soilik baldin $x\in \overline{A}$, non $\overline{A}$multzoa, $A$-ren itxitura den. Are gehiago, desberdintza triangeluarraren orokorpen gisa: $$d(x,A)\le d(x,y)+d(y,A)$$Hortik ondoriozta dezakegu $x⟼d(x,A)$ aplikazioa jarraitua izango dela.

$A$ eta $S$, $X$-ren azpimultzoak izanik, bi azpimultzoen arteko Hausdorffen distantzia honako hau izango da: $$d_H(A,S)=\max \{\sup \{d(a,S):a\in A\},\sup \{d(s,A):s\in S\}\}$$Orokorrean, Hausdorffen distantzia, $d_H(A,S)$, infinitua izan daiteke. Bi multzo elkarrekiko hurbil daude Hausdorffen distantzian baldin eta multzo bateko elementu oro, hurbil badago beste multzoko elementuren batekiko.

Biderkadura espazio metrikoak

$(M_1,d_1),(M_2,d_2),...,(M_n,d_n)$espazio metrikoak baldin badira eta $N$norma euklidearra bada ${ℝ}^n$-n, orduan $(M_1\times M_2\times ...\times M_n,N(d_1,d_2,...,d_n))$espazio metrikoa da non biderkadura distantzia modu honetan definitzen den: $$N(d_1,d_2,...,d_n)((x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n))=N(d_1(x_1,y_1),...,d_n(x_n,y_n))$$Era berean, espazio metrikoen familia kontagarri baten biderkadura distantzia modu honetan kalkula dezakegu: $$d(x,y)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^i}\cdot \frac{d_i(x_i,y_i)}{1+d_i(x_i,y_i)}$$Espazio metrikoen familia ez-kontagarri baten biderkadurak ez du zertan metrizagarria izan.

Espazio metrikoen orokortzeak

• Espazio metriko oro espazio uniforme bat da, modu natural batean, eta espazio uniforme oro naturalki espazio topologiko bat da. Espazio uniforme eta topologikoak beraz, espazio metrikoen orokortze gisa kontsideratzen dira.
• Arestian aipaturiko espazio metrikoen lehen definizioa kontsideratzen badugu, eta bigarren baldintza kendu, espazio pseudometrikoaren zenbait kontzeptutara iritsi gaitezke. Hirugarren ala laugarren baldintza ezabatzen badugu aldiz, espazio quasimetrikora ala espazio semimetrikora iritsi gaitezke.
• Distantzia funtzioak zuzen erreal hedatuan balioak hartzen baditu, eta definizioko lau baldintzak betetzen baditu, orduan metrika hedatua deritzo eta izango duen espazioa, $\mathrm{\infty }$-espazio metrikoa izango da.