Irudi (matematika)

X abiaburu-multzotik Y multzorako f funtzioaren irudia Y-ren azpimultzoa da.

Matematikan, funtzio baten irudia funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, irudi-multzoa, helburu-multzoa edo ibiltartea dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.

Formalki honela adierazten da:

$I{m}_f:=\{y\in Y|\mathrm{\exists }x\in X,f(x)=y\}$

Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.

Definizioa

"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan, $f:X⟶Y$ funtzio bat da $X$ multzotik $Y$ multzora doana.

Elementu baten irudia

Baldin eta $x$ $X$-ren elementua bada, orduan $x$-ren irudia $f$-n, $f(x)$ deitua, $x$ ordezkatzean $f$-k hartzen duen balioa da. $f(x)$ $x$-rako $f$-ren irteera gisa ezagutzen da.

$y$ emanda, $f$ funtzioak "$y$-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada $x$ bat funtzioaren eremuan non $f(x)=y$ den. Era berean, $S$ multzo bat emanda, $f$-k "$S$-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada $x$ bat funtzioaren eremuan non $f(x)\in S$. Aldiz, "$f$-k $S$-ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da edozein $x$ $f$-ren eremuan $f(x)\in S$ bada.

Azpimultzo baten irudia

$A\subseteq X$ azpimultzoaren irudia $f$-n, $f(A)$ deitua, $Y$-ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena:

$f(A)=\{f(x):x\in A\}$

Nahasteko arriskurik ez dagoenean, $f[A]$ honela idazten da: $f(A)$. Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz, $f[\cdot ]$ funtzio bat da zeinen eremua $X$-ren potentzia-multzoa den eta koeremua $Y$-ren potentzia-multzoa.

Funtzio baten irudia

Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua. Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere $f$-ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

Erlazio bitarretara orokortzea

$R$ erlazio bitar arbitrarioa bada $X\times Y$-n, orduan $\{y\in Y:xRynonx\in X\}$ multzoari $R$-ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean, $\{x\in X:xRynony\in Y\}$ multzoari $R$-ren eremua deritzo.

Aurreirudia

$f$ $X$-tik $Y$-ra doan funtzioa izanda, $B\subseteq Y$ multzoaren aurreirudia, $f^{-1}[B]$ deitua, $f^{-1}[B]=\{x\in X:f(x)\in B\}$ definitutako $X$-ren azpimultzoa da.

Beste notazio batzuetan $f^{-1}(B)$ eta $f^{-}(B)$ erabiltzen dira. Multzo baten aurreirudia $f^{-1}[\{B\}]$ edo $f^{-1}[B]$ da.

Adibidez, $f(x)=x^2$ funtziorako, $\{4\}$-ren aurreirudia $\{-2,2\}$ izango litzateke. Ez da nahasi behar $f^{-1}$ notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non $B$-ren aurreirudia $f$-n, $B$-ren irudia den $f^{-1}$-n.

Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa

Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:

Geziaren notazioa

• $f^{\to }:P(X)\to P(Y)$, $f^{\to }=\{f(a)\mid a\in A\}$
• $f^{\leftarrow }:P(Y)\to P(X)$, $f^{\leftarrow }=\{a\in X\mid f(a)\in B\}$

Izarren notazioa

• $f_{\star }:P(X)\to P(Y)$, $f^{\to }$-ren ordez
• $f^{\star }:P(Y)\to P(X)$, $f^{\leftarrow }$-ren ordez

Beste terminologiak

• $f[A]$-ren ordez $f^{″}A$ ere erabiltzen da.
• Zenbait testuk $f$-ren irudia $f$-ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita $f$-ren koeremua adierazteko.

Adibideak

1.$f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}$ honek definituta: $f(x)=\{\begin{array}{cc}a,& x\text{=1 }\text{bada}\\ a,& x\text{=2 }\text{bada}\\ c,& x\text{=3 }\text{bada.}\end{array}$

$\{2,3\}$ multzoaren irudia $f$-n $f(\{2,3\})=\{a,c\}$ da. $f$ funtzioaren irudia $\{a,c\}$ da. $a$-ren aurreirudia $f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}$ da. $\{a,b\}$-ren aurreirudia ere $f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}$ da eta $\{b,d\}$-ren aurreirudia multzo hutsa da $\{\}=\varnothing$.

2. $f:ℝ\to ℝ$ honek definituta: $f(x)=x^2$.

$\{-2,3\}$-ren irudia $f$-n $f^{-1}(\{-2,3\})=\{4,9\}$ da, eta $f$-ren irudia ${ℝ}^{+}$ da (zenbaki erreal positibo guztien multzoa eta zero). $\{4,9\}$-ren aurreirudia $f$-n $f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}$ da. $N=\{n\in ℝ:n<0\}$ multzoaren aurreirudia $f$-n multzo hutsa da, zenbaki negatiboek ez dutelako erro karraturik errealen multzoan.

Propietateak

Orokorrean

$f:X⟶Y$ edozein funtziorako eta $A\subseteq X$ eta $B\subseteq Y$ azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:

Irudia	Aurreirudia
$f(X)\in Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f(f^{-1}(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (berdin $f$ supraiektiboa bada)	$f(f^{-1}(A))\supseteq A$(berdin $f$ injektiboa bada)
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f{\mid }_A{)}^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\mathrm{\varnothing }$ baldin eta soilik baldin $A=\mathrm{\varnothing }$	$f^{-1}(B)=\mathrm{\varnothing }$ baldin eta soilik baldin $B\subseteq Y\setminus f(X)$
$f(A)\supseteq B$ baldin eta soilik baldin existitzen bada $C\subseteq A$ non $f(C)=B$ den	$f^{-1}(B)\supseteq A$ baldin eta soilik baldin $f(A)\supseteq B$
$f(A)\supseteq f(X\mathrm{\setminus }A)$ baldin eta soilik baldin $f(A)=f(X)$	$f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\mathrm{\setminus }B)$ baldin eta soilik baldin $f^{-1}(B)=X$
$f(X\mathrm{\setminus }A)\supseteq f(X)\setminus f(A)$	$f^{-1}(Y\mathrm{\setminus }B)=X\setminus f^{-1}(B)$
$f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B$	$f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)$
$f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B$	$f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)$

Horrez gain:

• $f(A)\cap B=\mathrm{\varnothing }$ baldin eta soilik baldin $A\cap f^{-1}(B)=\mathrm{\varnothing }$

Funtzio konposatuak

$f:X⟶Y$ eta $g:Y⟶Z$ funtzioetarako $A\subseteq X$ eta $C\subseteq Z$ azpimultzoekin, ondorengo propietateak betetzen dira:

• $(g\circ f)(A)=g(f(A))$
• $(g\circ f{)}^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))$

Zenbaki errealetan oinarritutako kontraadibideak $ℝ$, $f:ℝ\to ℝ$ honek definituta: $f(x)=x^2$, berdintasuna lege batzuetan betetzen ez dela erakusten dutenak:
Berdinak ez diren multzoak erakusten dituen irudia: $f(A\cap B)⊊f(A)\cap f(B)$. $A=[-4,2]$ eta $B=[-2,4]$ multzoa urdinez agertzen dira $x$ ardatzaren azpian, haien ebakidura $A_3=[-2,2]$ berdez agertzen da.	$f(f^{-1}(B_3))⊊B_3$	$f^{-1}(f(A_4))⊋A_4$

Ikus, gainera

• Izate-eremua