Baliokidetasun-erlazio

Multzo-teorian eta algebran baliokidetasun-erlazio batek $A$ multzo bateko elementuen arteko erlazio bat definitzen du, elementuak euren artean baliokidetasun klaseetan antolatuz partizio bat sortuz. $ℛ$ baliokidetasun-erlazioa da baldin eta erlazio bitar bihurkor, simetriko eta iragankorra bada.

Definizioa

Izan bedi $A$ multzo ez huts bat eta $ℛ$ multzoaren gaineko erlazio bat. Erlazio hori baliokidetasun erlazioa izango da, baldin eta honako propietate hauek betetzen baditu:

Erreflexiboa bada, hau da, $A$ multzoko elementu oro bere buruarekin erlazionaturik badago.

$\forall x \in A : x ℛ x$

Simetrikoa bada, $A$ multzoko $x$ elementu bat multzoko beste $y$ elementu batekin erlazionatuta egonik, $y$ ere $x$ -rekin erlazionaturik badago.

$\forall x, y \in A : x ℛ y \Rightarrow y ℛ x$

Iragankorra (edo trantsitiboa) bada: $A$ multzoko elementu bat multzoko beste elementu batekin erlazionatuta badago, eta beste elementu hori hirugarren batekin; hasierako elementua hirugarrenarekin erlazionatuta badago:

$\forall x, y, z \in A, x ℛ y \land y ℛ z \Rightarrow x ℛ z$

Idazkera

$A$ multzoko $a$ eta $b$ -ren arteko baliokidetasun-erlazioa $a \sim b$ edo $a \equiv b$ moduetan idazten da erlazioa definiturik badago eta $a \sim_{R} b$ , $a \equiv_{R} b$ edo $a ℛ b$ , hala ez bada.

$A$ multzoan ezarritako $\sim$ baliokidetasun-erlazioa, $(A, \sim)$ bikote ordenatuaren bidez adierazten da.

Aritmetika modularrean $a \equiv b (m o d ℛ)$ ( $a$ baliokide $b$ modulu $ℛ$ ) bezala adierazten da.

Baliokidetasun klasea

$ℛ$ baliokidetasun-erlazioak azpimultzo disjuntuak definitzen ditu $A$ multzoan. $x \in A$ elementua emanik, $x$ -rekin erlazionaturik dauden elementu guztiek honako baliokidetasun-klase hau definitzen dute:

$[x] = {y \in A ∣ y ℛ x}$

Baliokidetasun-erlazio batek sortzen dituen klase kopuruari ordena deritzo; kopurua finitua bada ordena finituko erlazioa izanik.

Partiketa

X-ren partiketa bat X-ren azpimultzo ez-hutsen P multzo bat da; beraz, X-ren elementu bakoitza P-ren elementu bakar baten elementua da. Gainera, P-ren elementuak binaka disjuntoak dira, eta haien lotura X da.

Adibideak