Baliokidetasun-klase

Matematikan, $S$ multzo bateko elementuek baliokidetasun-erlazio bat definituta dutenean, $S$ multzoa baliokidetasun-klaseetan banatu daiteke. Baliokidetasun-klaseak eraikitzeko honakoa kontuan hartzen da: $a$ eta $b$ elementuak baliokidetasun-klase berekoak dira baldin eta soilik baldin baliokideak badira.

$S$ multzoa eta beraren gaineko $\sim$ baliokidetasun-erlazioa izanik, $a$ elementuaren baliokidetasun-klasea, $[a]$ adierazita, multzo hau da:

$[a]=\{x\in S:x\sim a\}$

Adibideak

• $X$ auto guztien multzoa bada, eta $\sim$ "kolore bera du" baliokidetasun-erlazioa, orduan baliokidetasun-klase jakin bat auto berde guztiek osatuko lukete, eta $X/\sim$ era naturalean identifikatu ahal izango litzateke autoen kolore guztien multzoarekin.
• $X$ plano bateko laukizuzen guztien multzoa, eta $\sim$ "azalera bera du" baliokidetasun-erlazioa badira, orduan $A$ zenbaki erreal positibo bakoitzeko $A$ azalera duten laukizuzen guztien baliokidetasun-klase bat egongo da.
• Har dezagun 2 moduluko baliokidetasun-erlazioa $\mathbb{Z}$ zenbaki osoen multzoan. Horrela, $x\sim y$ baldin eta soilik baldin haien aldea $x-y$ zenbaki bikoitia bada. Erlazio honek zehazki bi baliokidetasun-klase definitzen ditu: klase bat zenbaki bikoiti guztiek osatzen dute eta beste klasea zenbaki bakoiti guztiek osatzen dute. Erlazio honen pean baliokidetasun-klase bat adierazteko, klaseko kide baten inguruan kakotxak erabiliz, $[7],[9],$ eta $[1]$, $\mathbb{Z}/\sim$ -ren elementu bera adierazten dute.
• Izan bedi $X$, $(a,b)$ zenbaki osoen bikote ordenatuen multzoa non $b$ zero ez den. $\sim$ baliokidetasun-erlazio bat definituz $(a,b)\sim (c,d)$ baldin eta soilik baldin $ad=bc$ bete dadin, $(a,b)$ bikotearen baliokidetasun klasea $a/b$ zenbaki arrazionalarekin identifika daiteke, eta baliokidetasun-erlazio hau eta bere baliokidetasun-klaseak zenbaki arrazionalen multzoaren definizio formala emateko erabil daitezke.
• $X$ plano Euklidearreko zuzen guztien multzoa bada eta $L\sim M$, $L$ eta $M$ paraleloak direla esan nahi badu, elkarrekiko paraleloak diren zuzen guztien multzoak baliokidetasun-klase bat definitzen du, zuzen bat bere buruaren paraleloa dela kontsideratuz gero.

Definizioa eta notazioa

Baliokidetasun erlazio bat $X$ multzo batean $\sim$ erlazio bitarra da $X$-n ondoko hiru propietateak betetzen dituena:

• $a\sim a$, $a\in X$ guztietarako (erreflexiboa),
• $a\sim b$ -k, $b\sim a$ inplikatzen du $a,b\in X$ guztietarako (simetrikoa),
• $a\sim b$ eta $b\sim c$ betetzen badira, orduan $a\sim c$ izango da $a,b,c\in X$ guztietarako (trantsitiboa).

$a$ elementuaren baliokidetasun-klasea, $[a]$ adierazita, $\{x\in X:a\sim x\}$ multzoa da, hau da, $\sim$ erlazioaren bidez $a$-rekin erlazionatutako elementuen multzoa.

Baliokidetasun-klaseko elementu guztiek klasea karakterizatzen dute, eta klasea ordezkatzeko erabili daiteke. Elementu hori aukeratzean, klasearen ordezkari deritzo. Batzuetan aukeraketa "naturalagoa" dago beste posible batzuk baino. Hala nola, aritmetika modularrean, $m$ zenbaki arrunta izanik, edozein zenbaki osorentzat $m$ moduloko kongruentzia baliokidetasun-erlazio bat da non $a$ eta $b$ zenbaki osoak baliokideak diren (kongruenteak) $m$-k $a-b$ zatitzen badu. $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ eran adierazten da. Kasu honetan, klase bakoitzean $m$ baino txikiagoa den zenbaki oso ez-negatibo bakarra dago, eta hori izango da klasearen ordezkari aukeratzen dena. Hauei ordezkari kanoniko deritze.

Klaseak irudikatzeko ordezkariak erabiltzeak klaseak multzo gisa esplizituki kontsideratzea saihesten du. Kasu honetan, elementu bat bere klasearekin lotzen duen funtzio supraiektibo kanonikoa elementu bat bere klaseko ordezkariarekin lotzen duen funtzioarekin ordezkatzen da. Aurreko adibidean, funtzio hau $amodm$ adierazten da eta $a/m$ zatiketa euklidearraren hondarra ematen du.

Propietateak

$X$ multzoko edozein $x$ elementu $[x]$ baliokidetasun-klaseko elementua da. Edozein bi $[x]$ eta $[y]$ baliokidetasun-klase berdinak ala disjuntuak dira. Ondorioz, $X$-ko baliokidetasun-klase guztien familiak $X$-ren partiketa bat osatzen du: $X$-ko edozein elementu baliokidetasun-klase bateko eta bakarrik bateko elementua da. Era berean, $X$-ren edozein partiketa baliokidetasun-erlazio batetik dator, zeinaren arabera $x\sim y$ baldin eta soilik baldin $x$ eta $y$ partiketa bereko elementuak dira.

Hortaz, $\sim$ $X$ multzoaren gaineko baliokidetasun-erlazioa bada eta $x$ eta $y$ $X$ multzoko bi elementu badira, ondokoak baliokideak dira:

• $x\sim y$
• $[x]=[y]$
• $[x]\cap [y]\ne \mathrm{\varnothing }.$

Inbarianteak

~ $X$-n baliokidetasun-erlazio bat bada, eta P ($x$) $X$-ren elementuen propietate bat bada, halako moldez non $x$ ~ eta P ($x$) egiazkoa den P ($y$) egiazkoa bada, orduan esaten da P jabetza ~ -ren inbariante bat dela, edo ~ erlazioaren barruan ondo definituta dagoela.

Kasu berezi bat maiz gertatzen da $f$ $X$-etik $Y$ beste multzo baterako funtzioa denean; baldin eta $f$ ($x_1$) = $f$($x_2$), baldin eta $x_1$~ $x_2$ bada; orduan esaten da $f$ klase baxuko inbariantea dela ~, edo, besterik gabe, ~ baxuko inbariantea. Hori gertatzen da, adibidez, talde finituen izaeraren teorian. Autore batzuek "~ bateragarria" erabiltzen dute, edo, besterik gabe, "~ errespetatua" erabiltzen dute, "Inbariante txikia ~" erabili beharrean.

Edozein funtzio $f:X\to Y$ baliokidetasun-erlazio bat definitze du $X$-n, zeinaren arabera $x_1$~ $x_2$ baldin eta soilik baldin $f$($x_1$) = $f$($x_2$). $X$baliokidetasun mota $f(x)$ -ri esleitzen zaizkion $X$ elementu guztien multzoa da, hau da, [$x$] mota $f(x)$-ren alderantzizko irudia da. Baliokidetasun-erlazio horri $f$-ren nukleoa esaten zaio.

Orokorkiago, funtzio batek argumento baliokideak eman diezazkieke ($X$-n ${\sim }_x$ baliokidetasun-erlazio baten pean) balio baliokideei ($Y$-n ${\sim }_{\gamma }$ baliokidetasun-erlazio baten pean). Funtzio hori baliokidetasun-harremana duten taldeen morfismoa da.