Azpimultzo

Eulerren diagrama honen bidez
erakusten da A B-ren azpimultzo propio bat dela eta alderantziz B A-ren gainmultzo propio bat

Matematikan, bereziki multzo-teorian, azpimultzoa multzo bateko zenbait elementuz osatutako edozein multzoa da.

Definizioa

Txantiloi:Teorema Azpimultzoen arteko diferentzia, multzo baten barnean eta bestean ez dauden elementuek osatzen dute.

Azpimultzo propioa

Jatorrizko multzoaren osaera bera ez duen azpimultzoa.

A ⊂ B eta B ⊃ A notazioak ere erabiltzen dira, baina haiek azpimultzoa adieraz dezakete, A ⊆ B eta B ⊇ A; edo azpimultzo propio, A ⊊ B eta B ⊋ A.

Ezaugarriak

• A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien ebakidura A bada.

$A\subseteq B⟺A\cap B=A$

• A multzoa B multzoaren azpimultzoa da baldin eta soilik baldin haien bildura B bada.

$A\subseteq B⟺A\cup B=B$

Propietateak

• Azpimultzo hutsa ∅ bezala adierazten da, multzo guztien azpimultzoa da. Izan ere, « ∅-k ez du elementurik An dagoena» eta «∅-ko elementu guztiak Akoak dira» esanahi berdina dute. Hau edozein An gertatzen da, ∅k ez baitu elementurik.
• A multzoko elementuak B multzoan badaude, eta Bko elementu guztiak C multzoan badaude, Ako elementuak C multzoaren barnean daude. Hau da, A Bren azpimultzoa bada, eta B Cren azpimultzoa bada, orduan A Cren azpimultzoa da.
• Bi multzo elkarren azpimultzo badira, hau da, Ako elementu guztiak Bn badaude eta Bko elementu guztiak An badaude, bi multzoek elementu berdinak dituzte. Beste modu batera esanda, A Bren azpimultzoa bada, eta B Aren azpimultzoa bada, orduan A=B

Adibideak

• {1,2,3} multzoa {-563,1,2,3,68} multzoaren azpimultzo propio bat da.

$\{1,2,3\}\subset \{-563,1,2,3,68\}$

• [0;1] tartea zenbaki errealen multzoko azpimultzo propio bat da.

$[0;1]\subset R$

• {46,189,1264} multzoa beraren azpimultzo bat da, eta zenbaki arrunten multzoko azpimultzo propio bat da.

$\{46,189,1264\}\subseteq \{46,189,1264\}$

$\{46,189,1264\}\subset N$