Beheren eta goren

A zenbaki errealen multzoa (zirkulu berdez eta gorriz adierazita), S A-ren azpimultzo bat (zirkulu berdeak), eta S-ren beherena (infimum ingelesez) eta gorena (supremum ingelesez).

Matematikan, (P, <) multzo partzialki ordenatu baten S azpimultzo bat izanik, horren beherena, existitzen bada, P-ren elementu maximoa da, S-ko elementu guztiak baino txikiago edo berdinak dena. Beste hitzez, S-ko behe-bornerik handiena da. S multzoaren beherena inf(S) adierazten da.

Gorena, existitzen bada, P-ren elementu minimoa da, S-ko elementu guztiak baino handiago edo berdina dena. Hots, S-ko goi-bornerik txikiena da. S multzoaren gorena sup(S) adierazten da.

Propietateak

• Gorena eta beherena existitzen badira, orduan bakarrak dira.
• $\sup (A\cup B)=\max \{\sup (A),\sup (B)\}$, aipaturiko gorenak existitzen badira
• $\inf (S)=-\sup (-S)$ , non $-S=\{-s|s\in S\}$ den
• Multzo batek maximoa du, baldin eta soilik bere gorena barnean hartzen badu
• Multzo batek minimoa du, baldin eta soilik bere beherena barnean hartzen badu
• Zenbaki errealen multzoan, goi-bornatutako edozein azpimultzok (multzo hutsa izan ezik) gorena du.

Adibideak

Beherena

$\inf \{1,2,3\}=1.$

$\inf \{x\in ℝ:0<x<1\}=0.$

$\inf \{x\in \mathbb{Q}:x^3>2\}=\sqrt[3]{2}.$

$\inf \{(-1{)}^n+1/n:n=1,2,3,\dots \}=-1.$

Gorena

• $\sup \{1,2,3\}=3$
• $\sup \{x\in ℝ|0<x<1\}=\sup \{x\in ℝ|0\le x\le 1\}=1$
• $\sup \{x\in \mathbb{Q}|x^2<2\}=\sqrt{2}$
• $\sup \{(-1{)}^n-\frac{1}{n}|n\in \mathbb{N}\}=1$

Erreferentziak

• Supremum, mathworld.wolfram.com webgunean.
• Infimum, mathworld.wolfram.com webgunean.