Zenbaki arrazional

Txantiloi:HezkuntzaPrograma Fitxategi:-bertsomate- zenbaki arrazionalak.webm

4 zati duten zatikien irudikapen grafikoa. Lau zatiki horiek «zenbaki arrazionalak» dira.

Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak
$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ$ Zenbaki arruntak $\mathbb{N}$ Zenbaki osoak $\mathbb{Z}$ Zenbaki arrazionalak $\mathbb{Q}$ Zenbaki irrazionalak Zenbaki errealak $ℝ$ Zenbaki konplexuak $ℂ$ Zenbaki aljebraikoak Zenbaki transzendenteak
Konplexuen hedadurak
Koaternioiak $ℍ$ Oktonioiak $𝕆$ Zenbaki hiperkonplexuak
Bestelakoak
Zenbaki kardinalak Zenbaki ordinalak Zenbaki lehenak π = 3.141592654… e = 2.718281828… i unitate irudikaria ∞ infinitua Φ = 1,6180339887...
Zenbaki-sistemak
Zenbaki-sistema hamartarra Zenbaki-sistema bitarra Zenbaki-sistema hamaseitarra Zenbaki-sistema zortzitarra

Zenbaki arrazionalak zatiki bidez adieraz daitezkeen zenbakiak dira. Adibidez, 345/456. Zenbaki guztiak ez dira arrazionalak. Adibidez, ($\sqrt{2}$) zenbakia ez da arrazionala: irrazionala da. Zenbaki arrazionalak identifikatzeko pista bat hau da: dezimal kopuru mugatua dute. Zenbaki irrazionalek aitzitik, dezimal kopuru infinitua dute ($\sqrt{2}$, pi, e zenbakia, ...). Zenbaki arrazionalen multzoa $\mathbb{Q}$ ikurrez izendatzen da (edo, bestela $\mathbb{Q}$, arbeleko letra lodiz) zatiduratik eratortzen dena (latineko Quotiens-etik, Europako hainbat hizkuntzatara zatidura gisa egokitua). Zenbaki multzo horrek zenbaki osoak ($\mathbb{Z}$) eta zatiki zenbakiek hartzen ditu barne, eta zenbaki errealen azpimultzo bat da ($ℝ$).

Zenbaki arrazional baten grafia hamartarra zenbaki hamartar finitua edo zenbaki erdiperiodikoa da. Hau ez da egia 10 oinarrian (sistema hamartarra) idatzitako zenbakientzat bakarrik, bitarrean, hamaseitarran edo beste edozein osoko oinarrian ere egia da. Era berean, hedapen finitua edo periodikoa onartzen duen edozein zenbakia (edozein oinarri osotan) zenbaki arrazionala da.

Arrazionala ez den zenbaki erreal bati zenbaki irrazionala deitzen zaio; zenbaki irrazionalen adierazpen hamartarra, arrazionalak ez bezala, infinitu aperiodikoa da.

Zentzu hertsian, zenbaki arrazionala zatiki baten baliokideen multzoa da; horien guztien artean, zatiki laburtezina hartzen da zenbaki arrazional horren ordezkari kanonikotzat. Elkarren artean baliokideak diren zatikiak –zenbaki arrazionala– baliokidetasun-klase bat dira, $\mathbb{Z}$-ri aplikatutako baliokidetasun-erlazioaren emaitza

Zenbaki arrazionalen eraikuntza

• Har ditzagun $(a,b)$ zenbaki arrunten bikoteak non $b\ne 0$.

• $\frac{a}{b}$ zatikiak $(a,b)$ denotatzen du. $a$ zenbakitzaile deritzogu eta $b$ izendatzaile

• Mota horretako zenbakiak $\mathbb{Q}$ hitzaz adierazten dira. Hots, $\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q}\mid p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{Z},q\ne 0\}$

Historia

Egiptoarrek problema praktikoen ebazpena kalkulatzen zuten izendatzaile bezala zenbaki oso positiboak dituzten zatikiak erabiliz; zenbaki oso baten zatiak irudikatzeko erabili ziren lehenengo zenbaki arrazionalak dira, zenbaki oso baten alderantzizkoaren kontzeptuaren bidez.

Antzinako Greziako matematikariek zioten bi magnitude neurgarriak zirela, baldin eta hirugarren bat aurkitzerik bazegoen non lehen biak azkenekoaren multiploak ziren, hau da, unitate komun bat aurki zitekeen zeinentzako bi magnitudeek balio osoa izango zuten. Zenbaki guztiak osoen zatidura direla dioen printzipio pitagorikoak honela adierazten zuen edozein bi magnitudek neurgarriak izan behar dutela zenbaki arrazional izan aurretik.

Etimologikoki, zenbaki horiek arrazionalak deitzea bi zenbaki osoren arrazoia izateari dagokio, eta hitz horren sustraia latinezko ratio hitzetik dator, zeina grekotik datorren λόγος (arrazoi); eta hau da antzinako Greziako matematikariek zenbaki horiei deitzen zieten modua. Zenbaki arrazionalen multzoa izendatzeko erabiltzen den notazioa 1895ean eginiko Giuseppe Peanoren lan batetik eratorria den quoziente italiar hitzetik dator.

Zenbaki arrazionalen aritmetika

Baliokidetasun eta ordena erlazioak

Osoen murgilketa

Edozein n zenbaki oso n/1 zenbaki arrazional bezala adieraz daiteke, horregatik idazten da maiz $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ bezala.

Baliokidetasuna

Hau betetzen bada:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟷ad=bc$

Ordena

Izendatzaile biak positiboak badira:

$\frac{a}{b}<\frac{c}{d}⟷ad<bc$

Izendatzaileetako bat negatiboa bada, zatikiak, lehenik, izendatzaile positiboak dituzten beste batzuk bihurtu behar dira, ekuazio hauei jarraituz:

$\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}$

eta

$\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}$

Eragiketa arrazionalak

Batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa eragiketei eragiketa arrazionalak deitzen zaie.

Gehiketa

Bi zenbaki arrazionalen batuketa edo gehiketa zenbaki arrazionalen pare orori bere batuketak egokiarazten dion eragiketari deitzen zaio:

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd}=\frac{ad+bc}{bd}$

Kenketa

Zenbaki arrazional guztiei bere diferentzia egokitzen dien eragiketari kenketa edo diferentzia deitzen zaio, eta baturaren alderantzizko eragiketatzat hartzen da.

$\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{c}{d}+(-\frac{a}{b})$

BIderketa

Bi zenbaki arrazionalen biderketa edo biderkadura:

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

Zatiketa

Bi zenbaki arrazionalen zatiketa edo zatidura, alegia r zati s ezberdin 0, $r\times s^{-1}$ bezala adieraz daiteke. Edo bestela:

$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}$

Erabat definituta dagoen eragiketa bat da, baina biderketaren alderantzizko eragiketa dela onartzen da, s · x = r, s≠0 ekuazioa ebazten duena.

Alderantzizkoa

Zenbaki arrazionaletan aurkako eta alderantzizkoak daude:

$-\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{-a}{b}=\frac{a}{-b}\text{eta}{\left(\frac{a}{b}\right)}^{-1}=\frac{b}{a},a\ne 0\text{ bada }.$

Kanpo estekak

• 3.DBH. ZENBAKI ARRAZIONALAK: Zatikiak eta hamartarrak bideoa youtuben.