Alderantzizko funtzio

f funtzio bat eta bere alderantzizko f^-1 funtzioa. Ikusten den bezala, f funtzioaren iturburu-multzoa f^-1 alderantzizko funtzioaren irudi-multzoa da eta alderantziz f funtzioaren irudi-multzoarekin.

Matematikan, f(x) funtzio baten alderantzizko funtzioa, f^-1(x) izendatzen dena, B irudi-multzo bateko edozein elementuri A iturburu-multzoko elementu bat, eta bakarra, esleitzen dion arau orokorra da. Hau da, f(x) funtzioari aurreirudi bat emanda irudi bat eskuratzen bada, f^-1(x) alderantzizko funtzioak irudi hori emanda aurreirudia itzuliko du, hasierako baliora itzuliz. Alderantzizko funtzio oro bijektiboa da. Beraz, bijektiboak ez diren funtzioek ez dute alderantzizko funtziorik izango. Matematikoki adierazita, ondokoa betetzen duen funtzioa da:

$f(f^{-1}(x))=x$ eta $f^{-1}(f(x))=x$

Alderantzizko funtzioa kalkulatzeko metodoak

Aldagaien alderantzikapena

Alderantzizko funtzioa kalkulatzeko metodorik sinpleena izan ohi da. F(x) funtzioaren aldagai aske eta menpekoa trukatzean datza, eta ondoren menpeko aldagaia bakantzea eskatzen du metodoak. Jarraian adibidea:

$f(x)=\frac{7x+2}{3}$ baldin bada,

$y=\frac{7x+2}{3}\Rightarrow x=\frac{7y+2}{3}\Rightarrow 3x=7y+2\Rightarrow y=\frac{3x-2}{7}$ non y eta x aldagaiak trukatu egin diren eta bertatik alderantzizko funtzioa ondorioztatzen den:

$f^{-1}(x)=\frac{3x-2}{7}$

Metodo honek muga nabarmenak ditu funtzio konplexuagoetan.

Propietateak

Soiltasuna

F(x) funtzio batek alderantzizko funtzio bat baldin badu, alderantzizko funtzio hori bakarra izango da.

Simetria

Funtzio bat eta bere alderantzizkoaren artean simetria dago. Hain zuzen, jatorrizko funtzioaren eta bere alderantzizkoaren arteko konposaketak identitate funtzioa emango du (y elementuak iruditzat ematen dituena), eta berdin alderantzizko funtzioaren eta haren jatorrizkoaren arteko konposaketan (kasu honetan ordea, x elementuak emango dira iruditzat). Matematikoki:

$f\circ f^{-1}={\mathrm{id}}_Y$

$f^{-1}\circ f={\mathrm{id}}_X$

Konposaketaren alderantzizkoa

Izan bitez g(x) eta f(x) bi funtzio bijektibo, eta $g\circ f$ bi funtzio horien konposaketa, orduan, ondorengo propietatea betetzen da:

$(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$

Bere buruarekiko alderantzizkotasuna

X multzo bat bada, orduan X multzoko identitate funtzioaren alderantzizkoa identitate funtzioaren berdina da:

${{\mathrm{id}}_X}^{-1}={\mathrm{id}}_X$

Orokortasuna emanda, $f:X⟶X$ motako funtzioaren alderantzizkoa jatorrizkoaren berdina da, baldin eta soilik baldin $f\circ f$ konposaketa $i{d}_X$ identitate funtzioaren berdina bada. Funtzio mota horiei inboluzio deritze.

Adibide batzuk

• $f(x)=x^2\to f^{-1}(x)=\sqrt{x}$
• $f(x)=\frac{1}{x}\to f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$